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El ángulo óptimo para un proyectil (parte 4): encontrar el ángulo óptimo y la distancia final con un poco de cálculo

Transcripción del video

ahora que tenemos la fórmula de la distancia como una función del ángulo teta que es el ángulo al que estamos lanzando el objeto ahora usaremos un poco de cálculo para encontrar el ángulo óptimo de lanzamiento para optimizar la distancia y como sólo nos interesan ángulos que estén en el rango de cero a 90 grados lo anotamos acá esto nos va a ayudar con las restricciones para optimizar nuestro ángulo que esté en 30 grados y 90 grados vemos cómo podemos resolver esto y para tener una idea de lo que queremos conceptualmente analistas utilizando el cálculo recordemos que al hacer una derivada vamos a encontrar la pendiente de una línea o de una curva y si fuéramos a graficar esto y de hecho los invito para que lo hagan de preferencia con una calculadora gráfica esta gráfica se vería algo así tenemos aquí nuestro eje de la derivada de teta y aquí abajo tendremos nuestro eje del ángulo teta y este ángulo va de cero a 90 grados como ya habíamos visto aquí están cero grados y aquí están 90 grados la gráfica de esta función se verá así más o menos y lo que queremos hacer es encontrar el ángulo que estará más o menos por acá que nos dará la distancia óptima estoy aquí es la distancia óptima y lo que queremos hacer es encontrar justamente esto y lo que observamos en esta gráfica que ustedes también podrían observar si tienen su calculadora gráfica es que en este punto de acá la pendiente justo en ese punto va a estar totalmente horizontal es decir está pendiente será igual hacer así que lo que tenemos que hacer es encontrar la derivada de esta ecuación es encontrar la derivada de esta función y después encontrar con cual ángulo está derivada es igual a hacer o la pendiente instantánea de esta función es igual a cero y con eso ya terminaríamos conocemos cuál es el ángulo óptimo de lanzamiento de nuestro proyecto y encontremos la derivada aquí vamos a usar nuestras reglas de las derivadas de prima de teta o la derivada de la distancia como función de teta es igual a suponemos que dos por eso al cuadrado en tg es una constante así que le vamos a poner tal cual aquí nuestra derivada no se va a afectar y ahora emplearemos la regla de producto de las derivadas con respecto a teta la regla del producto nos dice que tomamos la derivada del primer factor y lo multiplicamos por el segundo factor así que la deriva de cocina detecta es menos se lo detecta y lo multiplicamos por seno de teta a esto le sumamos el primer factor x la derivada del segundo factor en este caso el primer factor escocés no detecta por la derivada de el segundo factor que escocés no detectan así que nos queda cocina de eta por ccoo seno de eta y para que esto quede claro y no nos compliquemos vamos a indicar que la deriva del coce no detectan corresponde a este - seno de teta y la derivada del seno de eta corresponde a este coche no detectan de aquí abajo y ahora simplificamos de prima de teta es igual a 2s cuadrada / g por menos se no detectan porsche no detecta es igual a menos seno cuadrado detectan más cosas no detecta por coche no detectan coseno cuadrado de teta y ahora queremos encontrar el ángulo en el cual la pendiente instantánea de esta curva sea igual hacer así que pongamos todo esto iguala 0 y ahora tenemos que encontrar teta y lo primero que voy a hacer para despejarte está dividida ambos lados de esta ecuación entre 2 s cuadrada / g si dividimos el lado izquierdo entre esto nos va a quedar que se cancela estilos por ese cuadrada entre g y si dividimos 0 entre 12 se cuadrará entre g suponiendo que esto no es cero que no debería hacerlo pues seguiremos teniendo ser así que esta ecuación se simplifica como - seno cuadrado detectan más coseno cuadrado dt está igual a cero yo lo que voy a hacer es sumarse no cuadra donde tengamos lados de esta ecuación así que lo escribo aquí más seno cuadrado detectan estos doce no se cancelan y me queda como resultado coseno cuadrado detecta igual hacen o cuadrado dt está ahora estos dos van a ser positivos en el intervalo de ángulos que hemos especificado así que no tenemos ningún problema si dividimos ambos lados de esta ecuación entre coseno cuadrado detecta esto entre coseno cuadrado detecta y esta forma es interesante ya que el lado izquierdo se cancela y nos queda uno y éste uno va a ser igual a cuánto es seno cuadrado detectan entre coseno cuadrado de teta va a ser lo mismo que tener fe no detectan entre josé no detectan todo esto elevado al cuadrado tenemos algo al cuadrado que divide otra cosa el cuadrado es lo mismo que tener el numerador dividido entre el denominador y el resultado elevado al cuadrado y que el seno de eta entre cocina de teta pues eso va a ser la tangente detecta así que tenemos que uno es igual a la tangente cuadrada de teta o si tomamos la raíz positiva de la raíz cuadrada en ambos lados de esta ecuación recordamos que la tangente es positiva en este intervalo de teta que va de cero a 90 grados así que si tomamos la raíz cuadrada positiva en ambos lados nos va a quedar que raíz cuadrada de 1 es1 raíz cuadrada de tangente al cuadrado es igual la tangente de teta y ahora aplicamos la tangente inversa en ambos lados de la igualdad o el arco tangente lo que nos dan arco tangente de uno va a ser igual a eta y esa es una manera sofisticada de decís que te está es el ángulo al cual al tomarle su tan gente nos va a dar uno y pueden usar una calculadora para encontrar esto o también lo pueden memorizar el arco tangente de uno es igual a 45 grados así que ésta teta es igual a 45 grados o si lo quieren saber en radiales para hacer pie entre 4 radiales y a cualquiera de estos dos les va a funcionar es así que el ángulo óptimo cuando arrojamos este objeto base de 45 grados y buenos cuál será la distancia óptima si es que usamos este ángulo de 45 grados sí lo estamos arrojando a 45 grados cuál va a ser el seno de 45 grados el seno de 45 grados va a ser igual a raíz de dos entre dos pueden usar una calculadora para encontrarlo o quizás lo recuerden el círculo unitario el cose no de 45 grados también va a ser la raíz cuadrada de dos entre dos y ahora que tenemos esto podemos sustituirlo en nuestra fórmula justo por acá por lo que la distancia óptima a recorrer o la distancia en función de un ángulo de 45 grados va a ser igual a 2 por ese cuadrada / g por el consejo detecta que es raíz de dos entre dos por el seno de eta que también es raíz cuadrada de dos entre dos simplificamos esto resguardo de 2 x raíz cuadrada de dos va a ser dos estados se cancela con este 2 de abajo éste y otros dos que tenemos aquí abajo se cancela con el 2 que tenemos aquí arriba a la izquierda por lo que nos va a quedar que la distancia óptima a 45 grados es igual a ese cuadrada / g suponiendo que no hay resistencia al aire digamos que es una circunstancia ideal pero no importa en qué planeta se encuentren o qué tan rápido lo lancen el mejor ángulo siempre será 45 grados suponiendo que no es resistencia al aire y si hacen el lanzamiento con este ángulo óptimo la distancia óptima será ese cuadrada entre g si regresamos al problema original y especificamos que ese es igual a 10 metros por segundo y nuestra g es igual a 10 metros por segundo al cuadrado la distancia óptima la distancia óptima será ese cuadrado es decir si él entre la gravedad que es 10 y a la elevada al cuadrado las unidades tendremos metros cuadrados en tres segundos al cuadrado y esto va a estar dividido entre metros sobre el segundo el cuadrado simplificamos las unidades segundos al cuadrado se cancelan este metro de aquí abajo se cancela con los metros al cuadrado de aquí arriba y nos queda que la distancia óptima es de 10 metros estuvo bastante interesarte