El momento angular de un objeto extendido

en vídeos anteriores vimos que una pelota con masa m que está rotando en un círculo con radio r y con una rapidez be va a tener lo que llamamos momento angular y el símbolo que usamos para momento angular es una l mayúscula y la cantidad de momento angular que va a tener va a ser igual a la masa de la pelota por la rapidez de esta pelota esto básicamente es la magnitud del momento y esto lo multiplicamos por el radio del círculo en el que se está moviendo esta pelota y esto nos va a dar el momento angular de esta pelota que se está moviendo en un círculo lo que está muy bien y es bueno de saber pero no siempre vamos a tener una pelota moviéndose en círculo y vamos a querer conocer el momento angular por ejemplo en lugar de tener esto vamos a tener esto en lugar de tener una pelota que va alrededor de un círculo vamos a tener una barra que va a girar en uno de sus extremos con masa m y radio r y toda la barra va a girar en un círculo y digamos que el extremo derecho va a estar moviéndose con una rapidez de igual que como lo hacía la pelota y aquí la pregunta es esta barra también tendrá momento angular que sea igual a m por b por r y no no va a ser así ya que la pelota teníamos que toda la masa iba a viajar con una rapidez y toda la masa se encontraba en la parte exterior de este círculo en otras palabras toda esta masa estaba viajando con un radio r pero para esta barra aquella masa que se encuentra en este extremo es la que va a estar viajando con un radio r lo demás de la masa como por ejemplo la que está aquí va a trazar un círculo pero este círculo que traza no va a tener un radio r va a tener un valor menor a r así que como determinamos el momento angular de un objeto cuya está distribuida de forma que algo de la masa esté más cercana al eje y otra parte de la masa esté más lejana al eje y esto es lo que vamos a ver en este vídeo la aproximación que usan los físicos para esto y casi siempre es el mismo decimos bueno tengo la fórmula para el momento angular de una sola partícula viajando alrededor de un círculo con un mismo radio ahora imaginemos que nuestro objeto continuo está compuesto por muchísimos por muchísimas masas que están viajando con un solo radio si descompongo este objeto continuo en piezas individuales si me lo imagino que está separado en todas estas piezas pues si yo encuentro el momento angular para cada una de estas piezas individuales y las sumo todas voy a obtener el momento angular total de este objeto completo vamos a hacerlo el momento angular de un pedazo de este objeto pues va a ser igual de este pedacito lo voy a escribir como m pero no es la masa completa solo va a ser la masa de este pequeño pedazo multiplicado por el radio en que se encuentra para aclarar esto vamos a referirnos como pedazo 1 a esta masa aquí tenemos m 1 v1 y r 1 y esto va a ser el momento angular de este pedazo 1 y si lo hacemos para este pedazo 2 de acá el momento angular de este pedazo 2 se da de m2 por b 2 por r 2 ahora tengan en mente que todas estas veces van a ser diferentes la rapidez en el extremo derecho va a ser mayor la rapidez de este pedazo 1 y la rapidez del pedazo que está más cercano al eje pues va a ser menor ya que va a estar trazando círculos más pequeños en la misma cantidad de tiempo de lo que lo hacen estas piezas que están más exteriores y quizá este punto les preocupe y piensen que va a ser muy difícil de calcular vamos a tener que sumar todas estas piezas y cada una va a tener una rapidez diferente y radios diferentes cómo vamos a hacer eso bueno tengan paciencia ahorita lo vamos a ver aquí algo mágico va a ocurrir imaginen que sumamos todos estos pedazos aquí sólo dibuje dos pero imagínense que hay una cantidad infinita de pedazos de masa aquí lo cual nos parecerá que hace todo más difícil pero no se preocupen imagínense entonces que dividimos esto en una cantidad infinita de pedazos de masa y consideramos el momento angular individual de cada una de ellas y se dan cantidades muy pequeñas ya que ésta me va a ser una parte infinitesimal de la masa del objeto y si las sumamos que va a pasar sumamos las m por b por r de todos los pedazos de masa que tenemos aquí esto va a ser el momento angular total de la barra esto es m 1 por b 1 por r 1 + m2 por b 2 por r 2 y así sucesivamente para la cantidad infinita de fragmentos de masa que tenemos aquí no lo podemos escribir porque es una cantidad infinita de elementos y ahora cómo podemos resolver todo esto en física queremos usar un método más inteligente para resolver todas estas sumas infinitas y esta forma es si escribimos el igual a la suma de m por b por r tenemos el problema de que cada masa tiene un ave diferente si factor hizo cosas de esta suma me va a ayudar a simplificar las cosas pero aquí no puedo factorizar las erres porque todas las masas se encuentran en radios porque todas las masas se encuentran a distancias diferentes del eje y además cada masa tiene una rapidez diferente de las demás pero recuerden que aquí nos gusta escribir las cantidades en términos de variables angulares ya que las variables angulares van a ser las mismas para todos los puntos de esta masa así que aunque cada punto de esta barra que rota tiene una velocidad diferente todos estos puntos van a tener la misma velocidad angular o mega y esto es algo clave que vamos a hacer aquí esto va a ser la suma de m pero en lugar de escribir ven voy a usar la velocidad angular o mega r por omega recuerden que para algo que rota en un círculo la rapidez va a ser igual a ere por omega y esto es lo que estamos sustituyendo aquí la rapidez de cualquier punto aquí va a ser el radio de ese punto x por la rapidez angular de toda la barra de aquí que está rotando en un círculo y esto aún lo tengo que multiplicar por la última r de aquí esto era b que sustituimos por r omega y esto lo multiplicamos por r nos va a quedar que l es la suma de m por r al cuadrado por omega y esto está muy bien ya que la omega es la misma para todos los puntos en esta barra todas las masas individuales van a viajar a la misma velocidad angular así que podemos factorizar esto fuera de la zona ya que se pueden imaginar que todos estos términos de aquí van a tener una omega las actualizamos y las sacamos fuera de la suma esto es igual a la suma de m por r al cuadrado y para hacerlo más claro ponemos paréntesis todo esto está multiplicado por omega que justamente la factory zados y quizá ustedes no se sientan impresionados por esto no es la gran cosa ya que de todas maneras tenemos una suma está aquí y qué voy a hacer con eso pues no tienen que hacer nada justo es aquí donde ocurre la magia noten que tenemos la suma de todas las emes por r al cuadrado y recuerdan que era m por r al cuadrado m por r al cuadrado es el momento de inercia de una masa puntual y si sumo todas las m por r al cuadrado pues voy a tener el momento de inercia de toda la barra así que encontramos una manera bastante práctica de escribir el momento angular de un objeto que es el momento de inercia del objeto y mayúscula multiplicada por la velocidad angular del objeto y esta es una fórmula genial que tiene sentido porque si piensan en el momento regular el momento regular t es igual a la masa por la rapidez y si ustedes me dicen que quieren determinar el momento angular sin hacer toda esta reducción de aquí pues podríamos decir que el momento angular es igual a pues voy a reemplazar la masa por el momento de inercia que es la más angular o la inercia angular y reemplazo la rapidez con la rapidez angular y así obtengo esta fórmula tiene sentido porque estoy reemplazando todas las variables regulares con su contraparte angular y así obtenemos el momento angular de un objeto que está en rotación así que si ustedes tienen uno extendido como masa y que está homogéneamente distribuida en todo el objeto si tomamos el momento de inercia de ese objeto y lo multiplicamos por su rapidez angular tendremos un momento angular por ejemplo si esta barra tiene una masa de 3 kilogramos y esta masa está distribuida homogéneamente y digamos que el radio de este objeto es de 2 metros es la distancia del eje hasta el borde externo de la barra y digamos que la velocidad angular de este objeto es de 10 radiales por segundo podemos calcular el momento angular de esta barra diciendo que el momento angular de este objeto es igual al momento de inercia y el momento de inercia de una barra que rota en uno de sus extremos va a ser igual a un tercio de m por l al cuadrado y esto lo multiplicamos por la velocidad angular del objeto así que sustituimos cantidades aquí y nos queda que el momento angular de este objeto un tercio m que es de tres kilogramos por l que es la longitud que es de dos metros al cuadrado y lo multiplicamos por la rapidez angular de 10 radiales por segundo lo que nos dará un momento angular de 40 kilogramos metro al cuadrado por segundo en resumen si tenemos una masa puntual donde toda la masa rota con el mismo radio y queremos encontrar el momento angular la forma más fácil de encontrarla es con la fórmula m por b por r sin embargo si tenemos un objeto cuya masa está distribuida de manera que diferentes puntos del objeto van a tener un radio diferente la forma más sencilla de encontrar el momento angular de este objeto es usando la fórmula y o'mega donde y es el momento de inercia del objeto iomega es la velocidad angular de este objeto