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La versión rotacional de la segunda ley de Newton

Transcripción del video

ahora sabemos cómo encontrar el torque pero para qué nos sirve el torque bueno aquí hay una cosa para la que nos lleve nosotros sabemos de la segunda ley de newton que la aceleración es proporcional a la fuerza algo que nos gustaría tener es un análogo para la rotación de esta fórmula algo que nos diga que sí tenemos cierta cantidad de aceleración angular para cierta cantidad de torque probablemente podríamos adivinar que esta aceleración angular va a tener algo probablemente como el torque aquí arriba ya que el torque va a ocasionar que algo se acelere angular mente y en la parte de abajo quizá tenga alguna massa quizás no pero es lo que necesitamos encontrar aquí si tuviéramos una fórmula análoga a la segunda ley de newton pero para el torque entonces podríamos encontrar cuál es la aceleración angular de la misma manera que aquí arriba si conocemos la fuerza podemos encontrar la aceleración y esto es lo que queremos hacer en este vídeo deducir esta fórmula análoga para la rotación de la segunda ley de newton para un objeto que está rotando en un círculo como esta bola de que iu es algo que no sólo está rotando en un círculo está acelerando angular mente está aumentando la rapidez de su rotación o que quizá disminuya la rapidez de su rotación vamos a deducir esta fórmula para que sí conocemos el torque podríamos determinar la aceleración angular de la misma forma que encontramos la aceleración regular al conocer la fuerza en la segunda ley de newton como hacemos esto para tener una aceleración angular vamos a necesitar una fuerza que sea tan gente al círculo para poder acelerar algo angular mente necesitamos una fuerza tangencial ya que esta fuerza me va a ocasionar un torque digamos que esta es la fuerza que me ocasiona el torque y ya sabemos cómo encontrar esta fuerza recuerden que el torque es igual a r por efe porsche no detectan pero vamos a simplificar lo aquí diciendo que el ángulo es de 90 grados de manera que el seno de eta termine siendo uno ya que el seno de 90 es igual a 1 y también vamos a simplificar las cosas diciendo que esta fuerza es la fuerza neta digamos que hay sólo una fuerza en este objeto que es está nuestra fuerza neta y sabemos que la fuerza en eta tiene que ser igual a la masa del objeto por la aceleración de ese objeto y me pueden decir vaya qué novedad esto ya lo sabemos bueno recuerden que queremos relacionar el torque con la aceleración angular así que vamos a escribir la fórmula del torque si queremos encontrar el torque de una fuerza recordamos que el torque va a ser igual a la fuerza que ejerce el sector que multiplicada por r la distancia del eje hasta el punto en donde se aplica la fuerza y en este caso es todo el radio ya que estamos aplicando la fuerza hasta este extremo si esta fuerza se aplicará en alguna parte un poco más adentro sería solamente hasta esa distancia desde el eje hasta el punto en donde se ejerce la fuerza que provoca el torque pero aquí lo estamos aplicando hasta el extremo así que va a ser esto por todo el radio y también está el seno del ángulo / efe yerre pero el ángulo entre fbi rsa 90 grados así que el seno de 90 grados es igual a 1 así que podemos deshacernos de esto y ya queda más sencillo el torque ejercido por esta fuerza efe va a hacer efe por r y qué hacemos con esto pues vean aquí aquí abajo ya tenemos una f y si son creativos pueden decir pues vamos a multiplicar ambos lados por rr y así podremos incluir el torque en esta fórmula multiplicó r por el lado izquierdo y me queda r por efe y multiplicó r por el lado derecho que me queda r por m por la aceleración lo que está bien ya que ahora tenemos el reporte efe que es el torque y nos queda que el torque es igual a r por m por la aceleración pero esto no sirve ya que necesitamos una fórmula que nos relación el torque con la aceleración angular no con la aceleración regular y con qué podemos reemplazar esta aceleración regular si ustedes recuerdan cuando hablamos de las variables del movimiento angular mencionamos la aceleración tangencial y está siempre va a ser igual a la distancia desde el eje hasta el objeto que tiene la aceleración tangencial x la aceleración angular está alfa aquí tenemos una relación entre alfa y la aceleración tangencial pero no sirve para algo esta aceleración tangencial si no sirve ya que ésta es la fuerza tangencial aquí tenemos la fuerza tangencial que va a ser proporcional a la aceleración tangencial esto es tangencial y esta fuerza también es tangencial de manera que puedo reescribir la aceleración tangencial como r por alfa y es lo que vamos a hacer es el ãdolo reescribimos como r por alfa ya que erre por alfa es la aceleración tangencial así que este término de aquí es la aceleración tangencial y ahora tenemos que el sector que va a ser igual a r por m por r por alfa combinamos las dos erres y nos queda m por el real cuadrado por alfa ni aceleración angular y ya estamos cerca 7 una fórmula de la segunda ley de newton y puedo dejarla ásí o pueda ponerla de manera que luzca parecida a ésta otra despejó alfa y me queda que la aceleración angular en esta masa es igual al torque ejercido en esta masa / m la masa por r al cuadrado y esto es justamente lo que estábamos buscando vamos a escribir lo aquí el análogo rotacional de la segunda ley de newton es todo el que entre este término de aca m por r al cuadrado y esto a qué se parece pues cumple el mismo propósito que la masa la fórmula de la aceleración regular de la segunda ley de newton regular y recuerden que esta masa es proporcional a la ley erzia del objeto nos dice qué tan difícil es hacer que este objeto se acelere que tanto se resiste un objeto al movimiento oa la aceleración a esto se refiere este término de aquí las personas usualmente le llaman a esto el momento de inercia pero este es un hombre bastante complicado para una idea de física y para mí suena extraño pero esto se representa con la letra i mayúscula y sirve para el mismo propósito en este denominador es análogo a la masa no sirve para indicar la inercia rotacional del sistema o en otras palabras algo con una gran inercia rotacional va a poner resistencia a la aceleración angular como algo que tiene mucha inercia regular poner resistencia a la aceleración regular así que ya sabemos de qué depende esta bola para una bola al final de la cuerda su momento de inercia es m por r al cuadrado esto es el denominador es el término que no sirve para la inercia rotacional para esta masa en esta cuerda lo que significa que si tenemos una masa más grande o una cuerda más larga este objeto sería difícil de acelerar angular mente difícil de hacer que rote que comience a dar vueltas y acelerar estas vueltas y por otra parte si la masa es pequeña o la longitud de la cuerda es pequeña va a ser mucho más sencillo acelerar angular mente esta masa pero sí tenemos una masa muy grande o una longitud de la cuerda más grande pues nos va a aumentar el momento de inercia que es este término de aquí así que la podemos ver cómo la inercia rotacional que me parece es un hombre mucho más adecuado y muchas personas comienzan a pensar que éste es un mejor término para esta idea este término de momento de inercia es un término histórico y la verdad no es muy buena es mejor inercia rotacional ya que nos describe mejor de qué trata esta i mayúscula y debemos reconocer las unidades de esta inercia rotación tal y como es massa por radio al cuadrado sus unidades van a ser kilogramo por metro al cuadrado estas son las unidades de el momento de inercia y esta es la fórmula si tenemos una masa puntual y con esto me refiero a una masa en la cual toda su masa está viajando en el mismo radio y gira en un círculo y no tiene que estar unida a una cuerda esta podría ser la luna orbitando a la tierra pero siempre que toda la masa esté en el mismo radio y viajando en un círculo y digamos que este radio de esta esfera es muy muy pequeña al menos comparada con este radio si este es el caso en donde prácticamente toda la masa está girando en un círculo con el mismo radio ésta será la fórmula para encontrar el momento de inercia y esto cómo se puede complicar qué es lo que debemos cuidar bueno aquí sólo consideramos una fuerza y podemos imaginar que quizá haya varias fuerzas actuando en este objeto quizá tenemos otra fuerza aquí en cuyo caso sólo debemos considerar la fuerza neta para asegurarnos de que esto sea igual a m por ahora y debemos asegurarnos de usar el torque neto aquí esta fórmula no sigue sirviendo si tenemos varios toques en este objeto aquí sólo tendremos que usar el torque neto de todo el sistema vamos a sumar todos los torques aquellos torques que giren o roten hacia un lado serán positivos y aquellos torques que roten en el lado contrario serán negativos por lo que tenemos que asegurarnos de escribir bien los signos aquí y qué hay de la inercia rotacional qué pasa si nuestro objeto no es tan sencillo como una sola masa queríamos en este caso vamos a ver lo vamos a copiar esta fórmula de acá nos deshacemos de todo esto y digamos que tenemos este problema lo tenemos tres más aquí y tenemos una fuerza en esta masa que es de 20 minutos hacia abajo y tenemos otra fuerza de 50 newtons hacia arriba en esta otra masa todas tienen una separación de tres metros y pueden rotar en un círculo y podemos resolver este problema con la fórmula que acabamos de deducir y digamos que queremos encontrar cuál es la aceleración angular para cada una de estas masas en esta configuración particular vamos a usar esta fórmula para la segunda ley de newton en su forma angular y digamos que la aceleración angular que es lo que queremos encontrar va a ser igual al torque neto y cómo encontramos el torque neto aquí tenemos dos fuerzas en realidad no es tan difícil sólo tenemos que encontrar el torque en cada una de las masas individuales y luego sumarlos como lo haríamos para encontrar un vector neto sumar cada uno individualmente pero esto no va a ser 50 menos 20 estos son torques tenemos que usar la fórmula de torque para cada uno de ellos y no usar la fuerza así que vamos a tener que multiplicar cada una de estas fuerzas por el radio que les corresponde así que no traten de poner este 50 directamente aquí necesitamos multiplicarlo por una r cuál re tengan cuidado quizás podrían pensar que es de 3 metros pero no r siempre se mide a partir del eje de rotación que es el centro hasta el lugar en donde se aplica la fuerza así que el torque para este 50 base 50 por tres más tres más 399 metros por 50 newtons y ahora ya tenemos el torque no tenemos un torque hasta que multiplicamos la fuerza por una r ya tenemos el torque para los 50 newtons y cuál será el torque para los 20 minutos pues va a ser 20 newtons pero no puedo dejar solito este 20 tenemos que multiplicarlo por ere y cuál va a ser esa r no va a hacer tres siempre va a ser la distancia del eje de rotación hasta el lugar en donde se aplica la fuerza que estrés más 36 son seis metros y muchas personas se ponen contentos de llegar a este punto se acordaron de multiplicar por la r por enac y un más y son felices pero se van a equivocar no podemos poner un más aquí vean que esta fuerza de 50 minutos está intentando hacer que el sistema rote en sentido antihorario la fuerza de 50 minutos intenta que todo esto se mueva hacia acá pero la fuerza de 20 newton se está tratando de hacer que el sistema rote hacia acá abajo en sentido horario se están oponiendo por lo que vamos a tener un torque de distinto signo en estas dos fuerzas y voy a representar el torque de la fuerza de 20 minutos como un torque negativo y esa es la convención que normalmente elegimos todo lo que se mueva en sentido horario va a ser negativo y lo que se mueve en sentido antihorario va a ser positivo pero no importa cuál convención elijan estos van a tener signos diferentes así que hay que tener cuidado aquí y este es nuestro torque meto cómo encontramos la inercia rotacional o el momento de inercia pues vimos del ejemplo anterior que el momento de inercia de una masa puntual que es una masa que se mueve en un círculo o de que toda la masa se mueve en un radio particular va a ser m por r al cuadrado pero aquí tenemos tres masas y quizás piensen que esto es difícil pero no lo es tanto todo lo que tenemos que hacer es decir que el momento total de inercia va a ser la suma de todos los momentos de inercia individuales así que vamos a sumar todos los momentos de inercia individual es el momento de inercia de la primera masa es si es de un kilogramo será de un kilogramo por r al cuadrado y cuáles rr esto es lo que significa vamos a tener m1 por r1 al cuadrado más m2 por r2 al cuadrado más m3 por r3 al cuadrado y continuamos y es que tenemos más más aquí la sumamos todas y nos va a quedar el momento de inercia total para un sistema de masas así que aquí lo seguimos haciendo la r para esta primera massa va a ser 99 metros ya que es la distancia del eje hasta donde se encuentra esta masa nueve metros al cuadrado más la masa 2 que es de 2 kilogramos por su distancia que es de 6 metros seis metros al cuadrado continuamos y ahora tomamos esta masa 3 que es de 3 kilogramos y la multiplicamos por su radio que es de 3 metros tres metros al cuadrado esta será su contribución al momento de inercia o a la inercia rotacional si calculamos todo esto en una calculadora nos va a dar que la aceleración angular va a ser igual a 1.83 radian es por segundo al cuadrado es la tasa a la cual este objeto se va a acelerar si comienza en reposo comenzará a tomar velocidad en esta dirección y comenzar a aumentar su velocidad cada vez más estas fuerzas mantienen el torque que están ejerciendo en resumen así como tenemos la segunda ley de newton que relaciona fuerzas con aceleración esta versión angular de la segunda ley de newton relaciona torque con la aceleración angular y en el denominador no tenemos a la masa sino a la inercia rotacional o al momento de inercia lo que nos va a decir qué tan difícil es acelerar angular mente un objeto y podemos encontrar el momento de inercia de una masa puntual como m por r al cuadrado y el momento de inercia de una colección de masas puntuales lo vamos a encontrar sumando las contribuciones individuales de cada una de las masas del sistema