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Transcripción para Proof of the quadratic formula

  • 0:00en el vídeo pasado hablamos acerca de la
  • 0:03fórmula general para solucionar las
  • 0:05ecuaciones de segundo grado es decir las
  • 0:07ecuaciones de la forma
  • 0:09cuadrado v x + c igual a 0 y hablábamos
  • 0:13que esta ecuación de segundo grado
  • 0:14estaba en posición estándar porque
  • 0:16estaba igualada a cero además habíamos
  • 0:19dicho que la solución de estas
  • 0:20ecuaciones de segundo grado tenían la
  • 0:22siguiente expresión menos b más menos la
  • 0:25raíz cuadrada de b cuadrada menos 4
  • 0:29hacer y todo esto dividido entre 2
  • 0:33y además en el vídeo pasado nosotros
  • 0:35tomábamos valores para a b y c y
  • 0:37sustituye a mohsén esta fórmula que
  • 0:39tenemos aquí entonces encontrábamos dos
  • 0:41resultados porque recuerda que tomábamos
  • 0:43un primer resultado con la raíz cuadrada
  • 0:45positiva y tomábamos un segundo
  • 0:48resultado con la raíz cuadrada negativa
  • 0:50pero no te has preguntado de dónde sale
  • 0:52esta fórmula si tantas veces la vamos a
  • 0:55utilizar porque aparece esta fórmula así
  • 0:57de la nada será un dogma de fe y bueno
  • 1:00lo que quiero ver en este vídeo es cómo
  • 1:02se prueba o cómo demostramos qué
  • 1:04fórmula en verdad es la fórmula general
  • 1:07la solución general de las ecuaciones de
  • 1:09segundo grado y para probarla lo que
  • 1:11vamos a hacer es empezar con esta
  • 1:12ecuación de segundo grado a x cuadrada
  • 1:14más bx más e igual a cero y vamos a
  • 1:17completar el cuadrado perfecto así que
  • 1:19lo primero que voy a hacer es dividir
  • 1:20todo entre a no va a quedar x cuadrada +
  • 1:24b entre x más se entre a es igual a cero
  • 1:28entre am pero cero entre cero y estoy
  • 1:31dividiendo todo entre actual que el
  • 1:32coeficiente del x cuadrada sea 1 y sea
  • 1:34mucho más fácil factorizar bueno lo
  • 1:37segundo que voy a hacer es pasar del
  • 1:38otro lado el c / a o dicho de otra
  • 1:41manera lo que voy a hacer es restar de
  • 1:42ambos lados la ecuación se entregan
  • 1:44entonces me queda x cuadrada más b / a x
  • 1:47y aquí se entre a positivo y uno
  • 1:50negativo se cancelarían aquí no me queda
  • 1:52nada mientras que del otro lado de la
  • 1:54ecuación me queda menos c entre a lo
  • 1:57único que hice fue pasar el c entre a
  • 1:58positivo del otro lado con signo
  • 2:00contrario y bueno aquí viene el paso
  • 2:02importante de todo esto voy a completar
  • 2:05el binomio al cuadrado perfecto por lo
  • 2:07tanto lo que tengo que hacer es tomarme
  • 2:08la mitad
  • 2:10y quién es la mitad debe entrar pues es
  • 2:12lo mismo que un medio por 20 am que es
  • 2:14ve entre 2 am y bueno a estévez entre 12
  • 2:18lo voy a llevar al cuadrado aquí para
  • 2:20que yo pueda completar el binomio al
  • 2:22cuadrado perfecto y esto lo pueda
  • 2:24factorizar pero si estoy haciendo algo
  • 2:26del lado izquierdo de la ecuación
  • 2:27también lo tengo que hacer del lado
  • 2:28derecho de la ecuación no puedo
  • 2:30solamente poner de entre 2 al cuadrado
  • 2:33así de la nada por lo tanto también del
  • 2:35lado derecho tengo que poner más b entre
  • 2:382 a al cuadrado más b entre 2 ha elevado
  • 2:41al cuadrado me estoy fijando en dos
  • 2:43veces el nuevo por el segundo o dicho de
  • 2:45otra manera estoy sacando la mitad
  • 2:47dv entre a la mitad de vendré a es b
  • 2:50entre 2 a over entre a entre 2 y bueno
  • 2:53esto se puede factorizar como x + b
  • 2:56entre 2 ha elevado al cuadrado y es que
  • 2:59esto es muy importante este de aquí es
  • 3:01un vídeo al cuadrado perfecto es más
  • 3:03para que lo veas más fácil vamos a
  • 3:05resolver este binomio al cuadrado
  • 3:06perfecto para que veas que es lo que me
  • 3:08va a quedar x + b entre 12 elevado al
  • 3:11cuadrado
  • 3:11es lo mismo que x + b entre 2 a por x +
  • 3:14b entre 2 am y que me queda de
  • 3:15multiplicar
  • 3:162x x xx cuadrado x x b entre 2 pues es
  • 3:21de entre 2 x aquí tengo pues lo mismo de
  • 3:24entre 2 x y para finalizar tengo b entre
  • 3:272 a x de entre 2 lo cual es de entre 2 a
  • 3:30elevado al cuadrado y si te das cuenta
  • 3:32esto es casi lo mismo que tenemos aquí
  • 3:34porque estos dos de aquí se pueden
  • 3:36simplificar y se simplifican en quien ve
  • 3:38entre 2 a x + b entre 2 a x pues es dos
  • 3:41veces de entre 2 a x pero el 2 con el 12
  • 3:45van en quedaría simple y sencillamente b
  • 3:47entre a por otra parte me quedaré que es
  • 3:50cuadrada más b entre a x + b entre dos
  • 3:52ha elevado al cuadrado y es justo lo que
  • 3:55tengo aquí te das cuenta esto me sirve
  • 3:57bastante porque entonces ya puedo
  • 3:59factorizar esta expresión que tengo aquí
  • 4:01como x + b entre 2 ha elevado al
  • 4:03cuadrado este era un trinomio al
  • 4:05cuadrado perfecto escondido y bueno del
  • 4:08otro lado de la ecuación que me va a
  • 4:09quedar me queda menos se entre a y
  • 4:11después tengo más b entre 2 ha elevado
  • 4:13al cuadrado de entre 2 a elevado al
  • 4:16cuadrado va a ser positivo por lo tanto
  • 4:18lo voy a poner primero y me queda pues b
  • 4:20al cuadrado entre 2 a elevado
  • 4:22lo cual es de cuadrada entre 4 a
  • 4:25cuadrada entonces déjame ponerlo estos
  • 4:28de cuadradas entre 4 a cuadrada y lo
  • 4:32pongo al principio porque es positivo ya
  • 4:34esto le voy a quitar menos se entre a
  • 4:36pero voy a escribir al menos entre a de
  • 4:39una forma bastante exitosa pero muy útil
  • 4:41para que podamos reducir términos
  • 4:44semejantes esto es lo mismo que si yo
  • 4:46multiplico menos se entre a por 4 a
  • 4:48entre 4 a me queda 4 hace entre 4 a
  • 4:52cuadrado lo único que estoy haciendo es
  • 4:54buscar un denominador común para la
  • 4:56expresión menos se entre a la para la
  • 4:58expresión de cuadrada entre 4 a cuadrada
  • 5:01fíjate como es lo mismo 4 con el 4 se va
  • 5:03nada con el cuadrado se van no quedaría
  • 5:05simple y sencillamente menos entre a es
  • 5:08este de aquí así que déjame unirnos con
  • 5:10una flecha para que sepas de dónde salió
  • 5:12este 4 de aquí y por otra parte de
  • 5:15cuadrado entre 4 a cuadrada es este de
  • 5:17aquí y bueno esto no está sirviendo
  • 5:19bastante porque ya puedo operar estas
  • 5:21dos fracciones que tengo aquí de
  • 5:23cuadrada entre 4 a cuadrada menos 4 hace
  • 5:25entre 4 a cuadrada a pues esto es
  • 5:27exactamente lo mismo
  • 5:28de cuadrada menos 4 hace entre 4 a
  • 5:32cuadrada 4 a cuadrada y date cuenta como
  • 5:36poco a poco ya se va apareciendo un poco
  • 5:38a esto que tenemos aquí arriba al menos
  • 5:40ya tenemos el be cuadrada menos 4 a 0 y
  • 5:42es que ya casi terminamos esta
  • 5:44demostración que estamos haciendo en la
  • 5:46demostración de la fórmula general de
  • 5:48segundo grado bueno a continuación lo
  • 5:50que voy a pasar es el cuadrado del otro
  • 5:52lado o sacando la raíz cuadrada a ambos
  • 5:54lados de la ecuación
  • 5:55entonces el cuadrado con la raíz
  • 5:56cuadrada se van y del otro lado que me
  • 5:58queda me queda la raíz cuadrada de todo
  • 6:01esto que tengo aquí y además recuerda
  • 6:03que cuando sacamos raíz cuadrada ponemos
  • 6:05más menos más menos pero la raíz
  • 6:08cuadrada recuerda que se puede dividir
  • 6:10se puede dividir entre la raíz cuadrada
  • 6:11de b cuadrada menos 4 hacen ya esto
  • 6:15dividirlo entre la raíz cuadrada de
  • 6:17cuatro a cuadrada pero la raíz cuadrada
  • 6:19de 4 al cuadrado es simple esencialmente
  • 6:222 a la raíz de 4 es 2 y la raíz de la
  • 6:24cuadrada es a y ojo esto es muy
  • 6:27importante puso más menos porque
  • 6:29recuerda que cada vez que sacamos raíz
  • 6:31cuadrada nosotros tenemos dos soluciones
  • 6:34una solución
  • 6:35positiva y una solución negativa siempre
  • 6:38que saques raíz cuadrada vas a tener dos
  • 6:40soluciones una positiva y una negativa y
  • 6:43bueno esto ya está pareciendo cada vez
  • 6:44más a lo que queremos lo único que nos
  • 6:46hace falta es pasar el b entre dos a del
  • 6:49otro lado de la ecuación y ya con esto
  • 6:51vamos a obtener lo que queremos que por
  • 6:53cierto si lo tenemos del lado izquierdo
  • 6:55con signo positivo entonces nos va a
  • 6:56quedar que del lado derecho le voy a
  • 6:58poner signo negativo y me queda x es
  • 7:02igual a menos b entre dos a + menos la
  • 7:05raíz cuadrada de b cuadrada entre 4 ac
  • 7:07entre 2
  • 7:09y bueno aquí tenemos un denominador
  • 7:11común y entonces si nosotros hacemos las
  • 7:13operaciones de fracciones que me va a
  • 7:14quedar que x es igual a menos b más
  • 7:18menos la raíz cuadrada de b cuadrada
  • 7:21menos 4 ac y el denominador común es 2
  • 7:25am por lo tanto todo esto lo voy a
  • 7:27dividir entre 2
  • 7:28y qué creés acabamos de encontrar la
  • 7:31fórmula cuadrática o la solución de
  • 7:33estas ecuaciones de segundo grado empecé
  • 7:35con esta ecuación en su forma estándar y
  • 7:37después completa el binomio cuadrado
  • 7:39perfecto hasta llegar a la
  • 7:41la cuadrática espero que lo hayas
  • 7:43encontrado bastante y retenido como yo
  • 7:45lo encontré