¿Qué es la energía potencial elástica?

Aprende qué significa la energía potencial elástica y cómo calcularla.

¿Qué es la energía potencial elástica?

La energía potencial elástica es energía almacenada que resulta de aplicar una fuerza para deformar un objeto elástico. La energía queda almacenada hasta que se quita la fuerza y el objeto elástico regresa a su forma original, haciendo un trabajo en el proceso. La deformación puede implicar comprimir, estirar o retorcer el objeto. Muchos objetos están diseñados específicamente para almacenar energía potencial elástica, por ejemplo:
  • El muelle de un reloj de cuerda.
  • Un arquero que estira su arco.
  • Un trampolín doblado justo antes de que el clavadista brinque.
  • La liga de hule de una resortera.
  • Una pelota de goma, comprimida en el momento en el que choca con una pared de ladrillos.
Un objeto diseñado para almacenar energía potencial elástica usualmente tendrá un límite elástico alto. Sin embargo, todos los objetos elásticos tienen un límite para la carga que pueden soportar. Cuando la deformación va más allá del límite elástico, el objeto ya no vuelve a su forma original. En generaciones anteriores, los relojes de cuerda accionados por muelles en espiral eran accesorios populares. Hoy en día, no solemos usar teléfonos inteligentes de cuerda porque no existen materiales con un límite elástico suficientemente alto como para almacenar energía potencial elástica con la densidad de energía suficientemente alta.
La densidad de energía de un resorte de acero en espiral, como el que llevan los relojes de cuerda, es de 8 kJ/kg, mientras que una batería de iones de litio tiene una densidad de energía de alrededor de 500 kJ/kg [1].

¿Cómo podemos calcular la energía potencial elástica de un resorte ideal?

En nuestro artículo sobre elasticidad y ley de Hooke discutimos cómo la magnitud de la fuerza, FF, debida a un resorte ideal depende linealmente de la longitud, Δx\Delta x, que se ha comprimido o expandido,
F=kΔxF = k\cdot \Delta x
donde kk es algún número positivo, que llamamos "constante del resorte". La fuerza del resorte es conservativa, y las fuerzas conservativas tienen energías potenciales asociadas a ellas.
En muchos problemas es necesario tomar en cuenta la dirección de la fuerza debida a un resorte, porque si es en sentido contrario a la dirección de la extensión, generalmente se le añade un signo negativo. Describimos esto mejor en nuestro artículo sobre elasticidad y ley de Hooke. En este ejemplo tenemos que encontrar la energía, que es una cantidad escalar, así que la dirección de la fuerza no es importante para nosotros.
De la definición del trabajo sabemos que el área bajo una gráfica de fuerza vs. desplazamiento da el trabajo realizado por esa fuerza. La figura 1 muestra la gráfica de fuerza vs. desplazamiento de un resorte. Ya que el área bajo la curva es un triángulo, y ningún tipo de energía se pierde en un resorte ideal, podemos encontrar la energía potencial elástica UU a partir del trabajo realizado:
U=12(Δx)k(Δx)=12k(Δx)2\begin{aligned}U &= \frac{1}{2} (\Delta x) \cdot k (\Delta x) \\ &= \boxed{\frac{1}{2} k (\Delta x)^2} \end{aligned}
Figura 1: el trabajo realizado por una fuerza sobre un resorte ideal.
Figura 1: el trabajo realizado por una fuerza sobre un resorte ideal.
Ejercicio 1: la suspensión de un camión tiene una constante de resorte de 5104 N/m5\cdot 10^4~\mathrm{N/m}. Cuando no tiene carga, el camión se encuentra 0.8 m encima de la carretera. Cargado con mercancías, baja a 0.7 m por encima del suelo. ¿Cuánta energía potencial almacenan los cuatro resortes?
La diferencia en la altura del camión es de 0.1 m (0.8 m, 0.7 m). Esto nos indica la compresión Δx\Delta x de los resortes. Al sustituir en la ecuación para la energía potencial de un resorte tenemos que:
U=12k(Δx)2=125104 N/m(0.1 m)2=250 J/resorte=1000 J\begin{aligned} U &= \frac{1}{2} k (\Delta x)^2 \\ &= \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 10^4~\mathrm{N/m} \cdot (0.1~\mathrm{m})^2 \\ &= 250~\mathrm{J}/\mathrm{resorte} \\ &= 1000~\mathrm{J} \end{aligned}
Ejercicio 2a: un arquero entrenado tiene la capacidad de estirar un arco con una fuerza de 300 N, extendiendo la cuerda 0.6 m hacia atrás. Suponiendo que el arco se comporta como un resorte ideal, ¿qué constante del resorte le permitiría al arquero hacer uso de toda su fuerza?
Un arco tenso.
Figura 2: un arco tenso, como el utilizado en el ejercicio 2.
Si el resorte no es lo suficientemente fuerte, el arquero no podrá aplicar los 300 N en su totalidad. Al usar la ley de Hooke podemos encontrar la constante de resorte necesaria,
k=FΔx=300 N0.6 m=500 N/m\begin{aligned}k &= \frac{F}{\Delta x}\\ &= \frac{300~\mathrm{N}}{0.6~\mathrm{m}} \\ &= 500 ~\mathrm{N/m} \end{aligned}
Ejercicio 2b: ¿qué energía potencial almacena el arco cuando se estira?
Utilizando la ecuación de energía potencial elástica de un resorte ideal,
U=12k(Δx)2=12(500 N/m)(0.6 m)2=90 J\begin{aligned} U &= \frac{1}{2} k (\Delta x)^2 \\ &= \frac{1}{2} (500 ~\mathrm{N/m})\cdot (0.6~\mathrm{m})^2 \\ &= 90~\mathrm{J} \end{aligned}
Ejercicio 2c: suponiendo que la flecha tiene una masa de 30 g, ¿a qué velocidad, aproximadamente, saldrá disparada?
Sabemos que la única fuente de energía cinética de la flecha es la energía potencial elástica del arco. En el instante en que la flecha ha sido disparada, no ha habido tiempo suficiente para que la fuerza de arrastre haya hecho algún trabajo en la flecha. Así que podemos proceder usando la conservación de energía para encontrar la velocidad a partir de la energía cinética.
12mv2=U\frac{1}{2} m v^2 = U
v=2Um=290 J0.03 kg77.5 m/s\begin{aligned}v &= \sqrt{\frac{2 U}{m}}\\ &= \sqrt{\frac{2\cdot 90~\mathrm{J}}{0.03~\mathrm{kg}}}\\ &\simeq 77.5~\mathrm{m/s}\end{aligned}
Ejercicio 2d: supón que las medidas de una cámara de alta velocidad muestran que la flecha se mueve a una velocidad más lenta de lo previsto por la conservación de la energía. ¿Se está realizando algún trabajo que no hemos considerado?
  • En el momento en que la flecha abandona el arco, la parte de la cuerda que está en contacto con ella necesariamente se mueve a la misma velocidad de la flecha. En una situación ideal, la cuerda sería muy ligera en comparación con la flecha. Sin embargo, cuando la flecha sale volando, la cuerda (y posiblemente partes del arco) tiene algo de energía cinética que no ha sido tomada en cuenta.
  • El arco probablemente no sea un resorte ideal. Parte del trabajo realizado por el arquero puede disiparse como calor en el arco.

¿Qué pasa con materiales elásticos reales?

En nuestro artículo sobre elasticidad y ley de Hooke discutimos cómo los resortes reales solamente obedecen la ley de Hooke para un rango particular de fuerza aplicada. Algunos materiales elásticos tales como ligas y plásticos flexibles pueden funcionar como resortes, pero a menudo presentan histéresis; esto significa que la curva de fuerza contra extensión sigue un camino diferente cuando el material es deformado en comparación a cuando regresa a su posición de equilibrio.
Afortunadamente, la técnica básica al aplicar la definición de trabajo que empleamos para un resorte ideal en general también funciona para materiales elásticos. Siempre podemos encontrar la energía potencial elástica a partir del área bajo la curva de la gráfica de fuerza vs. extensión, independientemente de la forma de la curva.
En nuestro análisis anterior, hemos considerado el resorte ideal como un objeto unidimensional. En realidad, los materiales elásticos son tridimensionales. Resulta que el mismo procedimiento sigue siendo válido. El equivalente a la curva de fuerza vs. distancia es la curva de esfuerzo vs. deformación.
  • El esfuerzo es la fuerza usada por unidad de área para deformar un objeto. En el SI tiene unidades de N/m2\mathrm{N/m^2}.
  • La deformación es una medida del cambio en la forma natural de un objeto (esto es, en ausencia de esfuerzos) cuando está sujeto a un esfuerzo. Es el cociente de la variación de longitud Δl\Delta l entre la longitud inicial ll (antes del esfuerzo), es decir, Δl/l\Delta l/l en la dirección en la que se aplica la fuerza.
Un material elástico tridimensional obedece ley de Hooke, donde
Energıˊa/volumen=12(esfuerzodeformacioˊn)\mathrm{Energía / volumen = \frac{1}{2} (esfuerzo \cdot deformación)}
  • La deformación es la razón entre la variación de longitud producida en el material al aplicarle una fuerza y su longitud inicial, Δx/x\Delta x / x. Puesto que es un cociente, no tiene unidades. El área bajo una curva de esfuerzo vs. deformación tiene las mismas unidades que el esfuerzo.
  • El esfuerzo se mide en newtons por metro cuadrado. Por el teorema del trabajo y la energía, también podemos escribir los newtons como Jm1\mathrm{J\cdot m^{-1}}. Así que también podemos expresar la fuerza por unidad de área así: Jm1m2=J/m3\mathrm{\frac{J\cdot m^{-1}}{m^2} = J/m^3}. Entonces, ambas unidades son dimensionalmente consistentes.
Ejercicio 3: la figura 3 muestra una gráfica de tensión vs. deformación para una banda de hule. Cuando está estirada (cargada), la curva toma el camino de arriba. Esto es porque, ya que la banda no es ideal, libera menos fuerza para una extensión dada al relajarse de nuevo (descargada). El área sombreada púrpura representa la energía potencial elástica para la máxima extensión. En amarillo se muestra la diferencia de área entre los dos casos: con carga y sin ella. Esto representa la energía que se pierde en forma de calor cuando la banda se estira y relaja.
Si la banda de hule tiene una longitud de 100 mm100~\mathrm{mm}, 10 mm10~\mathrm{mm} de ancho y un grosor de 1 mm1~\mathrm{mm}, ¿cuánto calor se genera en la banda cuando se estira y se relaja de nuevo?
Figura 3: curva de fuerza vs. extensión para una banda de hule. Las líneas de cuadrícula verticales y horizontales son cada 0.05 unidades
Figura 3: curva de fuerza vs. extensión para una banda de hule. Las líneas de cuadrícula verticales y horizontales son cada 0.05 unidades
En la curva, el área sombreada en amarillo representa la energía que se pierde en forma de calor. Podemos encontrar la energía por metro cuadrado de la rejilla:
Una división vertical es de 0.05 N/mm20.05~\mathrm{N/mm^2}, que en unidades del SI es 5104 N/m25\cdot 10^4 ~\mathrm{N/m^2}.
Una división horizontal es de 0.050.05, por lo que un cuadrado representa 2500 J/m32500~\mathrm{J/m^3}.
El área amarilla es aproximadamente de 24 cuadrados, así que representa 242500 J/m3=6104 J/m324\cdot 2500~\mathrm{J/m^3} = 6\cdot 10^4~\mathrm{J/m^3}.
El volumen del hule es (0.10.010.001)=1106 m3(0.1 \cdot 0.01 \cdot 0.001)=1\cdot 10^{-6}~\mathrm{m^3}.
Finalmente, la energía térmica es (6104)(1106)=0.06 J(6\cdot 10^4)\cdot(1\cdot 10^{-6}) = 0.06~\mathrm{J}.
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