Aprende sobre elasticidad y cómo determinar la fuerza ejercida por un resorte.

¿Qué es un resorte?

Un resorte es un objeto que puede ser deformado por una fuerza y volver a su forma original en la ausencia de esta.
Los resortes vienen en una gran variedad de formas diferentes, pero el muelle en espiral de metal es probablemente el más familiar. Los resortes son una parte esencial de casi todos los dispositivos mecánicos moderadamente complejos; desde bolígrafos a motores de coches de carreras.
No hay nada particularmente mágico en la forma de un muelle en espiral que lo haga comportarse como un resorte. La elasticidad es una propiedad fundamental del alambre con el que está hecho. Un cable de metal largo y recto también tiene la capacidad de regresar a su forma original después de un estiramiento o una torsión. Pero enrollarlo nos permite aprovechar las propiedades de un pedazo de alambre muy largo en un pequeño espacio. Esto es mucho más conveniente para la construcción de dispositivos mecánicos.
La respuesta de un alambre de metal al estiramiento (carga axial) y la torsión se rige por leyes de la física distintas, y podemos sacar provecho de un tipo de deformación sobre la otra en el diseño de un resorte particular. Además, las propiedades elásticas de los metales dependen fuertemente de su microestructura. Esto puede cambiar por el esfuerzo y por un proceso de calentamiento/enfriamiento controlado conocido como recocido. Si un alambre de metal se forma a partir de una sección recta en una bobina, entonces es probable que tenga que ser recocido otra vez para restaurar sus propiedades elásticas originales.

¿Qué sucede cuando un material se deforma?

Cuando se aplica una fuerza sobre un material, este se estira o comprime como resultado. Todos estamos familiarizados con materiales como el hule, que se estiran muy fácilmente.
En mecánica, lo importante es la fuerza aplicada por unidad de área; llamamos esfuerzo (σ\sigma) a esta cantidad. Al grado de estiramiento/compresión que se produce mientras el material responde al esfuerzo lo llamamos deformación (ϵ\epsilon). Medimos el esfuerzo con el cociente de la diferencia en la longitud ΔL\Delta L entre la longitud inicial L0L_0 a lo largo de la dirección de la tensión, es decir, ϵ=ΔL/L0\epsilon=\Delta L/L_0.
Cada material responde de forma distinta al esfuerzo, y los detalles de la respuesta son importantes para los ingenieros que deben seleccionar materiales a partir de sus estructuras, así como máquinas que se comporten de manera predecible bajo esfuerzos esperados.
En la mayoría de los materiales, la deformación que experimentan cuando se les aplica un pequeño esfuerzo depende de la tensión de los enlaces químicos dentro de ellos. La rigidez del material está directamente relacionada con la estructura química de este y de los tipos de enlaces químicos presentes. Lo que sucede cuando se quita el esfuerzo depende de hasta qué punto los átomos se han movido. En general hay dos tipos de deformación:
  1. Deformación elástica. Cuando se quita el esfuerzo, el material regresa a la forma que tenía originalmente. La deformación es reversible y no es permanente.
  2. Deformación plástica. Esta ocurre cuando se aplica un esfuerzo tan grande a un material que al retirarlo el material no regresa a su forma anterior. Hay una deformación permanente e irreversible. Llamamos límite elástico del material al valor mínimo de esfuerzo necesario para producir una deformación plástica.
Cualquier resorte debe diseñarse para que, al ser parte de una máquina, solo experimente una deformación elástica dentro del funcionamiento normal de esta.

Ley de Hooke

En el siglo XVII, al estudiar los resortes y la elasticidad, el físico Robert Hooke observó que para muchos materiales la curva de esfuerzo vs. deformación tiene una región lineal. Dentro de ciertos límites, la fuerza requerida para estirar un objeto elástico, como un resorte de metal, es directamente proporcional a la extensión del resorte. A esto se le conoce como la ley de Hooke, y comúnmente la escribimos así:
F=kx\boxed{F=-kx}
Donde FF es la fuerza, xx la longitud de la extensión o compresión, según el caso, y kk es una constante de proporcionalidad conocida como constante de resorte, que generalmente está en N/m\mathrm{N/m}.
Aunque aquí no hemos establecido explícitamente la dirección de la fuerza, habitualmente se le pone un signo negativo. Esto es para indicar que la fuerza de restauración debida al resorte está en dirección opuesta a la fuerza que causó el desplazamiento. Jalar un resorte hacia abajo hará que se estire hacia abajo, lo que a su vez resultará en una fuerza hacia arriba debida al resorte.
Al abordar problemas de mecánica que implican elasticidad, siempre es importante asegurarnos de que la dirección de la fuerza de restauración sea consistente. En problemas simples a menudo podemos interpretar la extensión xx como un vector unidimensional. En este caso, la fuerza resultante también será un vector de una dimensión, y el signo negativo en la ley de Hooke le dará la dirección correcta.
Cuando calculemos xx es importante recordar que el resorte también tiene una longitud inicial L0L_0. La longitud total LL del resorte extendido es igual a la longitud original más la extensión, L=L0+xL = L_0 + x. Para un resorte bajo compresión sería L=L0xL=L_0-x.
Ejercicio 1: una persona de 75 kg está parada sobre un resorte de compresión que tiene una constante de resorte de 5000 N/m5000~\mathrm{N/m} y una longitud inicial de 0.25 m0.25~\mathrm{m}. ¿Cuál es la longitud total del resorte con la persona encima?
Usando la ley de Hooke, encontramos la extensión:
x=Fk=mgk=(75 kg)(9.81 m/s2)5000 N/m0.15 m\begin{aligned} x &= \frac{F}{k} \\ &= \frac{mg}{k} \\ &= \frac{(75~\mathrm{kg})\cdot(9.81~\mathrm{m/s^2})}{5000~\mathrm{N/m}}\\&\simeq 0.15~\mathrm{m} \end{aligned}
Ahora le restamos esto a la longitud inicial del resorte:
L=L0x=0.250.15 m=0.1 m\begin{aligned} L &= L_0-x \\ &= 0.25-0.15~\mathrm{m}\\&= 0.1~\mathrm{m}\end{aligned}
Ejercicio 2a: estás diseñando una montura para mover sin problemas una cámara de 1 kg por una distancia vertical de 50 mm. El diseño requiere que la cámara se deslice en un par de carriles, y consiste de un resorte que sostiene la cámara y la jala contra la punta de un tornillo de ajuste, como se muestra en la figura 1. La longitud inicial del resorte es L0=50 mmL_0=50~\mathrm{mm}. Para este diseño, ¿cuál es el valor mínimo requerido para la constante del resorte?
¿Por qué no conectar la cámara directamente al tornillo? Esto funcionaría, pero no resultaría en un mecanismo con un movimiento suave y repetible conforme se ajusta el tornillo. Esto se debe a que en cualquier mecanismo donde un tornillo gira en una tuerca o sección enroscada hay rebote. Esto ocurre por la separación finita de las roscas. Una solución común de diseño para el problema del rebote es utilizar un tornillo que empuje un resorte, como en este ejemplo.
Figura 1: mecanismo de ajuste de altura de la cámara (ejercicio 2).
Figura 1: mecanismo de ajuste de altura de la cámara (ejercicio 2).
El resorte debe ser lo suficientemente elástico como para suministrar la fuerza necesaria para jalar la cámara contra la punta del tornillo en todo momento. La fuerza será más débil cuando el resorte esté en su mínima extensión, i.e., cuando la distancia entre la parte superior e inferior del resorte sea de 100 mm.
Ya que se especifica que el resorte tiene una longitud inicial de 50 mm, este tendrá una extensión mínima x=100 mm50 mm=50 mmx=100~\mathrm{mm}-50~\mathrm{mm} = 50~\mathrm{mm}. En la cámara, la fuerza del resorte debe oponerse a la fuerza de la gravedad de mg=(1 kg)(9.81 m/s2)=9.81 Nmg = (1~\mathrm{kg})\cdot(9.81~\mathrm{m/s^2}) = 9.81~\mathrm{N}.
Usando la ley de Hooke, encontramos la constante de resorte:
k=Fx=9.81 N50103 m196 N/m\begin{aligned} k &= \frac{F}{x} \\ &= \frac{9.81~\mathrm{N}}{50\cdot 10^{-3}~\mathrm{m}} \\ &\simeq 196~\mathrm{N/m}\end{aligned}
Ejercicio 2b: ¿Cuál es el límite elástico mínimo que requiere tu resorte?
El resorte debe ser lo suficientemente robusto como para no romper o exceder su límite elástico cuando la fuerza sobre él sea la máxima permitida por el diseño. La fuerza del resorte se maximiza cuando se maximiza la extensión del resorte.
Sabemos que la extensión máxima es x=150 mm50 mm=100 mmx=150~\mathrm{mm}-50~\mathrm{mm} = 100~\mathrm{mm}, y suponemos que hemos elegido un resorte con una constante de resorte de 196 N/m196~\mathrm{N/m}.
Podemos utilizar la ley de Hooke para encontrar la fuerza de extensión máxima. Esta corresponde al límite elástico mínimo necesario para nuestro resorte.
F=kx=(196 N/m)(100103 m)=19.6 N\begin{aligned} F &= kx \\ &= (196~\mathrm{N/m}) \cdot (100\cdot 10^{-3}~\mathrm{m}) \\ &= 19.6~\mathrm{N}\end{aligned}

Combinación de resortes y el módulo de Young

El módulo de Young (también conocido como el módulo de elasticidad) es un número que mide la resistencia de un material a ser deformado elásticamente. Se nombró en honor al físico del siglo de XVII, Thomas Young. Mientras más rígido es un material, más grande es su módulo de Young.
Generalmente, denotamos el módulo de Young con el símbolo EE y lo definimos como:
E=σϵ=esfuerzodeformacioˊnE = \frac{\sigma}{\epsilon} = \frac{\mathrm{esfuerzo}}{\mathrm{deformación}}
Podemos definir el módulo de Young para cualquier deformación, pero es constante si se obedece la ley de Hooke. Podemos obtener directamente la constante de resorte kk a partir del módulo de Young del material, el área AA sobre la cual se aplica la fuerza (ya que el esfuerzo depende del área) y la longitud original del material LL.
Este tratamiento es razonablemente válido para un material elástico simple, por ejemplo un bloque de goma. Un resorte de metal en espiral es un ejemplo de una estructura relativamente compleja que aprovecha la deformación axial y de torsión. En este caso, necesitamos un análisis mayor para determinar el valor correcto de la constante de resorte con base en las propiedades del metal. Sin embargo, la forma general de la relación entre la constante de resorte y la geometría de los resortes sigue siendo la misma.
k=EALk = E \frac{A}{L}
Se trata de una relación muy útil para entender las propiedades de combinaciones de resortes. Consideremos el caso de dos resortes ideales similares con constante de resorte kk, que podemos colocar uno tras otro (en serie) o uno al lado del otro (en paralelo) para soportar un peso, como se muestra en la figura 2. ¿Cuál es la constante de resorte efectiva de la combinación en cada caso?
Figura 2: combinaciones en serie y en paralelo de dos resortes similares.
Figura 2: combinaciones en serie y en paralelo de dos resortes similares.
En la configuración en serie, podemos ver que los resortes combinados equivalen a un resorte con el doble de longitud. La constante de resorte en este caso debe ser la mitad de la de un solo resorte, kefectiva=k/2k_\mathrm{efectiva}=k/2.
En la configuración en paralelo, la longitud sigue siendo la misma, pero la fuerza se distribuye sobre el doble del área del material. Esto duplica la constante de resorte efectiva de la combinación, kefectiva=2kk_\mathrm{efectiva}=2 k.
En la física, ¿esta relación aparece en otros lados? resulta que el comportamiento de las constantes de resorte para combinaciones en serie y en paralelo refleja exactamente las combinaciones en serie y en paralelo de capacitores en circuitos eléctricos.
En serie,
1kefectiva=1k1+1k2+\frac{1}{k_\mathrm{efectiva}} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2} + \ldots.
En paralelo,
kefectiva=k1+k2+k_\mathrm{efectiva} = k_1 + k_2 + \ldots.

Resortes con masa

Considera la configuración que se muestra en la figura 3. Un resorte soporta horizontalmente 1 kg de masa por medio de una polea (que podemos suponer que no tiene fricción). Un resorte idéntico soporta la misma masa verticalmente. Supón que el resorte tiene una masa de 50 g y una constante de resorte k=200 N/m. ¿Cuál es la extensión del resorte en cada caso?
Figura 3: comparación de un resorte usado horizontal y verticalmente.
Figura 3: comparación de un resorte usado horizontal y verticalmente.
En ambos casos, la fuerza sobre el resorte debida a la masa tiene la misma magnitud, mgmg. Así que primero podríamos asumir que la extensión en ambos casos es idéntica. Resulta que para un resorte real esto no es cierto.
La complicación aquí es que el resorte tiene masa. En el caso vertical, la fuerza de gravedad actúa sobre el resorte en la misma dirección que la fuerza debida a la masa. Así que la masa del resorte se agrega a la del peso. El resorte extendido soporta un peso total de 1.05 kg, lo que produce una extensión de
Aunque la masa mrm_r del resorte está distribuida a lo largo de su longitud, esta situación es equivalente a un resorte sin masa con constante kk que soporta una masa mrm_r.
Imagina dividir a la mitad un resorte sin masa y poner una masa mrm_r en el punto medio. Ahora tenemos dos resortes en serie, por lo que la constante elástica de cada mitad será k/2k/2. La extensión del resorte de arriba será mg/(k/2)mg/(k/2), o el doble de la extensión del resorte original. Sin embargo, el resorte inferior no tiene carga ni extensión. El resultado final es la misma extensión que en el caso de un solo resorte que sostiene una masa mrm_r.
1.05 kg9.81 m/s2200 N/m=51.5 mm\frac{1.05~\mathrm{kg} \cdot 9.81~\mathrm{m/s^2}}{200~\mathrm{N/m}}=51.5~\mathrm{mm}
En el caso horizontal, la polea ha cambiado la dirección de la fuerza. La fuerza debida al peso de 1 kg que actúa sobre el resorte es ahora ortogonal a la fuerza de gravedad que actúa sobre el resorte. Así que la extensión del resorte soporta únicamente 1 kg. Por lo tanto se extiende
1 kg9.81 m/s2200 N/m=49 mm\frac{1~\mathrm{kg} \cdot 9.81~\mathrm{m/s^2}}{200~\mathrm{N/m}}=49~\mathrm{mm}
Esta diferencia puede ser bastante importante y, si no se toma en cuenta, llevar a resultados incorrectos en el laboratorio. En laboratorios de enseñanza de la física, utilizamos a menudo dinamómetros para medir la fuerza. Un dinamómetro (figura 4) es simplemente un resorte con un indicador conectado y una escala a partir de la cual podemos leer la fuerza.
Figura 4: un dinamómetro común.
Figura 4: un dinamómetro común.
Ya que los fabricantes de dinamómetros esperan que su producto se use verticalmente (por ejemplo, por un pescador que mide la masa de su pescado), la escala está calibrada para tener en cuenta la masa del resorte y el gancho. Dará un resultado incorrecto absoluto si lo utilizamos para medir una fuerza horizontal. Sin embargo, la ley de Hooke nos dice que existe una relación lineal entre la fuerza y la extensión. Debido a esto, podemos confiar todavía en la escala para mediciones relativas cuando lo usamos horizontalmente. Algunos dinamómetros tienen un tornillo de ajuste que permite calibrar el punto cero, eliminando este problema.
¿Qué entendemos por absoluto y relativo? Una medida absoluta es una medida de una cantidad que tiene un punto de referencia definido donde la cantidad es cero. Una medición de longitud con una regla que tenga una escala impresa es un ejemplo de una medición absoluta. Con una regla sin números impresos (únicamente marcas) solo se podría hacer una medición relativa.
Para convertir una medida relativa en absoluta debemos elegir nuestro propio punto de referencia. En el caso de un dinamómetro horizontal, probablemente elegiríamos establecer el punto de referencia al encontrar la medida de la fuerza cuando el resorte está descargado. Luego, al hacer una medición, restaríamos este valor a lo indicado en la escala del dinamómetro.
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