La versión rotacional de la segunda ley de Newton

ahora sabemos cómo encontrar el torque pero para qué nos sirve el torque bueno aquí hay una cosa para la que nos sirve nosotros sabemos de la segunda ley de newton que la aceleración es proporcional a la fuerza algo que nos gustaría tener es un análogo para la rotación de esta fórmula algo que nos diga que si tenemos cierta cantidad de aceleración angular para cierta cantidad de torque probablemente podríamos adivinar que esta aceleración angular va a tener algo probablemente como el torque aquí arriba ya que el torque va a ocasionar que algo se acelere angular mente y en la parte de abajo quizá tenga alguna masa quizás no pero es lo que necesitamos encontrar aquí si tuviéramos una fórmula análoga a la segunda ley de newton pero para el torque entonces podríamos encontrar cuál es la aceleración angular de la misma manera que aquí arriba si conocemos la fuerza podemos encontrar la aceleración y esto es lo que queremos hacer en este vídeo deducir esta fórmula análoga para la rotación de la segunda ley de newton para un objeto que está rotando en un círculo como esta bola de aquí y es algo que no solo está rotando en un círculo está acelerando angular mente está aumentando la rapidez de su rotación aunque quizá disminuya la rapidez de su rotación vamos a deducir esta fórmula para que si conocemos el torque podríamos determinar la aceleración angular de la misma forma que encontramos la aceleración regular al conocer la fuerza en la segunda ley de newton como hacemos esto pues para tener una aceleración angular vamos a necesitar una fuerza que sea tangente al círculo para poder acelerar algo angular mente necesitamos una fuerza tangencial ya que esta fuerza me va a ocasionar un torque digamos que esta es la fuerza que me ocasiona el torque y ya sabemos cómo encontrar esta fuerza recuerden que el torque es igual a r por efe por seno de teta pero vamos a simplificarlo aquí diciendo que el ángulo es de 90 grados de manera que el seno de theta termine siendo 1 ya que el seno de 90 es igual a 1 y también vamos a simplificar las cosas diciendo que esta fuerza es la fuerza neta digamos que hay sólo una fuerza en este objeto que es está nuestra fuerza neta y sabemos que la fuerza neta tiene que ser igual a la masa del objeto por la aceleración de ese objeto y me pueden decir vaya qué novedad esto ya lo sabemos bueno recuerden que queremos relacionar el torque con la aceleración angular así que vamos a escribir la fórmula del torque si queremos encontrar el torque de una fuerza recordamos que el torque va a ser igual a la fuerza que ejerce ese torque multiplicada por r la distancia del eje hasta el punto en donde se aplica la fuerza y en este caso es todo el radio ya que estamos aplicando la fuerza hasta este extremo si esta fuerza se aplicará en alguna parte un poco más adentro sería solamente a esa distancia desde el eje hasta el punto en donde se ejerce la fuerza que provoca el torque pero aquí le estamos aplicando hasta el extremo así que va a ser esto por todo el radio y también está el seno del ángulo / efe jr pero el ángulo entre fr es de 90 grados así que el seno de 90 grados es igual a 1 así que podemos deshacernos de esto y ya queda más sencillo el torque ejercido por esta fuerza f va a ser efe por r y qué hacemos con esto pues vean aquí aquí abajo ya tenemos una efe y si son creativos pueden decir ah pues vamos a multiplicar ambos lados por r y así podremos incluir el torque en esta fórmula multiplico r por el lado izquierdo y me queda r por efe y multiplicó r por el lado derecho que me queda r por m por la aceleración lo que está bien ya que ahora tenemos el reporte efe que es el torque y nos queda que el torque es igual a r por m la aceleración pero esto no nos sirve ya que necesitamos una fórmula que nos relacione el torque con la aceleración angular no con la aceleración regular y con que podemos reemplazar esta aceleración regular si ustedes recuerdan cuando hablamos de las variables del movimiento angular mencionamos la aceleración tangencial y ésta siempre va a ser igual a la distancia desde el eje hasta el objeto que tiene la aceleración tangencial multiplicado por la aceleración angular está alfa aquí tenemos una relación entre alfa y la aceleración tangencial pero no sirve para algo esta aceleración tangencial si nos sirve ya que esta es la fuerza tangencial aquí tenemos la fuerza tangencial que va a ser proporcional a la aceleración tangencial esto es tangencial y esta fuerza también es tangencial de manera que puedo reescribir la aceleración tangencial como ere por alfa y es lo que vamos a hacer este lado lo reescribimos como r por alfa ya que ere por alfa es la aceleración tangencial así que este término de aquí es la aceleración tangencial y ahora tenemos que el torque va a ser igual a r por m por r por alfa combinamos las dos erres y nos queda m por el real cuadrado por alfa mi aceleración angular y ya estamos cerca ya tengo una fórmula de la segunda ley de newton y puedo dejarla así o puedo poner la de manera que luzca parecida a esta otra despejó alfa y me queda que la aceleración angular en esta masa es igual al torque ejercido en esta masa entre m la masa por r al cuadrado y esto es justamente lo que estábamos buscando vamos a escribirlo aquí el análogo rotacional de la segunda ley de newton es que entre este término de acá m por r al cuadrado y esto a que se parece pues cumple el mismo propósito que la masa en la fórmula de la aceleración regular de la segunda ley de newton regular y recuerden que esta masa es proporcional a la inercia del objeto nos dice que tan difícil es hacer que este objeto se acelere que tanto se resiste un objeto al movimiento oa la aceleración a esto se refiere este término de aquí las personas usualmente les llaman a esto el momento de inercia pero este es un hombre bastante complicado para una idea de física y para mí suena extraño pero esto se representa con la letra i mayúscula y sirve para el mismo propósito en este denominador es análogo a la masa nos sirve para indicar la inercia rotacional del sistema o en otras palabras algo con una gran inercia rotacional va a poner resistencia a la aceleración angular como algo que tiene mucha inercia y poner resistencia a la aceleración regular así que ya sabemos de qué depende esta bola para una bola al final de la cuerda su momento de inercia es m por r al cuadrado esto es el denominador es el término que nos sirve para la inercia rotacional para esta masa en esta cuerda lo que significa que si tenemos una masa más grande o una cuerda más larga este objeto sería difícil de acelerar angular mente difícil de hacer que rote que comience a dar vueltas y acelerar estas vueltas y por otra parte si la masa es pequeña o la longitud de la cuerda es pequeña va a ser mucho más sencillo acelerar angular mente esta masa pero si tenemos una masa muy grande con una longitud de la cuerda más grande pues nos va a aumentar el momento de inercia que es este término de aquí así que la podemos ver como la inercia rotacional que me parece es un hombre mucho más adecuado y muchas personas comienzan a pensar que este es un mejor término para esta idea este término de momento de inercia es un término histórico y la verdad no es muy bueno es mejor inercia rotacional ya que nos describe mejor de qué trata esta y mayúscula y debemos de conocer las unidades de esta inercia rotacional y cómo es masa por radio al cuadrado sus realidades van a ser kilogramos por metro al cuadrado estas son las unidades del momento de inercia y esta es la fórmula si tenemos una masa puntual y con esto me refiero a una masa en la cual toda su masa está viajando en el mismo radio y gira en un círculo y no tiene que estar unida a una cuerda esta podría ser la luna orbitando a la tierra pero siempre que toda la masa esté en el mismo radio y viajando en un círculo y digamos que este radio de esta esfera es muy muy pequeña al menos comparada con este radio si este es el caso en donde prácticamente toda la masa está girando en un con el mismo radio esta será la fórmula para encontrar el momento de inercia y esto como se puede complicar que es lo que debemos cuidar bueno aquí sólo consideramos una fuerza y podemos imaginar que quizá haya varias fuerzas actuando en este objeto quizá tenemos otra fuerza aquí en cuyo caso sólo debemos considerar la fuerza neta para asegurarnos de que esto sea igual a m por a y debemos asegurarnos de usar el torque neto aquí esta fórmula nos sigue sirviendo si tenemos varios toques en este objeto aquí sólo tendremos que usar el torque neto de todo el sistema vamos a sumar todos los torques a aquellos toques que giren o rotten hacia un lado serán positivos y aquellos torpes que roten en el lado contrario serán negativos por lo que tenemos que asegurarnos de escribir bien los signos aquí y que hay de la inercia rotacional qué pasa si nuestro objeto no es tan sencillo como una sola masa haríamos en este caso bueno vamos a verlo vamos a copiar esta fórmula de acá nos deshacemos de todo esto y digamos que tenemos este problema loco tenemos tres masas aquí y tenemos una fuerza en esta masa que es de 20 newtons hacia abajo y tenemos otra fuerza de 50 newtons hacia arriba en esta otra masa todas tienen una separación de 3 metros y pueden rotar en un círculo y podemos resolver este problema con la fórmula que acabamos de deducir y digamos que queremos encontrar cuál es la aceleración angular para cada una de estas masas en esta configuración particular vamos a usar esta fórmula para la segunda ley de newton en su forma angular y digamos que la aceleración angular que es lo que queremos encontrar va a ser igual al torque neto y como encontramos el torque neto aquí tenemos dos fuerzas en realidad no es tan difícil sólo tenemos que encontrar el torque en cada una de las masas individuales y luego sumarlos como digamos para encontrar un vector neto sumar cada uno individualmente pero esto no va a ser 50 menos 20 estos son todos que tenemos que usar la fórmula del torque para cada uno de ellos y no usar la fuerza así que vamos a tener que multiplicar cada una de estas fuerzas por el radio que les corresponde así que no traten de poner este 50 directamente aquí necesitamos multiplicarlo por una r cual r tengan cuidado quizás podrían pensar que es de 3 metros pero no r siempre se mide a partir del eje de rotación que es el centro hasta el lugar en donde se aplica la fuerza así que el torque para este 50 va a ser 50 por tres más tres más 399 metros por 50 newtons y ahora ya tenemos el torque no tenemos un torque hasta que multiplicamos la fuerza por una r ya tenemos el torque para los 50 newtons y cuál será el torque para los 20 newtons pues va a ser 20 newtons pero no puedo dejar solito este 20 tenemos que multiplicarlo por r y cuál va a ser esa r no va a ser 3 siempre va a ser la distancia del eje de rotación hasta el lugar en donde se aplica la fuerza que es 3 + 36 son seis metros y muchas personas se ponen contentas de llegar a este punto se acordaron de multiplicar por la r ponen aquí uno más y son felices pero se van a equivocar no podemos poner un más aquí vean que esta fuerza de 50 newtons está intentando hacer que el sistema rote en sentido antihorario la fuerza de 50 newtons intenta que todo esto se mueva hacia acá pero la fuerza de 20 newtons está tratando de hacer que el sistema rote hacia acá abajo en sentido horario se están oponiendo por lo que vamos a tener un torque de distinto signo en estas dos fuerzas voy a representar el torque de la fuerza de 20 newtons como un torque negativo y esa es la convención que normalmente elegimos todo lo que se mueva en sentido horario va a ser negativo y lo que se mueve en sentido antihorario va a ser positivo pero no importa cual convención elijan estos van a tener signos diferentes así que hay que tener cuidado aquí y este es nuestro torque neto como encontramos la inercia rotacional o el momento de inercia pues vimos del ejemplo anterior que el momento de inercia de una masa puntual que es una masa que se mueve en un círculo o de que toda la masa se mueve en un radio particular va a ser m por r al cuadrado pero aquí tenemos tres masas y quizás piensen que esto es difícil pero no lo es tanto todo lo que tenemos que hacer es decir que el momento total de inercia va a ser la suma de todos los momentos de inercia individuales así que vamos a sumar todos los momentos de inercia individuales el momento de inercia de la primera masa es si es de un kilogramo será de un kilogramo por r al cuadrado y cuál es r esto es lo que significa vamos a tener m uno por r uno al cuadrado m2 x r 2 al cuadrado más m3 x r 3 al cuadrado y continuamos si es que tenemos más masas aquí la sumamos todas y nos va a quedar el momento de inercia total para un sistema de masas así que aquí lo seguimos haciendo la r para esta primera masa va a ser 99 metros ya que esta es la distancia del eje hasta donde se encuentra esta masa 9 metros al cuadrado más la masa 2 que es de 2 kilogramos por su distancia que es de 6 metros 6 metros al cuadrado continuamos y ahora tomamos esta masa 3 que es de 3 kilogramos y la multiplicamos por su radio que es de 3 metros 3 metros al cuadrado esta será su contribución al momento de inercia oa la inercia rotacional sin calculamos todo esto en una calculadora nos va a dar que la aceleración angular va a ser igual a 1.83 radiales por segundo al cuadrado es la tasa a la cual este objeto se va a acelerar si comienza en reposo comenzará a tomar velocidad en esta dirección y comenzará a aumentar su velocidad cada vez más estas fuerzas mantienen el torque que están ejerciendo en resumen así como tenemos la segunda ley de newton que relaciona fuerzas con aceleración esta versión angular de la segunda ley de newton relaciona torque con la aceleración angular y en el denominador no tenemos a la masa sino a la inercia rotacional o al momento de inercia lo que nos va a decir qué tan difícil es acelerar angular mente un objeto y podemos encontrar el momento de inercia de una masa puntual como m por r al cuadrado y el momento de inercia de una colección de masas puntuales lo vamos a encontrar sumando las contribuciones individuales de cada una de las masas del sistema