If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Si estás detrás de un filtro de páginas web, por favor asegúrate de que los dominios *.kastatic.org y *.kasandbox.org estén desbloqueados.

Contenido principal
Tiempo actual: 0:00Duración total:12:31

El trabajo como el área bajo la curva

Transcripción del video

hay una hamburguesa frente a ti pero tú no la quieres quizá porque eres vegetariano oa lo mejor porque ya estás satisfecho y no quieres comer más o quizá no estás te a otra persona a quien le gustaría comérsela así que vas a empujar la hamburguesa hacia la derecha con una fuerza de 4 newtons y vas a empujarla a una distancia de 5 metros hacia la derecha y la pregunta va a ser cuánto trabajo realizamos al pasar esta hamburguesa a la persona que tenemos a nuestra derecha y como este es un problema sencillo podríamos poner las cantidades directamente en la fórmula de trabajo pero no vamos a hacer esto vamos a ver una forma alternativa de resolverlo porque lo que vamos a aprender de esta forma alternativa nos va a ayudar para cuando tengamos problemas más complejos de trabajo ahora consideren esto en lugar de poner las cantidades directamente en la fórmula vamos a considerar que realizamos un trabajo de 4 minutos durante toda esta distancia de 5 metros si fuéramos a graficar la fuerza en nuestra hamburguesa como función de su posición se vería algo así comenzamos en cero a 5 metros a la derecha y ejercemos una fuerza constante de 4 newtons esta es una línea horizontal esto quiere decir que fue una fuerza constante y lo hago de esta manera porque geométricamente va a ser significativo usamos la fórmula del trabajo el trabajo es la fuerza en la dirección del movimiento multiplicado por el desplazamiento o podrían decir que es el total de la fuerza multiplicado por el desplazamiento multiplicado por el consell o de teta y si no les gusta este coseno dt está solamente asegúrense de estar ocupando la fuerza exclusivamente en la dirección del movimiento sólo el componente de la fuerza que tiene la misma dirección que el movimiento en nuestro ejemplo de la hamburguesa la fuerza ya se encontraba en la dirección del movimiento por lo que esto no lo necesitamos en otras palabras el ángulo de aquí es cero y el coseno de cero es uno y uno por cualquier cosa va a seguir siendo esa misma cosa así que aquí sólo nos queda efe por d aquí la fuerza fue de 4 newtons la fuerza durante todo el desplazamiento de 5 metros y nos queda que es 20 jules el trabajo realizado en la hamburguesa fue de 20 jules positivos y si son astutos se dan cuenta de que a ver esos 4 newtons y estos 5 metros pues justamente es el área de este rectángulo ya que si se fijan esta línea horizontal en esta gráfica de fuerza me va a formar un rectángulo y esos 4 newtons son la altura de este rectángulo y los 5 metros son la base y si multiplicamos base por altura nos va a dar el área del rectángulo así que encontramos que cuando la fuerza es constante el trabajo va a ser igual al área bajo esta curva el área limitada por la gráfica y esa es otra forma de encontrar el trabajo además de usar la fórmula que ya tenemos aquí es el área que se forma justo a partir de esta línea de la fuerza hasta donde se encuentra nuestro eje x esto va a ser igual al trabajo realizado y ustedes me pueden decir vaya pues qué novedad esto lo pudimos encontrar directamente usando la fórmula porque me interesa saber que el trabajo es igual al área bajo la curva en un diagrama de fuerza les voy a mostrar por qué y pudimos haber usado la fórmula directamente pero no todos los casos van a ser así de simples qué pasaría si nuestra fuerza no fuera constante si tuviéramos una fuerza que estuviera variando cual fuerza podríamos usar si ese está cambiando bueno una forma de manejar este ese medio es usando cálculo pero si ustedes no saben cálculo afortunadamente hay otra forma de determinar el trabajo y es justamente esta idea el área en cualquier gráfica de fuerza contraposición va a ser igual al trabajo y no sólo cuando la fuerza es constante esto se cumple incluso cuando está variando la fuerza si podemos encontrar el área bajo esta curva es una forma rápida y sencilla de encontrar el trabajo realizado por esta fuerza por ejemplo en lugar de estar empujando con una fuerza constante de 4 minutos durante esta distancia de 5 metros digamos que comenzamos empujando con 4 newtons pero vamos a decrementar esta fuerza constantemente hasta que cuando llegamos a los 5 metros vamos a tener 0 newtons nos vamos cansando cada vez que seguimos empujando hasta que cuando llegamos a los 5 metros ya no podemos empujar más y quizás se pregunten cómo es que la hamburguesa llego a esos 5 metros si fuimos empujando cada vez con menos fuerza bueno quizás lo que pasó aquí es que nos tardamos más tiempo en empujarla como vamos a encontrar el trabajo realizado en la hamburguesa bueno continuó con la afirmación de que el área bajo esta curva va a ser mi trabajo pero quizás ustedes sean escépticos y me digan a ver lo único que me has demostrado es que en el ejemplo anterior el trabajo realizado para una fuerza constante era igual al área bajo la curva como puedo yo saber que en este caso cuando está variando la fuerza el trabajo sigue haciendo el área bajo esta curva bueno los físicos y matemáticos son bastante astutos lo que hicieron fue decir bueno yo lo único que sé es que para una fuerza constante el área bajo la curva va a hacer el trabajo así que en lugar de considerar este caso en el que mi fuerza está disminuyendo continuamente digamos que voy a estar empujando con muchas fuerzas constantes pero con un desplazamiento muy pequeño así que comienzo con cuatro newtons pero empujo sólo durante diez centímetros luego bajo mi fuerza a lo mejor tres puntos nueve newtons y empujo otros diez centímetros y sigo haciendo esto una y otra vez reduciendo cada vez más la fuerza pero manteniendo esa reducción constante y esto es útil porque trabajo en este caso va a ser igual al área de cada uno de estos rectángulos sumando los todos ya que cada uno tuvo una fuerza constante y el trabajo realizado es la suma de la área de todos estos rectángulos y esta es una idea muy astuta si hacemos estos rectángulos infinitesimalmente pequeños su suma nos va a dar exactamente el área bajo esta gráfica el área de este triángulo va a ser exactamente igual a la suma de las áreas de estos rectángulos infinitesimales y además es exactamente el mismo proceso que teníamos anteriormente imaginen que estamos empujando con cuatro newtons pero durante un milímetro aunque si es infinitesimal va a ser mucho más pequeño que esto pero para pensar en esto conceptualmente imaginemos que empujamos con cuatro newtons durante un milímetro y para el siguiente milímetro voy a empujar con 3.99 newtons y para el siguiente milímetro empujó con tres puntos 98 newtons y así sucesivamente esto es prácticamente está disminuyendo nuestra fuerza continuamente llegando a este proceso que describimos anteriormente pero ahora ya sabemos que el área en estos rectángulos va a ser igual al trabajo realizado pero es el mismo proceso y la misma área que calcular el área de este triángulo y quizás ustedes me digan a ver un momento esos bordes me están ocasionando errores estas esquinas de acá se están pasando o están afuera de mi línea y además aquí tenemos algunos huecos que están subestimando el área y tenemos estos errores en todos los rectángulos de verdad esto será igual al área y si va a ser si hacemos que la base de cada rectángulo sea infinitesimalmente pequeña entonces el error incurrido también se va a ser infinitesimalmente pequeño el error incurrido con esos elementos que se pasen de la curva o que quedan huecos debajo de la curva también se van a hacer infinitesimalmente pequeños y si el error se hace infinitesimalmente pequeño significa que el área en estos rectángulos infinitesimalmente pequeños va a ser exactamente igual que el área de el triángulo lo cual son buenas noticias para nosotros ya que significa que el área bajo cualquier gráfica de fuerza contraposición va a ser igual al trabajo realizado por esa fuerza y esta gráfica no tiene que ser un triángulo podemos usar rectángulos infinitesimales para representar cualquier área así que el área bajo cualquier gráfica de fuerza contraposición nos va a representar el trabajo y ahora tenemos una herramienta poderosa para determinar el trabajo en donde la fuerza no es constante esta fórmula de trabajo en donde el trabajo es igual a la fuerza por d por el coseno de teta solo nos va a servir si tenemos una fuerza constante si la fuerza está variando entonces no podemos usar esta fórmula pero ahora ya dijimos esto lo cual es genial ya que si yo puedo encontrar el área bajo esta curva entonces puedo encontrar el trabajo por ejemplo en este caso si yo estoy empujando mi hamburguesa inicialmente con 4 newtons y reduzca esa fuerza hasta 0 durante 5 metros cuál es el trabajo realizado bueno pues ahora se queda va a encontrar el área bajo esta gráfica de fuerza contra posición y como es un triángulo yo sea encontrar el área de un tren esta área es un medio por base por la altura que es igual a un medio mi base es de 5 metros y me altura es de 4 newtons lo que me dará 10 jugos positivos de trabajo es el trabajo realizado durante este proceso que comenzó con una fuerza que empezó a disminuir hasta llegar a cero y fue durante un desplazamiento de 5 metros y eso es lo poderoso de esta aproximación si resulta que nuestra gráfica de fuerza contraposición tiene una forma en la cual podemos encontrar el área fácilmente podemos calcular el trabajo sin problemas el área de un triángulo o un rectángulo o una combinación de triángulos y rectángulos podremos encontrar rápidamente el trabajo realizado sin tener que conocer nada de cálculo y para aclarar cualquier confusión no es necesario que ustedes dibujen rectángulos para calcular el área fue solamente para demostrarles que se cumple esta relación no tenemos que preocuparnos de esos rectángulos infinitesimales y los usamos para demostrarnos a nosotros mismos que incluso en los casos donde no tenemos una fuerza constante si la fuerza está variando aun así el área bajo la curva va a ser igual al trabajo y aquí hay otra cosa con la que debemos tener cuidado cuando decimos que el área bajo la curva es igual al trabajo nos referimos a la línea que en la gráfica representa a la fuerza hasta el eje x ustedes me pueden decir claro por supuesto que otra cosa podría ser bueno a veces no queda tan claro cuando tenemos casos como éste digamos que nuestra fuerza comenzó aquí abajo quizás comenzamos empujando nuestra hamburguesa hacia la izquierda y nos dimos cuenta que no había nadie ahí y decimos oops me equivoqué y comenzamos a empujarla hacia la derecha por lo que nuestra fuerza comenzó como negativa y después se volvió positiva y ahora si queremos encontrar el total del trabajo realizado durante todo este proceso como lo hacemos es que vamos a seguir usando esta idea del área bajo la curva algunas personas dicen bueno pues es el área bajo va así que en esta sección me interesa el área que esté aquí abajo pero esto es una locura no tenemos una cantidad infinita de trabajo aquí el área a la que nos referimos es esta área de aquí la que se forma entre la gráfica y el eje horizontal es una área finita en la parte de aquí arriba el área a la que me refiero es la que se forma con esta línea que me representa la fuerza y mi eje horizontal de la posición como cálculo estas áreas pues ambos son triángulos así que no es difícil un medio base por altura es un medio por la base esta base es de un metro por la altura que es de menos dos newtons es una altura negativa por lo tanto voy a tener un área negativa es esto correcto si en este caso si lo es ya que significa que realice trabajo negativo sobre esta hamburguesa así que tengo menos un joule durante ese primer metro en donde estuve empujando la hamburguesa hacia la izquierda ahora esta otra área de aquí también es un medio por la base por la altura en este caso la base no es de 3 metros sino solamente de 2 metros va del 1 de 32 metros multiplicados por la altura y en este caso la altura es de 4 newtons y para esta porción del recorrido realizamos 4 jules de trabajo positivo así que 4 jules positivos para esta porción y menos un joule en esta otra porción el trabajo total realizado en todo este desplazamiento es de 4 jules menos un joule va a ser igual a 3 jules positivo en resumen si nuestra fuerza es constante podemos usar directamente esta fórmula para encontrar el trabajo efe por de por coseno de teta pero también podemos encontrar el trabajo al encontrar el área bajo la curva de la gráfica de fuerza contra posición y esto es útil porque funciona aún cuando tenemos una fuerza que está variando lo que dejaría está fórmula pues casi casi inservible pero si la forma de la gráfica es una en la que podemos encontrar fácilmente el área podremos sin problema determinar el trabajo calculando el área bajo esta curva en una gráfica de fuerza contra posición