Un proyectil en un plano inclinado

lo que quiero hacer en este vídeo es resolver un problema que es un poco complicado como para verlo en una clase de física de primer año y de hecho es muy poco probable que se encuentren este tipo de problemas en estos cursos básicos de física sin embargo es un problema bastante interesante ya que lo que vamos a hacer es lanzar un proyectil en un plano inclinado podemos imaginar que esto y esto de acá es una ladera y digamos que conocemos la inclinación de esta ladera que es de 30 grados por encima de la horizontal esta es la horizontal y nosotros vamos a lanzar un proyectil con una velocidad de 10 metros por segundo y el ángulo que forma este proyectil con la ladera este ángulo de acá es de 15 grados lo remarcó mejor para que se note y 10 metros por segundo la velocidad el ángulo con la ladera es de 15 grados y la razón por la que este tipo de problemas es más difícil que aquellos que hemos visto con respecto al lanzamiento de proyectiles es que si lo pensamos pues bueno el proyectil va a ser lanzado así y va a caer en algún momento acá pero no podemos usar el método simple para calcular cuánto tiempo está en el aire usando el componente vertical y horizontal porque no podemos conocer su componente vertical ya que ya que no sabemos qué tan lejos va a llegar en la horizontal si nosotros superamos qué tan lejos llega aquí en el componente horizontal entonces podríamos calcular la componente vertical de la velocidad así que aquí tenemos que encontrar los componentes horizontales y verticales al mismo tiempo ya que mientras más lejos llegue en el componente horizontal más alto será su componente vertical pero veremos paso a paso cómo resolver esto y lo que siempre hay que hacer en este tipo de problemas es descomponer nuestro vector velocidad en sus elementos horizontal y vertical el componente vertical de la velocidad va a ser igual a la magnitud de la velocidad qué es 10 metros por segundo y aquí hay que tener mucho cuidado ya que no va a ser el seno de 15 grados sino el seno de este ángulo con respecto a la horizontal vamos a tener que tomar en cuenta todo este ángulo de acá la suma de estos dos ángulos de 45 grados por lo tanto esto va a estar multiplicado por el seno de 45 grados y ya hemos visto que dónde sale esto en vídeos anteriores pero por cuestiones de tiempo vamos a omitirlos si ustedes tienen dudas les recomiendo que revisen los vídeos anteriores para ver de dónde sale esto básicamente esto viene de soca toa de nuestras funciones trigonométricas ya que nuestro componente vertical luce algo así y con respecto a este ángulo este lado es el lado opuesto y de esas funciones trigonométricas su seno es igual al cateto opuesto entre la hipotenusa por eso es que aquí usamos seno del ángulo para representar la magnitud de este lado de este componente vertical vamos a quitar algunas de las cosas que puse para dejar el dibujo un poco más claro y el componente horizontal de la velocidad va a seguir la misma lógica va a ser igual a la magnitud de la velocidad el coseno del ángulo que forma el vector velocidad con la horizontal que es de 45 grados ahora pensemos cuál va a ser nuestro desplazamiento vertical bueno voy a usar la fórmula que hemos encontrado en vídeos anteriores directamente nuestro desplazamiento vertical va a ser igual nuestra velocidad vertical inicial va a ser igual a 10 por seno de 45 grados es más podemos de una vez encontrar el valor de esto el seno de 45 grados es igual a raíz cuadrada de 2 entre 2 y el coseno de 45 grados también es igual a raíz cuadrada de 2 entre 2 así que el valor de aquí 5 x raíz cuadrada de 2 y el mismo valor tenemos acá 10 x raíz cuadrada de 2 entre 12 es igual a 5 x raíz cuadrada de 2 y no olvidemos también las unidades estos son metros por segundo ya que estoy hablando de velocidad y aquí también son metros por segundo y con esto ya simplificamos un poquito nuestros cálculos pero regresamos a lo que estábamos trabajando estábamos diciendo que nuestro desplazamiento vertical va a ser igual a nuestra velocidad vertical inicial que encontramos es 5 por raíz cuadrada de 2 x nuestro cambio en el tiempo por nuestro cambio en el tiempo más la aceleración pero sabemos que la aceleración es menos 9.8 metros por segundo al cuadrado quitamos este más y dejamos menos va a ser menos 9.8 no escribo las unidades para ahorrar espacio x nuestro cambio en el tiempo al cuadrado y todo esto dividido entre 2 esta fórmula la deducimos con detalle en vídeos anteriores especialmente en el vídeo anterior en donde vimos el movimiento de proyectiles en dos dimensiones así que todo esto nos da el desplazamiento en nuestra dirección y vamos a simplificar esto mi desplazamiento vertical es igual a 5 por raíz de 2 por el cambio en el tiempo menos 9.8 entre 2 es 4.9 delta de al cuadrado así que ya tenemos esta restricción que nos da nuestro desplazamiento vertical como una función del tiempo ahora encontremos nuestro desplazamiento horizontal como función del tiempo nuestro desplazamiento horizontal va a ser igual a nuestra velocidad horizontal inicial que es esto 5 x raíz cuadrada de 2 x el cambio en el tiempo ahora que vamos a hacer pues tenemos que encontrar una especie de relación entre nuestro desplazamiento horizontal y nuestro desplazamiento vertical relación va a estar dada mediante esta inclinación este plano inclinado así que dondequiera que vemos contra esta ladera digamos que vamos a caer aquí eventualmente cuando hacer el desplazamiento vertical y horizontal en este punto si el proyectil cae aquí aquí vamos a tener su desplazamiento vertical y para este punto su desplazamiento horizontal será este desplazamiento en x cuando haces la relación entre desplazamiento vertical y el desplazamiento horizontal bueno nosotros sabemos que este ángulo de aquí es de 30 grados y recordando nuestra trigonometría básica ya que este es un triángulo rectángulo sabemos que tenemos este lado opuesto y tenemos este lado adyacente la función trigonométricas que relaciona o que usa el lado opuesto y el lado adyacente es tangente tangente es igual al lado opuesto entre el adyacente así que nuestra tangente de 30 grados va a ser igual a la magnitud del componente vertical entre la magnitud del componente horizontal y sabemos que la tangente de 30 grados es igual al seno de 30 grados entre el coseno de 30 grados y sabemos que el seno de 30 grados es igual a un medio y el coseno de 30 grados es igual a la raíz cuadrada de 3 entre 2 esto es igual a un medio por 2 entre la raíz cuadrada de 3 estos dos se van y me queda que esto es igual a 1 entre raíz cuadrada de 3 así que la magnitud de nuestro componente vertical entre la magnitud de nuestro componente horizontal va a ser igual a 1 entre raíz cuadrada de 3 igual a 1 entre raíz cuadrada de 3 esto de aquí y esto nos sirve para darnos una relación entre nuestro componente vertical y nuestro componente horizontal y podemos usar esta recepción para despejar una de estas dos vamos a hacer vamos a escribir explícitamente esto vamos a hacer una multiplicación cruzada que es lo mismo que multiplicar todo por raíz cuadrada de tres y la magnitud de nuestro componente horizontal nos va a quedar y la raíz cuadrada de 3 x por nuestro componente vertical va a ser igual a la magnitud de nuestro componente horizontal ahora tenemos una relación entre la longitud de ambos vectores y podemos usar esta relación para sustituir las restricciones que encontramos con anterioridad ahora usemos esta restricción el desplazamiento horizontal es igual a 5 por raíz cuadrada de 2 por el cambio en el tiempo otra forma de ver esto es si dividimos ambos lados de esta ecuación entre 5 por raíz cuadrada de 2 nos queda que el cambio en el tiempo es igual a nuestro componente horizontal entre 5 x raíz cuadrada de 2 pero nosotros también sabemos que este desplazamiento horizontal es igual a la raíz cuadrada de 3 por la magnitud del desplazamiento vertical y aquí explícitamente escribir la magnitud del componente vertical sin embargo aquí lo puedo dejar así ya que la misma cantidad va a expresar su dirección y de hecho por la forma en que los dibuje a ambos componentes van a ser positivos ya que nuestro desplazamiento hacia arriba es positivo de acuerdo a la convención que ya tenemos y el desplazamiento hacia la derecha también es positivo así que puedo expresar estoy acá como raíz cuadrada de 3 raíz cuadrada de 3 x nuestro desplazamiento vertical todo esto entre 5 x raíz cuadrada de 2 hice esto porque teniendo el cambio en el tiempo expresado así como una función del desplazamiento vertical contiene esta información la proporción entre nuestro desplazamiento horizontal y nuestro desplazamiento vertical y también contiene la información de como nuestro desplazamiento horizontal cambia con respecto al tiempo así que nuestro tiempo va a ser igual a esto el tiempo como función de nuestro desplazamiento vertical en lugar de como función del desplazamiento horizontal y ahora lo que podemos hacer es usar esta restricción con nuestra fórmula del desplazamiento original ahora sustituyamos esto en estas delta test de aquí lo voy a escribir grande aquí abajo nuestro desplazamiento vertical es igual a 5 por raíz cuadrada de 2 por nuestro cambio en el tiempo pero ya queremos que nuestro cambio en el tiempo es todo esto así que va a estar x raíz cuadrada de 3 por el cambio por el desplazamiento vertical entre 5 x raíz cuadrada de 2 y esto de hecho esta es la fórmula que vamos a usar que ya está simplificada esto menos 4.9 por delta t nuevamente del tate es raíz cuadrada de 3 por el desplazamiento vertical entre 5 x raíz cuadrada de 2 todo esto elevado al cuadrado y ahora nos queda una ecuación cuadrática con solo una variable así que la podemos encontrar vamos a simplificar la así que nuestro componente vertical es igual a 5 por raíz de 2 entre 5 por raíz de 2 se cancelan y nos quedan raíz cuadrada de 3 por la magnitud de nuestro desplazamiento vertical aunque no escribo explícitamente la magnitud acá menos 4.9 por esto de aquí al cuadrado así que nos queda raíz cuadrada de 3 al cuadrado es 3 por desplazamiento vertical al cuadrado entre 5 al cuadrado 5 por 5 25 por raíz de 2 al cuadrado 225 por 2 es igual a 50 si restamos este desplazamiento vertical en ambos lados de esta ecuación voy a hacer un poquito más de espacio para que se note mejor nos va a quedar 0 igual la raíz cuadrada de 3 por el desplazamiento vertical menos 1 por el desplazamiento vertical esto viene de que este desplazamiento vertical está s estando aquí y aquí también tengo esta es ella así que factor hizo la sg y me queda raíz cuadrada de tres menos uno todo por mi componente vertical menos 4.9 por tres entre 50 por nuestro componente vertical al cuadrado y aquí podemos factorizar uno de nuestros componentes verticales así que esto va a ser igual la raíz cuadrada de tres menos uno - 4.9 por tres entre 50s y por la componente vertical que factor izamos s así que para que esta igualdad sea verdadera ya sea que esté componente vertical sea igual a 0 ya que está multiplicando esto y cualquier número x 0 da cero o que todo esto de aquí todo eso de aquí sea igual a cero y de hecho el que nos interesa es este ya que cuando tenemos el desplazamiento vertical igual a cero es justo cuando apenas estamos lanzando el proyectil no tiene un desplazamiento vertical está en el punto de origen sin embargo esto nos va a dar el desplazamiento vertical una vez que ya fue lanzado ese proyectil así que pues bueno vamos a calcular todo esto de una vez para evitar estar escribiendo tanto vamos a usar nuestra calculadora así que la raíz cuadrada de tres menos uno es igual a punto 2 732 hago espacio y lo escribo acá esta parte cita de aquí la redondeo apuntó 732 y 4.9 por 3 entre 50 va a ser igual punto 294 esto de aquí menos 0 puntos 294 por nuestro componente vertical todo esto debe ser igual a 0 ya sea que esto es igual a 0 o éste es igual a 0 hacemos aún más espacio aunque ya estamos casi por terminar sumamos punto 294 s en ambos lados y nos queda 0 puntos 732 igual a 0 punto 294 s ii y ahora dividimos ambos lados entre punto 294 nos queda que el desplazamiento vertical es igual a cero punto 732 en 30 punto 294 y así tenemos nuestro componente vertical y merece un redoble de tambores llegar a este punto sacamos la calculadora y ponemos puntos 732 entre punto 294 y nos da un desplazamiento vertical de 2.489 y lo podemos redondear a 2.49 metros así que esto es igual a 2.49 metros genial ahora podemos poner esto aquí esto es igual a 2.49 metros y ahora ya podemos encontrar nuestro desplazamiento horizontal fácilmente ya que sabemos que nuestro desplazamiento horizontal es nuestro desplazamiento vertical multiplicado por la raíz cuadrada de 3 vamos a calcularlo aquí tenemos nuestro desplazamiento vertical y esto lo multiplicamos por raíz cuadrada de 3 y nos da 4.31 metros nuestro desplazamiento horizontal es igual a 4.31 metros y ahora conocemos el desplazamiento horizontal y también el desplazamiento vertical y ahora les dejaré a ustedes como tarea que calculen exactamente qué tan lejos llegó este proyectil en este plano inclinado y para esto para calcular esta distancia ustedes pueden usar estos dos valores estos dos desplazamientos también pueden usar el teorema de pitágoras para encontrar esto finalmente ya conocen los lados del triángulo y les faltaría conocer la hipotenusa