El ángulo óptimo para un proyectil (parte 4): encontrar el ángulo óptimo y la distancia final con un poco de cálculo

ahora que tenemos la fórmula de la distancia como una función del ángulo theta que es el ángulo al que estamos lanzando el objeto ahora usaremos un poco de cálculo para encontrar el ángulo óptimo de lanzamiento para optimizar la distancia y como solo nos interesan ángulos que estén en el rango de 0 a 90 grados lo anotamos acá esto nos va a ayudar con las restricciones para optimizar nuestro ángulo que esté en 30 grados y 90 grados veamos cómo podemos resolver esto y para tener una idea de lo que queremos conceptualmente analizar utilizando el cálculo recordemos que al hacer una derivada vamos a encontrar la pendiente de una línea o de una curva y si fuéramos a graficar esto y de hecho los invito para que lo hagan de preferencia con una calculadora gráfica esta gráfica se vería algo así tenemos aquí nuestro eje de la derivada de theta y aquí abajo tendríamos nuestro eje del ángulo theta y este ángulo va de 0 a 90 grados como ya habíamos visto aquí están cero grados y aquí están 90 grados de esta función se verá así más o menos y lo que queremos hacer es encontrar el ángulo que estará más o menos por acá que nos dará la distancia óptima esto de aquí es la distancia óptima y lo que queremos hacer es encontrar justamente esto y lo que observamos en esta gráfica que ustedes también podrían observar si tienen su calculadora gráfica es que en este punto de acá la pendiente justo en ese punto va a estar totalmente horizontal es decir esta pendiente será igual a cero así que lo que tenemos que hacer es encontrar la derivada de esta ecuación es encontrar la derivada de esta función y después encontrar con cuál ángulo esta derivada es igual a cero o la pendiente instantánea de esta función es igual a cero y con eso ya terminaríamos conoceremos cuál es el ángulo óptimo del lanzamiento de nuestro proyectil encontremos la derivada aquí vamos a usar nuestras reglas de las derivadas de prima de teta o la derivada de la distancia como función de theta es igual a suponemos que 2 por s al cuadrado entre g es una constante así que vamos a poner tal cual aquí en nuestra derivada no se va a afectar y ahora emplearemos la regla del producto de las derivadas con respecto a theta la regla del producto nos dice que tomamos la derivada del primer factor y lo multiplicamos por el segundo factor así que la derivada de coseno detecta es menos se lo detecta y lo multiplicamos por seno de teta a esto le sumamos el primer factor por la derivada del segundo factor en este caso el primer factor es coseno de teta por la derivada del segundo factor que es coseno de teta así que nos queda coseno de teta paul coseno de teta y para que esto quede claro y no nos compliquemos vamos a indicar que la derivada del coche no de teta corresponde a este menos seno de teta y la derivada del seno de teta corresponde a este coche no detecta de aquí abajo y ahora simplificamos de prima de teta es igual a 2s cuadrada entre g por menos seno de teta porsche no detecta es igual a menos seno cuadrado detecta más cosas no detecta por coche no detecta coseno cuadrado de teta y ahora queremos encontrar el ángulo en el cual la pendiente instantánea de esta curva sea igual a cero así que pongamos todo esto igual a cero y ahora tenemos que encontrar teta y lo primero que voy a hacer para despejar teta es dividir ambos lados de esta ecuación entre 2 s cuadrada entre g si dividimos el lado izquierdo entre esto nos va a quedar que se cancela este 2 por s cuadrada entre g y si dividimos 0 entre 12 se cuadrada entre g suponiendo que esto no es 0 que no debería hacerlo pues seguiremos teniendo ser así que esta ecuación se simplifica como menos seno cuadrado detectan más coseno cuadrado de teta igual a 0 y ahora lo que voy a hacer es sumar seno cuadrado de tete en ambos lados de esta ecuación así que lo escribo aquí más seno cuadrado detecta estos dos senos se cancelan y me queda como resultado coseno cuadrado de teta igual a seno cuadrado de teta ahora estos dos van a ser positivos en el intervalo de ángulos que hemos especificado así que no tenemos ningún problema si dividimos ambos lados de esta ecuación entre coseno cuadrado detecta esto entre coseno cuadrado detecta y esta forma es interesante ya que el lado izquierdo se cancela y nos queda uno y este uno va a ser igual a bueno cuánto es seno cuadrado detecta / coseno cuadrado de teta va a ser lo mismo que tener seno detecta / jose no detecta todo esto elevado al cuadrado tenemos algo al cuadrado que divide otra cosa al cuadrado es lo mismo que tener el numerador dividido entre el denominador y el resultado elevado al cuadrado y qué seno de teta / coseno de teta pues eso va a ser la tangente de teta así que tenemos que uno es igual a la tangente cuadrada de teta y si tomamos la raíz positiva de la raíz cuadrada en ambos lados de esta ecuación recordamos que la tangente es positiva en este intervalo de teta que va de 0 a 90 grados así que si tomamos la raíz cuadrada positiva en ambos lados nos va a quedar que raíz cuadrada de 1 es uno raíz cuadrada de tangente al cuadrado es igual a tangente de teta y ahora aplicamos la tangente inversa en ambos lados de la igualdad o el arco tangente lo que nos dan arco tangente de 1 va a ser igual a teta y esa es una manera sofisticada de decir que te caes el ángulo al cual al tomarle su tangente nos va a dar 1 y pueden usar una calculadora para encontrar esto o también lo pueden memorizar el arco tangente de 1 es igual a 45 grados así que esta teta es igual a 45 grados o si lo quieren saber en radiales va a ser entre radiales y cualquiera de estos dos les va a funcionar así que el ángulo óptimo cuando arrojamos este objeto va a ser de 45 grados y bueno cuál será la distancia óptima si es que usamos este ángulo de 45 grados si lo estamos arrojando a 45 grados cuál va a ser el seno de 45 grados el seno de 45 grados va a ser igual a raíz de 2 entre 2 pueden usar una calculadora para encontrarlo o quizás lo recuerden el círculo unitario el coseno de 45 grados también va a ser la raíz cuadrada de 2 / 2 y ahora que tenemos esto podemos sustituirlo en nuestra fórmula justo por acá por lo que la distancia óptima a recorrer o la distancia en función de un ángulo de 45 grados va a ser igual a 2 por s cuadrada / g por el coseno detecta que es raíz de 2 entre 2 por el seno de teta que también es raíz cuadrada de 2 entre 2 simplificamos esto raíz cuadrada de 2 x raíz cuadrada de 2 va a ser 2 este 12 cancela con este 2 de abajo este otro 2 que tenemos aquí abajo se cancela con el 2 que tenemos aquí arriba a la izquierda por lo que nos va a quedar que la distancia óptima a 45 grados es igual a ese cuadrada entre g suponiendo que no hay resistencia al aire digamos que es una circunstancia ideal pero no importa en qué planeta se encuentren o qué tan rápido lo lancen el mejor ángulo siempre será 45 grados suponiendo que no hay resistencia al aire y si hacen el lanzamiento con este ángulo óptimo la distancia óptima será s cuadrada / g si regresamos al problema original y especificamos que s es igual a 10 metros por segundo y nuestra g es igual a 10 metros por segundo al cuadrado la distancia óptima la distancia óptima sera ese cuadrado es decir 100 entre la gravedad que es 10 y a la elevada al cuadrado las unidades tendremos metros cuadrados entre segundos al cuadrado y esto va a estar dividido entre metros sobre segundo al cuadrado simplificamos las unidades segundos al cuadrado se cancelan este metro de aquí abajo se cancela con los metros al cuadrado de aquí arriba y nos queda que la distancia óptima es de 10 metros estuvo bastante interesante