Relacionar las variables de movimiento angular y movimiento estándar

en el vídeo anterior definimos todas las variables de movimiento angular y comentamos que éstas son más sutiles que las variables de movimiento regular para cosas que están rotando en círculo ya que cada punto en esta cuerda y la pelota de tenis que está atada a ella están girando en círculo por lo que cada punto en la cuerda incluyendo la pelota tendrán el mismo desplazamiento angular velocidad angular y aceleración angular pero aún cuando a usar estas variables de movimiento angular es mucho más conveniente para estos problemas de movimiento rotacional también es importante saber cómo traducir las variables de movimiento angular de regreso a las variables de movimiento regular vamos a hacerlo la variable más sencilla de movimiento angular es el desplazamiento angular ya que indica cuánto ángulo fue recorrido por un objeto digamos que roto esta cantidad y representamos el desplazamiento angular con delta theta esto es el desplazamiento angular y en física típicamente elegimos medir esto en radiales y en un momento veremos por qué y cómo convertimos esto en una variable de movimiento regular y cuál será esa variable de movimiento regular y si yo viera esto por primera vez diría bueno esto es el desplazamiento angular yo creo que se va a relacionar con el desplazamiento regular pero quizás sea un poco extraño ya que si pensamos en el movimiento regular esta pelota comenzó aquí y llegó acá así que fue de este punto hasta este otro punto y ese sería el desplazamiento regular de esta pelota el desplazamiento lineal regular pero esto es extraño y no vamos a ver cómo encontrar esto primero porque tendríamos que usar la ley del coseno y esto sería más detallado de lo que quiero que veamos en este vídeo y la segunda razón es porque esto no es tan útil hay una cantidad mucho más útil y que nos dice que tanto se desplazó esta pelota y esa es la longitud de arco de la pelota así que la pelota traza una ruta en el espacio alrededor de este círculo y le llamamos los de arco y resulta que esto es mucho más útil para muchos problemas y es mucho más sencillo de encontrar que el desplazamiento regular esta es la longitud de arco y se usan varias letras para representar los he visto que usan la l pero la mayoría de los libros de matemáticas usan s así que aquí también vamos a usar ese y quizá piensen que es difícil de encontrar pero no es así de hecho el que usemos radiales nos va a facilitar encontrar esta cantidad para encontrar la longitud de arco que recorrió esta pelota de tenis solo tenemos que conocer el radio de la ruta circular que trazó esta pelota que en este caso es la longitud de la cuerda este es el radio y si tenemos el ángulo medido en radiales simplemente lo vamos a multiplicar por esta delta teta y es por eso que usar radiales es tan conveniente tomamos esta medida en radiales la multiplicamos por el radio y obtenemos la longitud de arco que es la ruta circular que ha trazado el objeto la longitud de arco es el número de metros que ha recorrido esta pelota en esta ruta circular y si resulta asombroso realmente no lo es esto fue diseñado justamente por cómo se define un radial un radial se define como el ángulo en el que viajamos de manera que la longitud de arco sea igual al radio de este círculo así que no nos sorprende porque esto fue diseñado estratégicamente de manera que podamos usar esta unidad y convertir muy fácilmente el desplazamiento angular que es cuántos radiales ha recorrido el objeto al rotar y cuántos metros ha viajado realmente a través de su arco por lo que la longitud del arco va a tener unidades de metros siempre y cuando miramos el radio en metros y esta es la relación entre el desplazamiento angular o cuánto ángulo ha recorrido un objeto que está rotando y cuántos metros ha recorrido la siguiente relación que veremos tiene que ver con la velocidad angular y la velocidad regular recuerden que en el vídeo anterior definimos la velocidad angular como el desplazamiento angular por tiempo es la tasa a la que está rotando algo en cierta cantidad de ángulo y la letra que usamos para representar la velocidad angular es la letra griega o mega la velocidad angular representa la tasa a lo que algo está rotando en un círculo si rota lentamente pues tendrá una menor velocidad angular y si rota rápidamente tendrá una mayor velocidad angular así que la rapidez y la velocidad angular van a estar relacionados ya que mientras mayor sea la velocidad angular mayor será la rapidez pero cuál es esta relación como pasamos de la velocidad angular a la rapidez regular pues no es tan difícil todo lo que tenemos que hacer es tomar esta cantidad que está en radiales por segundo y transformarlo a metros por segundo y podemos hacer esto multiplicando a ambos lados de esta ecuación por r r por omega igual a ere por delta teta y lo divido entre delta t simplemente multiplicamos ambos lados de esta ecuación por r pero vean que lo que obtuve es r por delta theta que es la longitud de arco así que este lado me dice cuántos metros ha viajado el objeto alrededor del borde de este círculo dividido entre el tiempo que le llevó a hacer esto y justamente esto es la rapidez la longitud de arco es la distancia que el objeto ha viajado y el tiempo es el tiempo que le llevó a hacer este recorrido y la distancia por tiempo es la rapidez así que esto es la rapidez del objeto lo escribo como v aún cuando esto no es la velocidad esto no es un vector y por lo tanto no es la velocidad ya que vean que esta longitud de arco no es un desplazamiento es la distancia recorrida por el objeto la distancia por tiempo es la rapidez y el desplazamiento por tiempo es la velocidad a quien no usamos desplazamiento l es esta cosa rara que no calculamos y ya que estamos usando la longitud de arco que es distancia pues vamos a relacionar la velocidad angular con la rapidez y ya tenemos esta relación está r es el radio multiplicado por la velocidad angular y esto es igual a la rapidez del objeto por lo que esta es la relación entre la velocidad angular y la rapidez la rapidez del objeto es igual al radio de la ruta circular seguida por el objeto multiplicada por la velocidad angular del mismo vamos a resaltar estas fórmulas esta fórmula de la longitud de arco nos dice cómo relacionar los radiales que ha recorrido un objeto al rotar y cuánta longitud de arco ha viajado en esta rotación es decir la distancia recorrida y la fórmula de aquí abajo me relacionan la velocidad angular o mega el número de radiales por segundo que algo recorre en su ruta circular lo relaciona con cuántos metros por segundo ha recorrido este objeto en otras palabras cuántos metros atrasado junto con esta longitud de arco y ahora tenemos la relación entre la longitud de arco y la distancia que ha recorrido algo y esto es bueno ahora podemos relacionar el desplazamiento angular con la distancia recorrida por el objeto y sabemos cómo relacionar la velocidad angular con la rapidez del objeto y seguramente ya se imaginan qué es lo que viene ahorita vamos a relacionar la aceleración angular con la aceleración regular recordemos que la aceleración angular que representamos con la letra griega alfa se define como el cambio en la velocidad angular entre el tiempo es la tasa a la cual la velocidad angular está cambiando por lo que si nos movemos a una tasa constante no vamos a tener una aceleración angular ya que no tendremos ningún cambio en omega pero si omega comienza despacio y va aumentando cada vez más tendremos una aceleración angular y probablemente no le sorprenda que si tenemos aceleración angular esta pelota también la aceleración regular ya que está aumentando su rapidez en su movimiento angular por lo que estará cambiando su velocidad también y como relacionamos la aceleración angular con la aceleración regular pues veamos que hicimos aquí simplemente multiplicamos ambos lados de la ecuación por el radio y encontramos la relación entre la rapidez y la velocidad angular vamos a intentarlo de nuevo vamos a multiplicar ambos lados de esta ecuación por r del lado derecho me queda el radio por la aceleración angular y del lado izquierdo me queda el radio multiplicado por el cambio en la velocidad angular entre el tiempo lo único que hicimos es multiplicar ambos lados de esta ecuación por el radio y que nos queda del lado derecho tenemos r por delta omega y esto es r por el cambio en omega que es omega final menos omega inicial- y lo dividimos entre delta te distribuyó esta r de manera que esto me quede igual report o mega final - ere por omega inicial / del tate pero ahora tenemos ere por omega final menos ere por omega inicial- y conocemos que es ere por omega es la rapidez no la velocidad sino la rapidez por lo que puedo reescribir esto de manera que me quedan la rapidez final menos la rapidez inicial entre el cambio en el tiempo y esto es a lo que es igual ere por alfa y quizás se vean tentados a decir a miren pues esta es la aceleración el cambio de la rapidez entre el tiempo pero hay que tener cuidado la verdadera aceleración es un vector y es el cambio en la velocidad entre el tiempo pero estos no son vectores de velocidad esto es rapidez por lo que este no es el verdadero vector aceleración esto es algo diferente es el cambio en la rapidez entre el tiempo sigue siendo una aceleración pero no necesariamente es toda la aceleración ya que tenemos dos formas de acelerar podremos cambiar la rapidez o podremos cambiar la dirección y esta aceleración que acabamos de encontrar básicamente no toma para nada en cuenta la aceleración que viene del cambio de dirección es solo la aceleración que viene del cambio en la rapidez y si yo fuera ustedes probablemente estaría confundida en este punto voy a tratar de explicarles qué significa esto si esta pelota está rotando en un círculo por el simple hecho de que esta pelota está rotando en un círculo significa que está acelerando aún cuando la pelota no aumenta o disminuye su rapidez aquí tenemos una aceleración ya que esta pelota está cambiando la dirección de su velocidad es decir tiene que haber una fuerza centrípeta que en este caso es la tensión y tiene que haber una aceleración centrípeta para poder cambiar la dirección de la velocidad y ésta no es la aceleración de aquí ésta es una aceleración diferente sabemos que la aceleración centrípeta se dirige hacia adentro y ya sabemos cómo encontrar la aceleración centrípeta en esta fórmula es la rapidez al cuadrado dividida entre el radio este componente esta aceleración centrípeta es el componente de la aceleración que cambia la dirección de la velocidad voy a decirlo otra vez porque es importante la aceleración centrípeta que podemos encontrar con b al cuadrado entre r es el componente de la aceleración que cambia la dirección de la velocidad y si algo va en círculo debe tener aceleración centrípeta pero este componente de la aceleración que encontramos aquí es diferente aquí tenemos lo que está cambiando la rapidez y no tenemos que tener esto si estamos moviéndonos en un círculo podemos imaginar a algo que viaja en un círculo a una tasa constante y si esto sucede tendremos a aceleración centrípeta pero no tendrá esta cosa de aquí abajo esto que encontramos r por alfa es el cambio en la rapidez del objeto por el tiempo como puedo dibujar esto para representarlo en esta gráfica la dibujo tangencial a la dirección del movimiento es decir tangente al círculo ya que los componentes de la aceleración que estaban dirigidos perpendicularmente a la velocidad cambian la dirección de la velocidad pero los componentes de la aceleración que son paralelos a la dirección de la velocidad cambian la magnitud de la velocidad es decir la rapidez cambian la magnitud de la velocidad lo que es decir para aumentar o disminuir la rapidez de algo necesitamos un componente de esa aceleración que esté ya sea en la dirección del movimiento u opuesta a la dirección del movimiento si está opuesta a la dirección del movimiento la aceleración va a estar haciendo que el objeto vaya más despacio y si el componente de la aceleración en la misma dirección que el movimiento entonces va a hacer que este objeto vaya más rápido y esto es lo que encontramos aquí este componente de la aceleración r por alfa que muchas veces se le llama componente tangencial de la aceleración vamos a escribirlo por acá la aceleración tangencial que es igual a r por alfa el radio por la aceleración angular es el componente de la aceleración que cambia la magnitud de la velocidad es decir cambia la rapidez y para hacer esto su dirección tiene que ser tangencial a la dirección del movimiento y es lo que representa esta r por alfa esta es la fórmula para encontrar la aceleración tangencial no nos da la aceleración total pues sabemos que siempre va a haber un componente de la aceleración que va a estar actuando de forma centrípeta si es que un objeto se está moviendo en círculo y está le encontramos con v al cuadrado entre r pero si el objeto que se mueve en círculo ademá está aumentando su rapidez no solo se mueve en círculos sino que también aumenta su rapidez también va a tener este componente de la aceleración que es la aceleración tangencial y quizá esto los confunda un poco ya que tenemos aceleración tangencial y aceleración centrípeta cuál de éstas es la aceleración bueno ambas son componentes de la aceleración total que pueden encontrar si realmente quieren encontrarla como aceleración total al cuadrado es igual y aquí usamos el teorema de pitágoras ya que estos son los componentes perpendiculares de la aceleración total por lo que la aceleración total al cuadrado va a ser igual a la aceleración tangencial al cuadrado más la aceleración centrípeta al cuadrado y así tendremos la aceleración total al cuadrado y si queremos encontrar la dirección de esta aceleración total va a apuntar hacia abajo si tenemos la aceleración centrípeta hacia adentro y él está aumentando su rapidez no está yendo más despacio está yendo más rápido tenemos este componente y ese componente que va hacia adentro la aceleración total tendrá una dirección más o menos hacia acá y ya que podemos formar un triángulo con esto podemos imaginar que movemos la aceleración centrípeta a este otro extremo y podemos encontrar la hipotenusa que será la aceleración total y lo hacemos tomando la aceleración tangencial al cuadrado más la aceleración centrípeta al cuadrado y el resultado le sacamos la raíz cuadrada y así obtendremos la aceleración total en resumen tenemos dos componentes de la aceleración la aceleración tangencial que es r por alfa ya sea que aumenta su rapidez o lo hace más lento la aceleración centrípeta sirve para cambiar el movimiento del objeto y la podemos relacionar la rapidez de un objeto con la velocidad angular del mismo al multiplicar la por el radio y podemos relacionar la longitud de arco que es la distancia que viaja el objeto al de el círculo con el desplazamiento angular multiplicando la también por el radio con estas tres ecuaciones es como relacionamos las variables del movimiento angular con las variables de movimiento regular