Resortes verticales y conservación de la energía

digamos que tenemos una masa que está unida a un resorte horizontal y esta masa se encuentra sobre una superficie sin fricción si la masa se encuentra en un punto en donde la longitud del resorte se encuentra en reposo y si la masa se encuentra en un punto en el resorte se encuentra en su longitud natural pues no se va a mover a ningún lado ya que cuando un resorte se encuentra en su longitud natural se encuentra contento en su lugar en el universo no va a querer moverse no va a empujar no va a jalar ese resorte no tendrá energía y va a estar como yo la mayor parte de los días de verano y a este punto en donde el resorte ni empujan y jala y se encuentra en su longitud natural si tenemos una masa que está unida a un resorte horizontal este punto también será su posición de equilibrio y la posición de equilibrio significa o se refiere a que el punto en donde la fuerza neta de esa masa es igual a cero y este punto de equilibrio para la masa significa que el resorte se encuentra en su longitud natural porque pues porque el resorte no va a estar ni empujando ni jalando a esta masa se va a quedar quieto si yo coloco esta masa en este punto se va a quedar quietecita por siempre y como esto sería aburrido vamos a decir que tomamos esta masa y la movemos a la derecha una distancia de y con esto vamos a darle a este resorte una energía potencial elástica y si liberamos a esta masa de esta nueva posición pues este resorte va a jalar a esta masa hacia la izquierda entonces esta masa va a atravesar el punto de equilibrio con cierta rapidez cual será esta rapidez pues podemos encontrarla usando la conservación de la energía la energía potencial inicial del resorte no es difícil es un medio porque la constante del resorte multiplicada por d al cuadrado que es la distancia que se estiró este resorte y aquí no tendremos energía cinética inicial ya que vamos a soltar esta masa que estaba en reposo y conforme esta masa vaya hacia la izquierda va a comenzar a ganar energía cinética así que esta energía potencial del resorte se va a transformar en energía cinética es un medio por la masa y cuando la masa esté en este punto de equilibrio no vamos a tener energía elástica el resorte no tendrá energía tendremos solamente la energía cinética y nos quedará esta sencilla relación toda la energía del resorte va a ser igual a toda la energía cinética en la posición de equilibrio y si despejamos ve de esta masa en esta posición de equilibrio va a ser igual a la raíz cuadrada de acá entre la masa por la distancia al cuadrado podríamos quitar esta de de aquí ya que tenemos de al cuadrado y se le está sacando la raíz cuadrada pero esta es la idea esta es la rapidez que tendremos de esta masa cuando pase por la posición de equilibrio ahora déjenme preguntarles algo qué pasaría si ahora tuviéramos un resorte vertical del cual estuviera colgando nuestra masa y digamos que quiero jalarlo hacia abajo una distancia de pues si la jalamos hacia abajo y la soltamos cuando esta masa vuelva a pasar por la posición de equilibrio su velocidad también va a ser la raíz cuadrada de k entre m d al cuadrado y ustedes se pueden preguntar bueno será otra velocidad que tenga aquí bueno la constante del resorte va a ser la misma aquí la distancia también entonces todo esto también se va a cumplir y esto debería sorprendernos que en esta circunstancia no sólo tenemos el resorte y la masa y la distancia en la que la movemos como aquí en este caso aunque tampoco tengo fricción lo que sí tengo es la fuerza de gravedad aquí no sólo tengo la energía del resorte y la energía cinética sino que también tengo mi fuerza de gravedad conforme esto se vaya moviendo de abajo hacia arriba también tendremos cambios en la energía potencial gravitacional así que porque no estamos tomando en cuenta la energía potencial gravitacional en esta fórmula porque no la estamos tomando en cuenta en esta ecuación de la conservación de la energía pues justo esto es lo que les voy a demostrar en este vídeo si ustedes solo querían conocer la respuesta tengan en cuenta que esta la pueden usar en ambas circunstancias así que si no quieren conocer más de esto estamos bien con esta información se pueden quedar pero yo les recomiendo que sigan viendo todo el vídeo ya que el saber el por qué no tomamos en cuenta está m&g en esta conservación de la energía ayudar a entender realmente qué significa está de esta h y esta vez al igual que comprender exactamente a qué nos referimos con la posición de equilibrio y esto nos va a ayudar conceptualmente si es que se encuentra en un problema que sea más complicado así que vamos a probar porque puedo ignorar esta m g por h aquí aquí tengo un resorte solito que está colgando del techo está acá es la constante de este resorte y digamos que es un resorte ligero ya que si fuera pesado es posible que él solito estuviera jalándose por su propio peso hacia abajo así que este es un resorte ligero que está colgando aquí tranquilito y se encuentra en su longitud natural no está empujando ni está jalando se encuentra en reposo como lo vemos aquí pero ahora le ponemos la masa m aquí no estamos jalando ni soltando la masa simplemente la estamos conectando al resorte y estamos dejando que cuelgue hasta que quede en reposo de manera que quede en su posición de equilibrio esta sería la nueva posición de equilibrio esto de aquí sería la nueva posición de equilibrio en otras palabras este es el punto en donde las fuerzas netas sobre la masa van a ser igual a cero pero en esta ocasión no se encuentra este punto en la longitud natural del resorte como lo teníamos en el resorte horizontal en esta ocasión la posición de equilibrio está desplazada una distancia a alejada del punto natural de equilibrio del resorte ya que ahora se encuentra equilibrando la fuerza de gravedad en otras palabras la fuerza del resorte hacia arriba acá x menos la fuerza gravitacional m por g tienen que ser igual a cero para que esta masa pueda estar en equilibrio incluso podemos saber cuál es la distancia a en términos de estas variables y ya que está x es la distancia que se ha estirado el resorte nos queda que x es igual a m por g entre k que es la constante del resorte entonces esta x va a ser igual a nuestra esta es la distancia que se ha estirado el resorte para llegar a la nueva posición de equilibrio con la masa conectada a él y esto es algo clave así que vamos a tener en mente este resultado de acá pero ahora yo les pregunto si tomamos nuestra masa y la jalamos hacia abajo de manera que ahora de manera que ahora tenga esta posición aquí las fuerzas no van a estar en equilibrio en este caso la fuerza con la que estoy jalando el resorte va a ser mayor que la fuerza de gravedad y si yo suelto esta masa va a regresar así esta posición de equilibrio con cierta velocidad va a pasar a este punto de equilibrio y ahora aquí la fuerza del resorte será menor que la fuerza de gravedad lo que hará que en este caso gane la gravedad y vaya de nuevo hacia abajo y esto va a continuar de arriba hacia abajo y nos podemos hacer la misma pregunta que hicimos anteriormente si yo hallo el resorte hacia esta posición ve cuál será la velocidad a la que pasará de regreso este resorte aquí cuando pase por este punto de equilibrio y nuevamente podemos usar la conservación de la energía podemos decir que la energía inicial de nuestro sistema va a ser igual a la energía final de nuestro sistema vamos a elegir como punto inicial este de aquí en donde liberamos nuestra masa del reposo cuando jalamos está más a una distancia ve por debajo de esta nueva posición de equilibrio y nuestro punto final va a ser justamente aquí donde tenemos nuestra nueva posición de equilibrio ya que es en donde queremos conocer la velocidad de esta masa así que vamos a tratar de conocer cuál es la energía inicial en este sistema cuando jalamos esta masa hacia abajo y estamos por liberarla y en este punto si voy a soltar la masa esta masa va a estar inicialmente en reposo si está en reposo no va a tener velocidad y si no tiene velocidad no va a la energía cinética así que no tendremos energía cinética al inicio cuando tenemos esta masa en reposo pero si vamos a tener la energía potencial del resorte y aquí vamos a tener bastante energía potencial en el resorte no solo voy a tener esta masa que voy a jalar hacia abajo por debajo de esta nueva posición de equilibrio una distancia vez sino que además cuando teníamos esta masa en reposo con el resorte en esta nueva posición de equilibrio el resorte de todas maneras ya se había estirado una distancia y cuando tenemos esta fórmula de un medio por la constante del resorte por la distancia que se ha estirado el resorte va a ser la distancia total la distancia total que se ha estirado el resorte a partir de su longitud natural va a ser a + b y además voy a elevar al cuadrado todo este término y esta es toda la energía potencial del resorte que voy a tener en el sistema al inicio y cuánta energía gravitacional voy a tener aquí bueno yo aquí puedo elegir cuál va a ser mi punto de referencia para esta energía gravitacional y muchas veces por conveniencia se elige este punto hasta abajo como referencia esta va a ser mi línea de referencia para h igual a 0 y todas las alturas las voy a medir a partir de esta línea y eso lo podemos hacer así ya que solo estamos interesados en medir las diferencias de la energía potencial gravitacional solo hay que ser consistente siempre con nuestra elección y con mi elección de que h igual a 0 sea esta línea pues la posición de mi masa al inicio va a ser 0 y por eso mi energía potencial gravitacional mgh en este punto inicial va a ser igual a 0 así que en términos de la energía en este punto inicial esta va a ser toda la energía que yo tengo y esto va a ser igual a la energía final del sistema así que me pregunto tengo energía potencial del resorte en este punto final y quizás ustedes me digan no ya que esta posición final se encuentra en la nueva posición de equilibrio pero recuerden que esta nueva posición de equilibrio está desplazada de la longitud natural del resorte una distancia así que aquí sí voy a tener energía potencial del resorte y es un medio por la constante del resorte multiplicada por la distancia que se estiró el resorte en esta nueva posición que es ah y esto lo tengo que elevar al cuadrado ya que es un medio por acá por x al cuadrado y con respecto a la energía cinética esta masa va a ganar velocidad hacia arriba ya que la estoy soltando y se va a acelerar hacia arriba así que la energía cinética en este punto va a ser un medio por la masa por la velocidad al cuadrado y esta velocidad es la que tiene esta masa cuando está pasando por este nuevo punto de equilibrio que es justamente lo que queremos encontrar pero además voy a tener energía potencial gravitacional y establecimos nuestra h cero aquí de manera que si la masa se encuentra en esta referencia su h será igual a 0 pero como la soltamos y va hacia arriba ahora sí va a tener energía potencial gravitacional por lo que mi h va a ser igual a b recuerden que tomamos esta masa y la jalamos de manera que el resorte ahora está en esta posición de su longitud + b y de aquí lo soltamos entonces esta distancia que está por arriba de nuestra línea de referencia es b así que aquí vamos a agregar m por g por esta longitud que la movimos hacia abajo y que ocasionó que ganara energía potencial gravitacional y bueno yo aquí quiero despejar mi incógnita d al cuadrado pero pues tengo bastantes cosas por ejemplo tengo este término al cuadrado así que vamos a comenzar por este aquí tengo este un medio por acá y ahora tenemos este binomio al cuadrado así que esto me va a dar el primer término al cuadrado a al cuadrado más el término cruzado multiplicado por 2 más 2 a volver más el cuadrado del segundo término b al cuadrado esto es lo que obtengo de elevar al cuadrado todo esto de aquí y esto se comienza a ver algo complicado pero no desesperen créanme algo maravilloso está por suceder y esto va a ser igual a todo lo que tengo en el lado derecho y del lado izquierdo me queda un medio por acá por al cuadrado más un medio por acá qué es esto multiplicado por este término de acá 2a por ver más nuevamente esto un medio de acá pero ahora por b al cuadrado y podemos decir que todo esto es igual a lo que tenemos del lado derecho y aquí hay algunas cosas que puedo cancelar por ejemplo tengo este un medio acá al cuadrado en ambos lados de la igualdad por lo que la puedo quitar este un medio se va a cancelar con este 2 de aquí por lo que me va a quedar acá ahora por b más un medio k por b al cuadrado pero que se está acá por a bueno si ustedes recuerdan tenemos aquí está acá y esta si las multiplicamos es como si multiplicamos ambos lados de esta igualdad por acá por lo que esta caja es igual a m por g este enunciado representa mi posición de equilibrio así que está cab ahora la puedo reemplazar por m porque y ustedes me pueden preguntar bueno y a mí qué me sirve reemplazar está acá por a por esta m por g que multiplica a esta vez bueno porque ahora este término se va a poder cancelar con esta otra mgb de este otro lado así que voy a tener que esto es igual a un medio m por b al cuadrado más m g b y ahora puedo cancelar este mgb con este otro mgb es por eso que reemplazamos estos términos con esto de acá para poder cancelar los y ahora mágicamente nos queda la misma relación que teníamos con el resorte horizontal pero ahora medida desde nuestra nueva posición de equilibrio y esto es importante así que permítanme volver a mencionar todo esto cuando ustedes tienen estos problemas de resortes verticales pueden resolverlos de dos formas ustedes pueden medir el desplazamiento del resorte a partir de su longitud natural como lo hicimos aquí en donde sumamos a más ya que fue la distancia que se estiró el resorte a partir de su longitud natural hasta donde pusimos la masa pueden hacer esto y además incluir la energía potencial gravitacional y así obtener la respuesta correcta o pueden hacerlo como lo deducimos aquí ya que vimos que estos términos siempre se cancelan solamente medimos lo que se extiende el resorte a partir de la nueva posición de equilibrio y si lo hacemos entonces podemos dejar afuera todos los términos que tengan que ver con la energía potencial gravitacional y seguiremos teniendo la respuesta correcta pueden ver a la gravedad como simplemente el desplazamiento de la posición de equilibrio la bajamos un poco y a partir de aquí esta masa se comportaría como si tuviéramos este resorte encima de una superficie horizontal sin fricción y esto nos funciona si consideramos solamente el desplazamiento a partir de esta nueva posición de equilibrio en otras palabras si limpiamos todo esto y nos quedamos con este problema y nos dicen que una masa de 3 kilogramos está colgando de un resorte cuya constante es de 50 minutos por metro y esta línea de acá representa la nueva posición de equilibrio ya que en este punto nuestra masa se encuentra en reposo y nosotros jalamos esta masa desde esta posición de equilibrio hacia abajo una distancia de punto tres metros cuál será la velocidad de esta masa cuando vuelva a pasar por este punto de equilibrio pues lo que vamos a hacer es aplicar lo que acabamos de encontrar vamos a decir que un medio por la constante acá que es cincuenta newtons por metro multiplicada por la distancia pero vamos a considerar solamente la distancia que cambia la masa a partir de esta nueva posición de equilibrio así que aquí solamente ponemos 0.3 metros al cuadrado aquí no lo voy a preocupar de que el resorte ya haya sido estirado a esta nueva posición simplemente voy a poner esta distancia que se estira a partir de ese nuevo punto de equilibrio y esto va a ser igual a la energía cinética que tiene la masa en este nuevo punto de equilibrio y sabemos que esta masa es de 3 kilogramos por b al cuadrado y aquí no voy a incluir información sobre la energía potencial gravitacional ya que estoy midiendo mi desplazamiento a partir de la nueva posición de equilibrio así que aquí no me queda más que despejar me ve y si resolvemos esto algebraica mente va a quedar este un medio se cancela con este otro en medio dividimos ambos lados entre 3 y obtenemos la raíz cuadrada y nos quedará que la masa cuando pasa por este punto de equilibrio va a tener una velocidad de 1.2 metros por segundo en resumen aunque pareciera que los resortes verticales son mucho más difíciles que los resortes horizontales ya que tenemos fuerzas gravitacionales y energía potencial gravitacional medimos el desplazamiento a partir de la nueva posición de equilibrio en lugar de tomarla a partir de la longitud natural del resorte podremos usar la conservación de la energía sin tener que mencionar nada de la energía potencial gravitacional