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Contenido principal

¿Qué son las componentes de velocidad?

Aprende a simplificar vectores al descomponerlos en partes.

¿Por qué descomponemos los vectores en componentes?

El movimiento bidimensional es más complicado que el movimiento unidimensional, ya que las velocidades pueden apuntar en direcciones diagonales. Por ejemplo, una bola de béisbol se podría estar moviendo tanto horizontal como verticalmente al mismo tiempo con una velocidad diagonal v. Para simplificar nuestros cálculos, descomponemos el vector de velocidad v de la bola de béisbol en dos direcciones separadas: la velocidad horizontal, v, start subscript, x, end subscript, y la velocidad vertical, v, start subscript, y, end subscript.
Tratar de abordar las direcciones horizontales y verticales de una bola de béisbol en una sola ecuación es difícil; es mejor adoptar un enfoque de "divide y vencerás".
Separar la velocidad diagonal v en las componentes horizontal v, start subscript, x, end subscript y vertical v, start subscript, y, end subscript nos permite tratar con cada dirección de manera separada. Esencialmente, seremos capaces de convertir un solo problema difícil bidimensional en dos más fáciles en una dimensión. El truco de separar vectores en componentes funciona aún si el vector no es de velocidad, por ejemplo, si es un vector de fuerza, momento o campo eléctrico. De hecho, vas a usar este truco en física una y otra vez, así que es importante que te vuelvas realmente bueno en lidiar con componentes vectoriales lo antes posible.

¿Cómo descomponemos un vector en componentes?

Antes de que hablemos acerca de descomponer vectores, debemos decir que la trigonometría ya nos da la habilidad de relacionar las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo, la hipotenusa, el cateto opuesto y el cateto adyacente, y uno de sus ángulos, theta, como se muestra a continuación.
sine, start color #1fab54, theta, end color #1fab54, equals, start fraction, start color #e84d39, start text, c, a, t, e, t, o, space, o, p, u, e, s, t, o, end text, end color #e84d39, divided by, start text, h, i, p, o, t, e, n, u, s, a, end text, end fraction
cosine, start color #1fab54, theta, end color #1fab54, equals, start fraction, start color #6495ed, start text, c, a, t, e, t, o, space, a, d, y, a, c, e, n, t, e, end text, end color #6495ed, divided by, start text, h, i, p, o, t, e, n, u, s, a, end text, end fraction
tangent, start color #1fab54, theta, end color #1fab54, equals, start fraction, start color #e84d39, start text, c, a, t, e, t, o, space, o, p, u, e, s, t, o, end text, end color #e84d39, divided by, start color #6495ed, start text, c, a, t, e, t, o, space, a, d, y, a, c, e, n, t, e, end text, end color #6495ed, end fraction
Cuando descomponemos cualquier vector diagonal en dos componentes perpendiculares, el vector total y sus componentes —v, comma, v, start subscript, y, end subscript, comma, v, start subscript, x, end subscript— forman un triángulo rectángulo. Debido a esto, podemos aplicarle las mismas reglas trigonométricas a la magnitud de un vector de velocidad y a sus componentes, como se puede ver a continuación. Ten en cuenta que se trata a v, start subscript, x, end subscript como el lado adyacente, a v, start subscript, y, end subscript como el opuesto y a v como la hipotenusa.
sine, start color #1fab54, theta, end color #1fab54, equals, start fraction, start color #e84d39, v, start subscript, y, end subscript, end color #e84d39, divided by, v, end fraction
cosine, start color #1fab54, theta, end color #1fab54, equals, start fraction, start color #6495ed, v, start subscript, x, end subscript, end color #6495ed, divided by, v, end fraction
tangent, start color #1fab54, theta, end color #1fab54, equals, start fraction, start color #e84d39, v, start subscript, y, end subscript, end color #e84d39, divided by, start color #6495ed, v, start subscript, x, end subscript, end color #6495ed, end fraction
Observa que las velocidades v en estas fórmulas se refieren a las magnitudes del vector de velocidad total, es decir, la rapidez total, y por lo tanto nunca pueden ser negativas. Las componentes individuales v, start subscript, x, end subscript y v, start subscript, y, end subscript pueden ser negativas si apuntan en dirección negativa. La convención es que la izquierda es negativa para la dirección horizontal, x, y abajo es negativa para la dirección vertical, y.

¿Cómo determinas la magnitud y el ángulo del vector total?

En secciones anteriores vimos cómo la magnitud y el ángulo de un vector pueden descomponerse en sus componentes horizontal y vertical. Pero, ¿qué pasa si empiezas con ciertas componentes de velocidad dadas: v, start subscript, y, end subscript y v, start subscript, x, end subscript? ¿Cómo podrías usar las componentes para encontrar la magnitud v y el ángulo theta del vector de velocidad total?
Encontrar la magnitud del vector de velocidad total no es muy difícil, ya que para cualquier triángulo rectángulo las longitudes de los catetos y de la hipotenusa estarán relacionadas por el teorema de Pitágoras.
v, squared, equals, start color #6495ed, v, start subscript, x, end subscript, end color #6495ed, squared, plus, start color #e84d39, v, start subscript, y, end subscript, end color #e84d39, squared
Al sacar la raíz cuadrada obtenemos la magnitud del vector de velocidad total en términos de sus componentes.
v, equals, square root of, start color #6495ed, v, start subscript, x, end subscript, end color #6495ed, squared, plus, start color #e84d39, v, start subscript, y, end subscript, end color #e84d39, squared, end square root

También, si conocemos ambas componentes del vector total, podemos encontrar su ángulo usando start text, t, a, n, end text, theta.
tangent, start color #1fab54, theta, end color #1fab54, equals, start fraction, start color #e84d39, v, start subscript, y, end subscript, end color #e84d39, divided by, start color #6495ed, v, start subscript, x, end subscript, end color #6495ed, end fraction
Al sacar la inversa de la tangente obtenemos el ángulo del vector de velocidad total en términos de sus componentes.
start color #1fab54, theta, end color #1fab54, equals, tangent, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, start color #e84d39, v, start subscript, y, end subscript, end color #e84d39, divided by, start color #6495ed, v, start subscript, x, end subscript, end color #6495ed, end fraction, right parenthesis

¿Qué es lo que resulta confuso acerca de las componentes de un vector?

Cuando usamos theta, equals, tangent, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, v, start subscript, y, end subscript, divided by, v, start subscript, x, end subscript, end fraction, right parenthesis, el hecho de que ponemos la componente v, start subscript, y, end subscript arriba como el cateto opuesto y la componente v, start subscript, x, end subscript abajo como el cateto adyacente, significa que estamos midiendo el ángulo desde el eje horizontal. Parece que descubrir cómo dibujar el ángulo puede ser confuso, pero aquí hay dos buenos consejos:
Suponiendo que hemos elegido las direcciones derecha y arriba como positivas, si la componente horizontal v, start subscript, x, end subscript es positiva, el vector apunta hacia la derecha. Si la componente horizontal v, start subscript, x, end subscript es negativa, el vector apunta hacia la izquierda.
De nuevo, suponiendo que hemos elegido las direcciones derecha y arriba como positivas, si la componente horizontal v, start subscript, y, end subscript es positiva, el vector apunta hacia arriba. Si la componente vertical v, start subscript, y, end subscript es negativa, el vector apunta hacia abajo.
Así que, por ejemplo, si las componentes de un vector son v, start subscript, x, end subscript, equals, minus, 12, start text, space, m, slash, s, end text y v, start subscript, y, end subscript, equals, 10, start text, space, m, slash, s, end text, el vector debe apuntar hacia la izquierda porque v, start subscript, x, end subscript es negativa, y hacia arriba porque v, start subscript, y, end subscript es positiva.
Verificación de conceptos: si un avión de papel tiene componentes de velocidad v, start subscript, x, end subscript, equals, minus, 7, start text, space, m, slash, s, end text y v, start subscript, y, end subscript, equals, minus, 5, start text, space, m, slash, s, end text, ¿en qué dirección se está moviendo (suponiendo que escogemos arriba y adelante como las direcciones positivas)?
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¿Cómo se ven algunos ejemplos resueltos que involucran componentes vectoriales?

Ejemplo 1: has una comba como Beckham

Una pelota de futbol se patea hacia arriba y a la derecha a un ángulo de 30degrees con una rapidez de 24, point, 3, start text, space, m, slash, s, end text como se muestra a continuación.
¿Cuál es la componente vertical de la velocidad en el momento mostrado?
¿Cuál es la componente horizontal de la velocidad en el momento mostrado?
Para encontrar la componente vertical de la velocidad usaremos s, i, n, theta, equals, start fraction, start text, c, a, t, e, t, o, space, o, p, u, e, s, t, o, end text, divided by, start text, h, i, p, o, t, e, n, u, s, a, end text, end fraction, equals, start fraction, v, start subscript, y, end subscript, divided by, v, end fraction. La hipotenusa es la magnitud de la velocidad v, 24.3 m/s, y el cateto opuesto al ángulo de 30degrees es v, start subscript, y, end subscript.
sine, theta, equals, start fraction, v, start subscript, y, end subscript, divided by, v, end fraction, start text, left parenthesis, U, s, a, space, l, a, space, d, e, f, i, n, i, c, i, o, with, \', on top, n, space, d, e, l, space, s, e, n, o, right parenthesis, point, end text
v, start subscript, y, end subscript, equals, v, sine, theta, start text, left parenthesis, R, e, s, u, e, l, v, e, space, p, a, r, a, space, l, a, space, c, o, m, p, o, n, e, n, t, e, space, v, e, r, t, i, c, a, l, right parenthesis, point, end text
v, start subscript, y, end subscript, equals, left parenthesis, 24, point, 3, start text, space, m, slash, s, end text, right parenthesis, sine, left parenthesis, 30, degrees, right parenthesis, start text, left parenthesis, S, u, s, t, i, t, u, y, e, space, l, o, s, space, v, a, l, o, r, e, s, right parenthesis, point, end text
v, start subscript, y, end subscript, equals, 12, point, 2, start text, space, m, slash, s, end text, start text, left parenthesis, ¡, C, a, l, c, u, l, a, space, y, space, c, e, l, e, b, r, a, !, right parenthesis, point, end text
Para encontrar la componente horizontal de la velocidad usaremos cosine, theta, equals, start fraction, start text, c, a, t, e, t, o, space, a, d, y, a, c, e, n, t, e, end text, divided by, start text, h, i, p, o, t, e, n, u, s, a, end text, end fraction, equals, start fraction, v, start subscript, x, end subscript, divided by, v, end fraction.
cosine, theta, equals, start fraction, v, start subscript, x, end subscript, divided by, v, end fraction, start text, left parenthesis, U, s, a, space, l, a, space, d, e, f, i, n, i, c, i, o, with, \', on top, n, space, d, e, l, space, c, o, s, e, n, o, right parenthesis, point, end text
v, start subscript, x, end subscript, equals, v, cosine, theta, start text, left parenthesis, R, e, s, u, e, l, v, e, space, p, a, r, a, space, l, a, space, c, o, m, p, o, n, e, n, t, e, space, h, o, r, i, z, o, n, t, a, l, right parenthesis, point, end text
v, start subscript, x, end subscript, equals, left parenthesis, 24, point, 3, start text, space, m, slash, s, end text, right parenthesis, cosine, left parenthesis, 30, degrees, right parenthesis, start text, left parenthesis, S, u, s, t, i, t, u, y, e, space, l, o, s, space, v, a, l, o, r, e, s, right parenthesis, point, end text
v, start subscript, x, end subscript, equals, 21, point, 0, start text, space, m, slash, s, end text, start text, left parenthesis, ¡, C, a, l, c, u, l, a, space, y, space, c, e, l, e, b, r, a, !, right parenthesis, end text

Ejemplo 2: una gaviota enojada

Una gaviota enojada está volando sobre Seattle con una componente horizontal de velocidad v, start subscript, x, end subscript, equals, 14, point, 6, start text, space, m, slash, s, end text y una componente vertical de velocidad de v, start subscript, y, end subscript, equals, minus, 8, point, 62, start text, space, m, slash, s, end text.
¿Cuál es la magnitud de la velocidad total de la gaviota?
¿Cuál es el ángulo de la velocidad total?
Supón que derecha y arriba son las direcciones positivas y que todos los ángulos serán medidos en sentido contrario a las manecillas del reloj desde el eje x.
Usaremos el teorema de Pitágoras para encontrar la magnitud del vector de velocidad total.
v, squared, equals, v, start subscript, x, end subscript, squared, plus, v, start subscript, y, end subscript, squared, start text, left parenthesis, E, l, space, t, e, o, r, e, m, a, space, d, e, space, P, i, t, a, with, \', on top, g, o, r, a, s, right parenthesis, point, end text
v, equals, square root of, v, start subscript, x, end subscript, squared, plus, v, start subscript, y, end subscript, squared, end square root, start text, left parenthesis, S, a, c, a, space, r, a, ı, with, \', on top, z, space, c, u, a, d, r, a, d, a, space, d, e, space, a, m, b, o, s, space, l, a, d, o, s, right parenthesis, point, end text
v, equals, square root of, left parenthesis, 14, point, 6, start text, space, m, slash, s, end text, right parenthesis, squared, plus, left parenthesis, minus, 8, point, 62, start text, space, m, slash, s, end text, right parenthesis, squared, end square root, start text, left parenthesis, S, u, s, t, i, t, u, y, e, space, l, o, s, space, v, a, l, o, r, e, s, right parenthesis, point, end text
v, equals, 17, point, 0, start text, space, m, slash, s, end text, start text, left parenthesis, ¡, C, a, l, c, u, l, a, space, y, space, c, e, l, e, b, r, a, !, right parenthesis, point, end text
Para encontrar el ángulo usaremos la definición de la start text, t, a, n, g, e, n, t, e, end text, pero como ya conocemos v, podríamos haber usado el start text, s, e, n, o, end text o el start text, c, o, s, e, n, o, end text.
tangent, theta, equals, start fraction, v, start subscript, y, end subscript, divided by, v, start subscript, x, end subscript, end fraction, start text, left parenthesis, U, s, a, space, l, a, space, d, e, f, i, n, i, c, i, o, with, \', on top, n, space, d, e, space, l, a, space, t, a, n, g, e, n, t, e, right parenthesis, point, end text
theta, equals, tangent, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, v, start subscript, y, end subscript, divided by, v, start subscript, x, end subscript, end fraction, right parenthesis, start text, left parenthesis, S, a, c, a, space, l, a, space, t, a, n, g, e, n, t, e, space, i, n, v, e, r, s, a, space, d, e, space, a, m, b, o, s, space, l, a, d, o, s, right parenthesis, point, end text
theta, equals, tangent, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, 8, point, 62, start text, space, m, slash, s, end text, divided by, 14, point, 6, start text, space, m, slash, s, end text, end fraction, right parenthesis, start text, left parenthesis, S, u, s, t, i, t, u, y, e, space, l, a, s, space, m, a, g, n, i, t, u, d, e, s, right parenthesis, point, end text
theta, equals, 30, point, 6, degrees, start text, left parenthesis, ¡, C, a, l, c, u, l, a, space, y, space, c, e, l, e, b, r, a, !, right parenthesis, point, end text
Como la componente vertical es v, start subscript, y, end subscript, equals, minus, 8, point, 62, start text, space, m, slash, s, end text, sabemos que el vector se dirige hacia abajo y como v, start subscript, x, end subscript, equals, 14, point, 6, start text, space, m, slash, s, end text, sabemos que el vector se dirige hacia la derecha. Entonces, dibujaremos el vector en el cuarto cuadrante.
La gaviota se mueve a 17, point, 0, start text, space, m, slash, s, end text en un ángulo de 30, point, 6, degrees por debajo de la horizontal.

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