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Fórmulas cinemáticas rotacionales

David explica las fórmulas cinemáticas rotacionales y resuelve un par problemas de ejemplo con ellas. Creado por David SantoPietro.

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Transcripción del video

en los vídeos anteriores definimos estas nuevas variables de movimiento rotacional y las definimos de la misma forma en las que definimos las variables para el movimiento lineal por ejemplo este desplazamiento angular se definió de la misma forma que definimos el desplazamiento regular esta es la posición angular a diferencia de la posición regular de manera similar esta velocidad angular fue el desplazamiento angular por el tiempo de la misma manera que la velocidad regular es igual al desplazamiento regular por el tiempo y la aceleración angular es el cambio en la velocidad angular por el tiempo igual que la aceleración regular es el cambio en la velocidad regular por el tiempo y debido a que estas definiciones son iguales a excepción de que esta variable regular es reemplazada por su contraparte angular todas las ecuaciones resultan de los principios de movimiento regular y esto se cumple para las ecuaciones de movimiento rotacional siempre y cuando reemplazamos la variable de movimiento lineal esa ecuación con su equivalente rotacional y esto también funciona con las gráficas digamos que tenemos una gráfica de tiempo contra velocidad que se ve así y como ya sabemos que la pendiente de la gráfica en esta gráfica de tiempo por velocidad es igual a la aceleración en la gráfica de velocidad angular contra el tiempo está pendiente representa la aceleración angular ya que la relación entre omega y alfa es la misma que la relación entre b y a de la misma forma el área bajo la curva en una gráfica de velocidad contra tiempo representa el desplazamiento el área bajo la curva en una gráfica de omega contra t o una gráfica de velocidad angular contra tiempo el área bajo la curva de esta gráfica también va a representar el desplazamiento angular y si recuerdan lo que vimos del movimiento en una dimensión la forma en que deducimos muchas de las fórmulas cinemáticas en una dimensión relacionando estas variables de movimiento lineal era encontrando áreas o una gráfica de velocidad contra tiempo podemos hacer lo mismo con las variables de movimiento rotacional podemos encontrar la relación de esta área entre alfa y omega y obtendremos la fórmula de movimiento rotacional pero ya las conocemos y como éstas ya las tenemos definidas de la misma manera que tenemos definidas las variables de movimiento lineal obtendremos exactamente las mismas ecuaciones símplemente reemplazando la variable lineal con su respectiva variable de movimiento rotacional vamos a escribirlas primero vamos a escribir las fórmulas de movimiento lineal que si recuerdan lucen así aquí están estas son las cuatro fórmulas cinemáticas que relacionan las variables de movimiento lineal entre sí pero recuerden que estas fórmulas sólo funcionan si a la aceleración es constante si la aceleración es constante entonces estas cuatro fórmulas de movimiento son una forma conveniente de relacionar todas estas variables de movimiento lineal y ahora si queremos las el movimiento rotacional podrían hacer lo que hicimos aquí y deducir cada una de estas fórmulas usando las áreas bajo la curva pero como ya conocemos las relaciones de todas estas variables de movimiento lineal y sabemos que tienen la misma relación que las de las variables de movimiento rotacional puedo tener mis fórmulas de movimiento rotacional simplemente reemplazando cada una de estas variables lineales con su respectiva variable rotacional vamos a hacerlo aquí en lugar de tener la velocidad final voy a tener a omega la velocidad angular final en lugar de tener la velocidad inicial voy a tener la velocidad angular inicial y en lugar de la aceleración voy a tener la aceleración angular y el tiempo sigue siendo el tiempo este no cambia no existe nada como tiempo angular o tiempo lineal estáte es única y funciona igual en ambas ecuaciones y se pueden preguntar cuándo van a ser ciertas estas fórmulas de movimiento rotacional cuando alfa sea constante la aceleración angular y podemos continuar así en donde sea que tengamos x que es la posición vamos a reemplazarla por z que es la posición angular así que vamos a reemplazar todas las x por theta reemplazamos todas nuestras aceleraciones por aceleraciones angulares y finalmente reemplazamos todas nuestras be inicial y be final con una mega inicial iomega final y estas son las fórmulas cinemáticas rotacional es sólo se cumplen si la aceleración angular es constante y si es constante estas fórmulas son una manera conveniente de relacionar todas las variables de movimiento rotacional entre sí y podemos resolver muchos problemas usando estas fórmulas de cinética rotacional y las vamos a usar de la misma manera que usamos estas fórmulas del movimiento lineal identificamos las variables que conocemos identificamos la variable que queremos encontrar y elegimos aquella fórmula que nos permite despejar nuestra variable incógnita a ver algunos ejemplos de problemas que podemos resolver usando estas fórmulas ya que necesitamos cierta práctica para poder usar estas fórmulas con comodidad copio estas fórmulas que son las que vamos a usar y vamos a usarlas para resolver algunos problemas de cinemática rotacional nos deshacemos de todo esto y vamos a resolver el primer problema este problema nos dice que tenemos una barra de 4 metros de longitud y es lo que he tenido aquí todo el tiempo y pueden ver que puede rotar y comienza a rotar a 5 revoluciones con una aceleración angular constante de 30 radiales por segundo al cuadrado y la pregunta es cuánto tiempo le lleva a hacer cinco revoluciones qué hacemos cómo resolvemos este problema primero tenemos que identificar todas las variables que conocemos y aquí dice que rota a cinco revoluciones esta es la cantidad de ángulo que ha recorrido pero tiene unidades extrañas están en revoluciones y nosotros conocemos que es del tate está cinco revoluciones pero queremos nuestra delta t está en radiales que vean que nuestra aceleración está dada en 30 radiales por segundo al cuadrado tenemos que asegurarnos de comparar manzanas con manzanas por lo que no puedo tener revoluciones en delta theta y una aceleración en radiales tenemos que elegir una unidad y la unidad que típicamente elegimos son los radiales cuantos radiales habrá en cinco revoluciones una revolución es 2 y radiales porque un círculo completo es igual a 2 pirra dian es lo que significa que cinco revoluciones van a tener cinco por dos por pi radiales lo que nos da 10 y radiales ya tenemos nuestro desplazamiento angular que otra cosa conocemos nos dicen que la aceleración angular es constante y es de 30 radiales por segundo al cuadrado esta es nuestra aceleración angular es de 30 radiales por segundo al cuadrado podemos escribir los radiales o podemos omitir los a veces dejan esto vacío y solo poner 1 / s al cuadrado y es por eso que aquí no puse los radiales aunque podemos escribirlo si queremos y está alfa será positiva o negativa bueno este objeto se está acelerando comenzó en reposo por lo que quiere decir que aumentó su rapidez por lo que la dirección del desplazamiento angular es la misma que la dirección de la aceleración angular es decir si algo está aumentando su rapidez nos tenemos que asegurar que su aceleración angular tenga el mismo signo que la velocidad angular y viceversa y ya que aquí tenemos 10 y radiales positivos y el objeto aumenta su rapidez pues vamos a tener una aceleración angular positiva si esta barra fuera más despacio tendríamos que asegurarnos que está alfa tenga el signo opuesto al de la velocidad angular pero estas son sólo dos variables de movimiento rotacional siempre necesitamos tres variables para poder encontrar la cuarta y cuál es nuestra tercera variable cinemática rotacional pues es que nos dicen que el objeto comenzó en reposo y este es el código que indica que la omega inicial es igual a 0 la velocidad angular inicial es 0 ya que está en reposo y esta es nuestra tercera variable conocida y ahora si ya tenemos 3 y podemos despejar la cuarta y lo que queremos conocer es el tiempo cuánto tiempo le lleva a hacer cinco revoluciones estas son las variables involucradas y la forma en la que yo me doy cuenta cuál es la fórmula que debo usar es revisar cuáles son las variables que sí conozco y aquella variable que no conozco y ver cuál es la variable que no está involucrada y eso mega final aquí no está involucrada o mega final así que voy a usar la fórmula cinemática rotacional que no involucra a omega final ponemos esto por acá y veo que la primera tiene a omega final y esta no es la que quiero usar ya que no la tengo involucrada veo la segunda fórmula y también tiene esta omega final veo la tercera y en esta no tengo la omega final así que vamos a usar esta fórmula la copiamos aquí conocemos delta teta que es de 10 y radiales sabemos que omega inicial- fue cero por lo que todo esto va a ser igual a 0 0 por t va a ser igual a 0 y nos queda un medio por la aceleración angular que es de 30 radiales por segundo al cuadrado positivo y aquí queremos conocer el tiempo y no debemos olvidar que aquí el tiempo está al cuadrado despejamos t algebraica mente multiplicando ambos lados por 2 lo que nos da 20 pi y luego lo dividimos entre 30 lo que nos va a dar 20 pin que técnicamente son 20 pi radiales dividido entre 30 radiales por segundo al cuadrado y debemos encontrar la raíz cuadrada ya que tenemos tiempo al cuadrado pero lo que nos preguntan es el tiempo y si calculamos esto nos queda que el tiempo es igual a 1.45 segundos y nuestras unidades se cancelan como deben hacerlo radiales con radiales estos segundos al cuadrado pasan al numerador y el cuadrado se cancela con la raíz cuadrada por lo que nos quedan segundos al final segunda parte del problema nos pregunta cuál es la velocidad angular después de rotar cinco revoluciones hay dos formas en las que podemos resolver esto ahorita encontramos el tiempo es decir conocemos todas las variables excepto la velocidad angular final por lo que ahora puedo usar cualquiera de estas y para mí la primera es la más sencilla no tenemos nada elevado al cuadrado ni alguna proporción involucrada por lo que podemos decir que omega final va a ser igual a omega inicial que es cero más la aceleración angular que es de 30 y como conocemos el tiempo podemos decir que es de 1.45 segundos lo que me da una velocidad angular final de 43.5 radiales por segundo esta es la rapidez con la que esto está rotando al momento de alcanzar las cinco revoluciones este es un ejemplo ahora vamos a ver otro vamos a llevarnos nuestras fórmulas cinemáticas rotacionales quitamos todo esto y ahora tenemos que de cuatro metros de longitud inicia con una velocidad angular ahora no está en reposo inicia con una velocidad y desacelera con una desaceleración constante hasta detenerse después de haber rotado 20 revoluciones y la primera pregunta es qué tan rápido se mueve al inicio el borde de la barra en metros por segundo en otras palabras este punto de la barra va a tener cierta velocidad hacia acá y nosotros queremos conocer cuál es esta velocidad al inicio en metros por segundo esto no es muy difícil tenemos una fórmula que relaciona la rapidez con la rapidez angular tomamos la distancia del eje hasta el punto en donde queremos determinar la rapidez y lo multiplicamos por la velocidad angular lo que nos va a dar la rapidez de ese punto tengan cuidado porque está r siempre va del eje y aquí tenemos el eje a partir del eje la distancia hasta el punto en donde queremos medir la rapidez que es de hecho la longitud de esta barra por lo que será de 4 metros y para encontrar la rapidez decimos que es igual a 4 metros ya que queremos conocer la rapidez de este punto que se encuentra a 4 metros del eje y lo multiplicamos por la velocidad angular que al inicio era de 40 radiales por segundo y nos queda que la rapidez en este punto a 4 metros del eje es de 160 metros por segundo lo que es bastante rápido y este es el punto más rápido en toda esta barra si quisiéramos conocer la rapidez de la barra en el punto que está a la mitad sería la mitad del del extremo ya que nuestra r de acá sería de 2 metros medidos desde el eje hasta este punto y mientras más nos acerquemos al eje más pequeña se volverá a esta ere por lo que también la rapidez será menor por lo que estos puntos de aquí de la barra no se van a mover muy rápido debido a que su erre va a ser muy pequeña todos estos puntos tienen la misma velocidad angular es todos rotan el mismo número de radiales por segundo pero la distancia del círculo en el que viajan es diferente por lo que su rapidez va a ser diferente y así respondemos la parte a qué tan rápido se mueve al inicio el borde de la barra en metros por segundo y fue de 160 metros por segundo y la segunda parte nos pregunta cuál es la aceleración angular de la barra y para esta vamos a tener que usar una fórmula de cinemática rotacional ponemos estas aquí y nuevamente tenemos que identificar qué es lo que sabemos y sabemos que la velocidad angular inicial es de 40 en esta ocasión conocemos un mega inicial que es de 40 radiales por segundo esto gira a 20 revoluciones que es del tate está pero nuevamente no podemos escribir directamente 20 ya que queremos esto en términos de radiales para poder usar las fórmulas cinemáticas rotacional es todo tiene que tener las mismas unidades por lo que multiplicamos 20 revoluciones por 2 pi radio por revolución lo que nos da 40 y radiales y que es la tercera cosa que debemos conocer recuerden que siempre debemos de conocer tres elementos para poder usar las fórmulas cinemáticas rotacionales y el dato es que nos dicen que desacelera hasta detenerse y cómo se detiene quiere decir que o megas final es igual a cero y queremos la aceleración angular que es alfa y es lo que queremos conocer y estas son las variables que queremos usar para conocer la fórmula que voy a usar tengo que darme cuenta cuál es la variable que no está involucrada aquí y en este caso es el tiempo no me están dando el tiempo ni tampoco me están preguntando el tiempo y ya que ésta no está involucrada puede buscar aquella fórmula que no tiene al tiempo en ella no es la primera no es la segunda tampoco la tercera es la cuarta vamos a usar esta fórmula la ponemos aquí y sabemos que omega final es cero sería cero al cuadrado pero cero al cuadrado sigue siendo cero esto es igual a omega inicial- al cuadrado que es 40 radiales por segundo al cual 2 más 2 por la aceleración angular que es nuestra incógnita así que alfa la dejamos como variable y de la teta sabemos que es 40 pi radiales ya que eran 20 revoluciones y si despejamos algebraica mente alfa movemos el 40 al otro lado los restamos por lo que nos queda menos 40 radiales por segundo al cuadrado y esto lo dividimos entre este 2 por 40 pi radiales lo que me da menos 6.37 radiales por segundo al cuadrado porque es negativo pues porque esto se fue desacelerando hasta detenerse por lo que esta aceleración angular debe tener el signo opuesto al de nuestra velocidad angular nuestra velocidad angular inicial era positiva por lo que la aceleración angular va a ser negativa en resumen estas son las fórmulas cinemáticas rotacionales que relacionan entre sí las variables de movimiento rotacional y sólo se cumple si a la aceleración angular es constante y cuando es constante podemos identificar las tres variables que conocemos y aquella variable que desconocemos y usamos la variable que no está involucrada para identificar cuál es la fórmula que vamos a usar ya que usaremos la fórmula que no tiene la variable que no está involucrada aquella variable que no nos fue dada ni tampoco nos preguntan por ella