Contenido principal
Tiempo actual: 0:00Duración total:9:40

Transcripción del video

en videos anteriores vimos que una pelota con massa m que está rotando en un círculo con radio r y con una rapidez b va a tener lo que llamamos momento angular y el símbolo que usamos para momento angular es una l mayúscula y la cantidad de momento angular que va a tener va a ser igual a la masa de la pelota por la rapidez de esta pelota esto básicamente es la magnitud del momento y esto lo multiplicamos por el radio del círculo en el que se está moviendo esta pelota y esto nos va a dar el momento angular de esta pelota que se está moviendo en un círculo lo que está muy bien y es bueno de saber pero no siempre vamos a tener una pelota moviéndose en círculo y vamos a querer conocer el momento angular por ejemplo en lugar de tener esto vamos a tener esto en lugar de tener una pelota que va alrededor de un círculo vamos a tener una barra que va a girar en uno de sus extremos es una barra con massa m y radio r y toda la barra va a girar en un círculo y digamos que el extremo derecho va a estar moviéndose con una rapidez ve igual que como lo hacía la pelota y aquí la pregunta es esta barra también tendrá momento angular que sea igual a m por b por rr y no no va a ser así ya que la pelota teníamos que toda la masa iba a viajar con una rapidez b y toda la masa se encontraba en la parte exterior de este círculo en otras palabras toda esta masa estaba viajando con un radio r pero para esta barra aquella masa que se encuentra en este extremo es la que va a estar viajando con un radio r lo demás de la masa como por ejemplo la que está aquí va a trazar un círculo pero este círculo que traza no va a tener un radio r va a tener un valor menor a r así que como determinamos el momento angular de un objeto cuya masa está distribuida de forma que algo de la masa esté más cercana al eje y otra parte de la masa esté más lejana al eje y esto es lo que vamos a ver en este vídeo la aproximación que usan los físicos para esto y casi siempre es el mismo decimos bueno tengo la fórmula para el momento angular de una sola partícula viajando alrededor de un círculo y con un mismo radio ahora imaginemos que nuestro objeto continuo está compuesto por muchísimos por muchísimas masas que están viajando con un solo radio fides compongo este objeto continuo en piezas individuales si me lo imagino que está separado en todas estas piezas pues si yo encuentro el momento angular para cada una de estas piezas individuales y la asumo todas voy a obtener el momento angular total de este objeto completo vamos a hacerlo el momento angular de un pedazo de este objeto pues va a ser igual a la masa de este pedacito lo voy a escribir como m pero no es la masa completa sólo va a ser la mansa de este pequeño pedazo x el radio en que se encuentra para aclarar esto vamos a referirnos como pedazos 1 a esta masa aquí tenemos m1 b1 y r1 y esto va a ser el momento angular de este pedazo uno y si lo hacemos para este pedazo de acá el momento angular de este pedazo dos se da de m2 por de dos por dos ahora tengan en mente que todas estas vez van a ser diferentes la rapidez en el extremo derecho va a ser mayor que la rapidez de este pedazo 1 y la rapidez del pedazo que está más cercano al eje pues va a ser menor ya que va a estar trazando círculos más pequeños en la misma cantidad de tiempo de lo que lo hacen estas piezas que están más exteriores y quizá este punto les preocupe y piensen que va a ser muy difícil de calcular vamos a tener que sumar todas estas piezas y cada una va a tener una rapidez diferente y radios diferentes cómo vamos a hacer eso ténganme paciencia ahorita lo vamos a ver aquí algo mágico va a ocurrir imaginen que sumamos todos estos pedazos aquí sólo dibuje 2 pero imagínense que hay una cantidad infinita de pedazos de masaaki lo cual nos parecerá que hace todo más difícil pero no se preocupe imagínense entonces que dividimos esto en una cantidad infinita de pedazos de masa y consideramos el momento angular individual de cada una de ellas y serán cantidades muy pequeñas ya que éste me va a ser una parte infinitesimal de la masa del objeto y si las sumamos que va a pasar sumamos las m por b por ere de todos los pedazos de masa que tenemos aquí esto va a ser el momento angular total de la barra esto es m1 por de uno por r1 más m2 por b2 por r 2 y así sucesivamente para la cantidad infinita de fragmentos de masa que tenemos aquí no lo podemos escribir porque es una cantidad infinita de elementos y ahora cómo podemos resolver todo esto en física queremos usar un método más inteligente para resolver todas estas sumas infinitas y esta forma es si escribimos l igual a la suma de gm por depot r tenemos el problema de que cada massa tiene una vez diferente si factor hizo cosas de esta suma me va a ayudar a simplificar las cosas pero aquí no puedo factorizar las erres porque todas las masas se encuentran en radios diferentes porque todas las masas se encuentran a distancias diferentes de lg y además cada massa tiene una rapidez diferente de las demás pero recuerden que aquí nos gusta escribir las cantidades en términos de variables angulares ya que las variables angulares van a ser las mismas para todos los puntos de esta masa así que aunque cada punto de esta barra que rota tiene una velocidad diferente todos estos puntos van a tener la misma velocidad angular omega y esto es algo clave que vamos a hacer aquí esto va a ser la suma de m pero en lugar de escribir b voy a usar la velocidad angular omega r por omega recuerden que para algo que rota en un círculo la rapidez b va a ser igual a r por omega y esto es lo que estamos sustituyendo aquí la rapidez de cualquier punto aquí va a ser el radio de ese punto por por la rapidez angular de toda la barra de aquí que está rotando en un círculo y esto aún no tengo que multiplicar por la última rd aquí esto era bebé que sustituimos por r omega y esto lo multiplicamos por rr nos va a quedar que él es la suma de m por el real cuadrado por omega y esto está muy bien ya que la omega es la misma para todos los puntos en esta barra todas las masas individuales van a viajar a la misma velocidad angular así que podemos factorizar esto fuera de la suma ya que se pueden imaginar que todos estos términos de aquí van a tener una omega la factory zamo si la sacamos fuera de la suma esto es igual a la suma de m por r al cuadrado y para hacerlo más claro ponemos paréntesis todo esto está x omega que justamente la factory samos y quizá ustedes no se sienten presionados por esto no es la gran cosa ya que de todas maneras tenemos una suma infinita aquí y qué voy a hacer con eso pues no tienen que hacer nada justo es aquí donde ocurre la magia noten que tenemos la suma de todas las emes por r al cuadrado y recuerdan que era m por r al cuadrado m por el real cuadrado es el momento de inercia de una masa puntual y sumó todas las m por r al cuadrado pues voy a tener el momento de inercia de toda la barra sí que encontramos una manera bastante práctica de escribir él momento angular de un objeto que es el momento de inercia del objeto y mayúscula multiplicada por la velocidad angular del objeto y ésta es una fórmula genial que tiene sentido porque si piensan en el momento regular el momento regular pp es igual a la masa por la rapidez y si ustedes me dicen que quieren determinar el momento angular sin hacer toda esta reducción de aquí pues podríamos decir que el momento angular es igual a pues voy a reemplazar la masa por el momento de inercia que es la más angular o la inercia angular y reemplazó la rapidez con la rapidez anular y así obtengo esta fórmula tiene sentido porque estoy reemplazando todas las variables regulares con su contraparte angular y así obtenemos el momento angular de un objeto que está en rotación así que si ustedes tienen un objeto extendido como masa y que ésta homogéneamente distribuida en todo el objeto si tomamos el momento de inercia de ese objeto y lo multiplicamos por su rapidez angular tendremos un momento angular por ejemplo si esta barra tiene una masa de tres kilogramos y esta masa está distribuida homogéneamente y digamos que el radio de este objeto es de dos metros es la distancia del eje hasta el borde externo de la barra y digamos que la velocidad angular de este objeto es de 10 radiales por segundo podemos calcular el momento angular de esta barra diciendo que el momento angular de este objeto es igual al momento de inercia y el momento de inercia de una barra que rota en uno de sus extremos va a ser igual a un tercio de m por l al cuadrado y esto lo multiplicamos por la velocidad angular del objeto así que sustituimos cantidades aquí y nos queda que el momento angular de este objeto un tercio m que es de 3 kilogramos por l que es la longitud que es de 2 metros al cuadrado y lo multiplicamos por la rapidez angular de 10 radiales por segundo lo que nos dará un momento angular de 40 kilogramos metros al cuadrado por segundo en resumen si tenemos una masa puntual donde toda la masa rota con el mismo radio y queremos encontrar el momento angular la forma más fácil de encontrar la es con la fórmula ebep orbe por r sin embargo si tenemos un objeto cuya masa está distribuida de manera que diferentes puntos del objeto van a tener un radio diferente la forma más sencilla de encontrar el momento angular de este objeto es usando la fórmula y omega donde y es el momento de inercia del objeto y omega es la velocidad angular de este objeto