Transcripción para Proof of the quadratic formula
- 0:00en el vídeo pasado hablamos acerca de la
- 0:03fórmula general para solucionar las
- 0:05ecuaciones de segundo grado es decir las
- 0:07ecuaciones de la forma
- 0:09cuadrado v x + c igual a 0 y hablábamos
- 0:13que esta ecuación de segundo grado
- 0:14estaba en posición estándar porque
- 0:16estaba igualada a cero además habíamos
- 0:19dicho que la solución de estas
- 0:20ecuaciones de segundo grado tenían la
- 0:22siguiente expresión menos b más menos la
- 0:25raíz cuadrada de b cuadrada menos 4
- 0:29hacer y todo esto dividido entre 2
- 0:33y además en el vídeo pasado nosotros
- 0:35tomábamos valores para a b y c y
- 0:37sustituye a mohsén esta fórmula que
- 0:39tenemos aquí entonces encontrábamos dos
- 0:41resultados porque recuerda que tomábamos
- 0:43un primer resultado con la raíz cuadrada
- 0:45positiva y tomábamos un segundo
- 0:48resultado con la raíz cuadrada negativa
- 0:50pero no te has preguntado de dónde sale
- 0:52esta fórmula si tantas veces la vamos a
- 0:55utilizar porque aparece esta fórmula así
- 0:57de la nada será un dogma de fe y bueno
- 1:00lo que quiero ver en este vídeo es cómo
- 1:02se prueba o cómo demostramos qué
- 1:04fórmula en verdad es la fórmula general
- 1:07la solución general de las ecuaciones de
- 1:09segundo grado y para probarla lo que
- 1:11vamos a hacer es empezar con esta
- 1:12ecuación de segundo grado a x cuadrada
- 1:14más bx más e igual a cero y vamos a
- 1:17completar el cuadrado perfecto así que
- 1:19lo primero que voy a hacer es dividir
- 1:20todo entre a no va a quedar x cuadrada +
- 1:24b entre x más se entre a es igual a cero
- 1:28entre am pero cero entre cero y estoy
- 1:31dividiendo todo entre actual que el
- 1:32coeficiente del x cuadrada sea 1 y sea
- 1:34mucho más fácil factorizar bueno lo
- 1:37segundo que voy a hacer es pasar del
- 1:38otro lado el c / a o dicho de otra
- 1:41manera lo que voy a hacer es restar de
- 1:42ambos lados la ecuación se entregan
- 1:44entonces me queda x cuadrada más b / a x
- 1:47y aquí se entre a positivo y uno
- 1:50negativo se cancelarían aquí no me queda
- 1:52nada mientras que del otro lado de la
- 1:54ecuación me queda menos c entre a lo
- 1:57único que hice fue pasar el c entre a
- 1:58positivo del otro lado con signo
- 2:00contrario y bueno aquí viene el paso
- 2:02importante de todo esto voy a completar
- 2:05el binomio al cuadrado perfecto por lo
- 2:07tanto lo que tengo que hacer es tomarme
- 2:08la mitad
- 2:10y quién es la mitad debe entrar pues es
- 2:12lo mismo que un medio por 20 am que es
- 2:14ve entre 2 am y bueno a estévez entre 12
- 2:18lo voy a llevar al cuadrado aquí para
- 2:20que yo pueda completar el binomio al
- 2:22cuadrado perfecto y esto lo pueda
- 2:24factorizar pero si estoy haciendo algo
- 2:26del lado izquierdo de la ecuación
- 2:27también lo tengo que hacer del lado
- 2:28derecho de la ecuación no puedo
- 2:30solamente poner de entre 2 al cuadrado
- 2:33así de la nada por lo tanto también del
- 2:35lado derecho tengo que poner más b entre
- 2:382 a al cuadrado más b entre 2 ha elevado
- 2:41al cuadrado me estoy fijando en dos
- 2:43veces el nuevo por el segundo o dicho de
- 2:45otra manera estoy sacando la mitad
- 2:47dv entre a la mitad de vendré a es b
- 2:50entre 2 a over entre a entre 2 y bueno
- 2:53esto se puede factorizar como x + b
- 2:56entre 2 ha elevado al cuadrado y es que
- 2:59esto es muy importante este de aquí es
- 3:01un vídeo al cuadrado perfecto es más
- 3:03para que lo veas más fácil vamos a
- 3:05resolver este binomio al cuadrado
- 3:06perfecto para que veas que es lo que me
- 3:08va a quedar x + b entre 12 elevado al
- 3:11cuadrado
- 3:11es lo mismo que x + b entre 2 a por x +
- 3:14b entre 2 am y que me queda de
- 3:15multiplicar
- 3:162x x xx cuadrado x x b entre 2 pues es
- 3:21de entre 2 x aquí tengo pues lo mismo de
- 3:24entre 2 x y para finalizar tengo b entre
- 3:272 a x de entre 2 lo cual es de entre 2 a
- 3:30elevado al cuadrado y si te das cuenta
- 3:32esto es casi lo mismo que tenemos aquí
- 3:34porque estos dos de aquí se pueden
- 3:36simplificar y se simplifican en quien ve
- 3:38entre 2 a x + b entre 2 a x pues es dos
- 3:41veces de entre 2 a x pero el 2 con el 12
- 3:45van en quedaría simple y sencillamente b
- 3:47entre a por otra parte me quedaré que es
- 3:50cuadrada más b entre a x + b entre dos
- 3:52ha elevado al cuadrado y es justo lo que
- 3:55tengo aquí te das cuenta esto me sirve
- 3:57bastante porque entonces ya puedo
- 3:59factorizar esta expresión que tengo aquí
- 4:01como x + b entre 2 ha elevado al
- 4:03cuadrado este era un trinomio al
- 4:05cuadrado perfecto escondido y bueno del
- 4:08otro lado de la ecuación que me va a
- 4:09quedar me queda menos se entre a y
- 4:11después tengo más b entre 2 ha elevado
- 4:13al cuadrado de entre 2 a elevado al
- 4:16cuadrado va a ser positivo por lo tanto
- 4:18lo voy a poner primero y me queda pues b
- 4:20al cuadrado entre 2 a elevado
- 4:22lo cual es de cuadrada entre 4 a
- 4:25cuadrada entonces déjame ponerlo estos
- 4:28de cuadradas entre 4 a cuadrada y lo
- 4:32pongo al principio porque es positivo ya
- 4:34esto le voy a quitar menos se entre a
- 4:36pero voy a escribir al menos entre a de
- 4:39una forma bastante exitosa pero muy útil
- 4:41para que podamos reducir términos
- 4:44semejantes esto es lo mismo que si yo
- 4:46multiplico menos se entre a por 4 a
- 4:48entre 4 a me queda 4 hace entre 4 a
- 4:52cuadrado lo único que estoy haciendo es
- 4:54buscar un denominador común para la
- 4:56expresión menos se entre a la para la
- 4:58expresión de cuadrada entre 4 a cuadrada
- 5:01fíjate como es lo mismo 4 con el 4 se va
- 5:03nada con el cuadrado se van no quedaría
- 5:05simple y sencillamente menos entre a es
- 5:08este de aquí así que déjame unirnos con
- 5:10una flecha para que sepas de dónde salió
- 5:12este 4 de aquí y por otra parte de
- 5:15cuadrado entre 4 a cuadrada es este de
- 5:17aquí y bueno esto no está sirviendo
- 5:19bastante porque ya puedo operar estas
- 5:21dos fracciones que tengo aquí de
- 5:23cuadrada entre 4 a cuadrada menos 4 hace
- 5:25entre 4 a cuadrada a pues esto es
- 5:27exactamente lo mismo
- 5:28de cuadrada menos 4 hace entre 4 a
- 5:32cuadrada 4 a cuadrada y date cuenta como
- 5:36poco a poco ya se va apareciendo un poco
- 5:38a esto que tenemos aquí arriba al menos
- 5:40ya tenemos el be cuadrada menos 4 a 0 y
- 5:42es que ya casi terminamos esta
- 5:44demostración que estamos haciendo en la
- 5:46demostración de la fórmula general de
- 5:48segundo grado bueno a continuación lo
- 5:50que voy a pasar es el cuadrado del otro
- 5:52lado o sacando la raíz cuadrada a ambos
- 5:54lados de la ecuación
- 5:55entonces el cuadrado con la raíz
- 5:56cuadrada se van y del otro lado que me
- 5:58queda me queda la raíz cuadrada de todo
- 6:01esto que tengo aquí y además recuerda
- 6:03que cuando sacamos raíz cuadrada ponemos
- 6:05más menos más menos pero la raíz
- 6:08cuadrada recuerda que se puede dividir
- 6:10se puede dividir entre la raíz cuadrada
- 6:11de b cuadrada menos 4 hacen ya esto
- 6:15dividirlo entre la raíz cuadrada de
- 6:17cuatro a cuadrada pero la raíz cuadrada
- 6:19de 4 al cuadrado es simple esencialmente
- 6:222 a la raíz de 4 es 2 y la raíz de la
- 6:24cuadrada es a y ojo esto es muy
- 6:27importante puso más menos porque
- 6:29recuerda que cada vez que sacamos raíz
- 6:31cuadrada nosotros tenemos dos soluciones
- 6:34una solución
- 6:35positiva y una solución negativa siempre
- 6:38que saques raíz cuadrada vas a tener dos
- 6:40soluciones una positiva y una negativa y
- 6:43bueno esto ya está pareciendo cada vez
- 6:44más a lo que queremos lo único que nos
- 6:46hace falta es pasar el b entre dos a del
- 6:49otro lado de la ecuación y ya con esto
- 6:51vamos a obtener lo que queremos que por
- 6:53cierto si lo tenemos del lado izquierdo
- 6:55con signo positivo entonces nos va a
- 6:56quedar que del lado derecho le voy a
- 6:58poner signo negativo y me queda x es
- 7:02igual a menos b entre dos a + menos la
- 7:05raíz cuadrada de b cuadrada entre 4 ac
- 7:07entre 2
- 7:09y bueno aquí tenemos un denominador
- 7:11común y entonces si nosotros hacemos las
- 7:13operaciones de fracciones que me va a
- 7:14quedar que x es igual a menos b más
- 7:18menos la raíz cuadrada de b cuadrada
- 7:21menos 4 ac y el denominador común es 2
- 7:25am por lo tanto todo esto lo voy a
- 7:27dividir entre 2
- 7:28y qué creés acabamos de encontrar la
- 7:31fórmula cuadrática o la solución de
- 7:33estas ecuaciones de segundo grado empecé
- 7:35con esta ecuación en su forma estándar y
- 7:37después completa el binomio cuadrado
- 7:39perfecto hasta llegar a la
- 7:41la cuadrática espero que lo hayas
- 7:43encontrado bastante y retenido como yo
- 7:45lo encontré