How do you determine the magnitude and angle of the total vector?

La magnitud se halla de la siguiente forma: √a^2+b^2 y se denota entre dos lineas lxl ////// ^2 = significa elevado al Cuadrado. EJEMPLO: IAI = √[(-3)^2 + (42)^2] IAI = √(9 + 16) IAI = √(25) IAI = 5

como calcular la posicion del tiempo

Con la fórmula de t=x/v esta es en X y en Y es la fórmula de y=vot -1/2gt2 y se descompone

Contenido principal

Curso: Lecciones de física > Unidad 2

Lección 1: El movimiento de un proyectil en dos dimensiones

¿Qué son las componentes de velocidad?

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Aprende a simplificar vectores al descomponerlos en partes.

¿Por qué descomponemos los vectores en componentes?

El movimiento bidimensional es más complicado que el movimiento unidimensional, ya que las velocidades pueden apuntar en direcciones diagonales. Por ejemplo, una bola de béisbol se podría estar moviendo tanto horizontal como verticalmente al mismo tiempo con una velocidad diagonal

v

. Para simplificar nuestros cálculos, descomponemos el vector de velocidad

v

de la bola de béisbol en dos direcciones separadas: la velocidad horizontal,

v_{x}

, y la velocidad vertical,

v_{y}

Tratar de abordar las direcciones horizontales y verticales de una bola de béisbol en una sola ecuación es difícil; es mejor adoptar un enfoque de "divide y vencerás".

Sí. Podemos descomponer un vector en dos direcciones no colinales. Por ejemplo, el vector

v

podría descomponerse en las dos direcciones que se muestran a continuación. Incluso podríamos elegir dos direcciones que no fueran perpendiculares, lo cual resulta útil en relatividad especial.

Dicho eso, casi siempre es más sencillo descomponer vectores en componentes perpendiculares. Y a menudo es más conveniente elegir componentes horizontales y verticales, ya que la aceleración debida a la gravedad afecta solamente en la dirección vertical, en otras palabras, directamente hacia abajo.

Además, muchas preguntas típicas sobre la velocidad son de naturaleza explícitamente horizontal o vertical, y por lo tanto son más fáciles de resolver usando los ejes horizontal y vertical. Por ejemplo: "¿Qué tan lejos llega el proyectil en la dirección horizontal? o "¿Qué tan alto llega el proyectil?"

Separar la velocidad diagonal

v

en las componentes horizontal

v_{x}

y vertical

v_{y}

nos permite tratar con cada dirección de manera separada. Esencialmente, seremos capaces de convertir un solo problema difícil bidimensional en dos más fáciles en una dimensión. El truco de separar vectores en componentes funciona aún si el vector no es de velocidad, por ejemplo, si es un vector de fuerza, momento o campo eléctrico. De hecho, vas a usar este truco en física una y otra vez, así que es importante que te vuelvas realmente bueno en lidiar con componentes vectoriales lo antes posible.

¿Cómo descomponemos un vector en componentes?

Antes de que hablemos acerca de descomponer vectores, debemos decir que la trigonometría ya nos da la habilidad de relacionar las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo, la hipotenusa, el cateto opuesto y el cateto adyacente, y uno de sus ángulos,

θ

, como se muestra a continuación.

\sin θ = \frac{cateto opuesto}{hipotenusa}

\cos θ = \frac{cateto adyacente}{hipotenusa}

\tan θ = \frac{cateto opuesto}{cateto adyacente}

Cuando descomponemos cualquier vector diagonal en dos componentes perpendiculares, el vector total y sus componentes —

v, v_{y}, v_{x}

— forman un triángulo rectángulo. Debido a esto, podemos aplicarle las mismas reglas trigonométricas a la magnitud de un vector de velocidad y a sus componentes, como se puede ver a continuación. Ten en cuenta que se trata a

v_{x}

como el lado adyacente, a

v_{y}

como el opuesto y a

v

como la hipotenusa.

\sin θ = \frac{v_{y}}{v}

\cos θ = \frac{v_{x}}{v}

\tan θ = \frac{v_{y}}{v_{x}}

Observa que las velocidades

v

en estas fórmulas se refieren a las magnitudes del vector de velocidad total, es decir, la rapidez total, y por lo tanto nunca pueden ser negativas. Las componentes individuales

v_{x}

v_{y}

pueden ser negativas si apuntan en dirección negativa. La convención es que la izquierda es negativa para la dirección horizontal,

x

, y abajo es negativa para la dirección vertical,

y

¿Cómo determinas la magnitud y el ángulo del vector total?

En secciones anteriores vimos cómo la magnitud y el ángulo de un vector pueden descomponerse en sus componentes horizontal y vertical. Pero, ¿qué pasa si empiezas con ciertas componentes de velocidad dadas:

v_{y}

v_{x}

? ¿Cómo podrías usar las componentes para encontrar la magnitud

v

y el ángulo

θ

del vector de velocidad total?

Encontrar la magnitud del vector de velocidad total no es muy difícil, ya que para cualquier triángulo rectángulo las longitudes de los catetos y de la hipotenusa estarán relacionadas por el teorema de Pitágoras.

v^{2} = {v_{x}}^{2} + {v_{y}}^{2}

Al sacar la raíz cuadrada obtenemos la magnitud del vector de velocidad total en términos de sus componentes.

v = \sqrt{{v_{x}}^{2} + {v_{y}}^{2}}

También, si conocemos ambas componentes del vector total, podemos encontrar su ángulo usando

tan θ

\tan θ = \frac{v_{y}}{v_{x}}

Al sacar la inversa de la tangente obtenemos el ángulo del vector de velocidad total en términos de sus componentes.

θ = \tan^{- 1} (\frac{v_{y}}{v_{x}})

Como la definición de

\tan

(cateto opuesto entre cateto adyacente o, en este caso,

v_{y}

entre

v_{x}

) solo incluye las componentes del vector, nos permite encontrar de manera conveniente el ángulo

θ

de un vector sin conocer su magnitud total

v

Sin embargo, si conocemos la magnitud del vector total

v

y las componentes

v_{y}

v_{x}

, podemos usar el seno, el coseno o la tangente para encontrar el ángulo del vector total.

¿Qué es lo que resulta confuso acerca de las componentes de un vector?

Cuando usamos

θ = \tan^{- 1} (\frac{v_{y}}{v_{x}})

, el hecho de que ponemos la componente

v_{y}

arriba como el cateto opuesto y la componente

v_{x}

abajo como el cateto adyacente, significa que estamos midiendo el ángulo desde el eje horizontal. Parece que descubrir cómo dibujar el ángulo puede ser confuso, pero aquí hay dos buenos consejos:

Suponiendo que hemos elegido las direcciones derecha y arriba como positivas, si la componente horizontal

v_{x}

es positiva, el vector apunta hacia la derecha. Si la componente horizontal

v_{x}

es negativa, el vector apunta hacia la izquierda.

De nuevo, suponiendo que hemos elegido las direcciones derecha y arriba como positivas, si la componente horizontal

v_{y}

es positiva, el vector apunta hacia arriba. Si la componente vertical

v_{y}

es negativa, el vector apunta hacia abajo.

Así que, por ejemplo, si las componentes de un vector son

v_{x} = - 12 m/s

v_{y} = 10 m/s

, el vector debe apuntar hacia la izquierda porque

v_{x}

es negativa, y hacia arriba porque

v_{y}

es positiva.

Verificación de conceptos: si un avión de papel tiene componentes de velocidad

v_{x} = - 7 m/s

v_{y} = - 5 m/s

, ¿en qué dirección se está moviendo (suponiendo que escogemos arriba y adelante como las direcciones positivas)?

No siempre. El problema es que cuando sustituimos componentes negativas en

θ = \tan^{- 1} (\frac{v_{y}}{v_{x}})

, muchas calculadoras no distinguen si el signo negativo es para la componente de arriba o la de abajo. Además, si sustituimos ambas componentes como negativas, la calculadora cancela los signos y da un ángulo como si las dos fueran positivas.

Esto es frustrante pero puede resolverse. Una estrategia útil es sustituir todas las componentes en

θ = \tan^{- 1} (\frac{v_{y}}{v_{x}})

como números positivos. Luego, usar las reglas sobre los signos de las componentes para determinar en qué cuadrante dibujar el vector. Vamos a utilizar este método en la sección de ejemplos resueltos a continuación.

¿Cómo se ven algunos ejemplos resueltos que involucran componentes vectoriales?

Ejemplo 1: has una comba como Beckham

Una pelota de futbol se patea hacia arriba y a la derecha a un ángulo de 30

^{\circ}

con una rapidez de

24.3 m/s

como se muestra a continuación.

¿Cuál es la componente vertical de la velocidad en el momento mostrado?

¿Cuál es la componente horizontal de la velocidad en el momento mostrado?

Para encontrar la componente vertical de la velocidad usaremos

s i n θ = \frac{cateto opuesto}{hipotenusa} = \frac{v_{y}}{v}

. La hipotenusa es la magnitud de la velocidad

v

, 24.3 m/s, y el cateto opuesto al ángulo de 30

^{\circ}

v_{y}

\sin θ = \frac{v_{y}}{v} (Usa la definición del seno).

v_{y} = v \sin θ (Resuelve para la componente vertical).

v_{y} = (24.3 m/s) \sin (30^{\circ}) (Sustituye los valores).

v_{y} = 12.2 m/s (¡Calcula y celebra!).

Para encontrar la componente horizontal de la velocidad usaremos

\cos θ = \frac{cateto adyacente}{hipotenusa} = \frac{v_{x}}{v}

\cos θ = \frac{v_{x}}{v} (Usa la definición del coseno).

v_{x} = v \cos θ (Resuelve para la componente horizontal).

v_{x} = (24.3 m/s) \cos (30^{\circ}) (Sustituye los valores).

v_{x} = 21.0 m/s (¡Calcula y celebra!)

Ejemplo 2: una gaviota enojada

Una gaviota enojada está volando sobre Seattle con una componente horizontal de velocidad

v_{x} = 14.6 m/s

y una componente vertical de velocidad de

v_{y} = - 8.62 m/s

¿Cuál es la magnitud de la velocidad total de la gaviota?

¿Cuál es el ángulo de la velocidad total?

Supón que derecha y arriba son las direcciones positivas y que todos los ángulos serán medidos en sentido contrario a las manecillas del reloj desde el eje x.

Usaremos el teorema de Pitágoras para encontrar la magnitud del vector de velocidad total.