Salta al contenido principal

Si estás viendo este mensaje, significa que estamos teniendo problemas para cargar materiales externos en nuestro sitio.

Si estás detrás de un filtro de páginas web, por favor asegúrate de que los dominios *.kastatic.org y *.kasandbox.org estén desbloqueados.

Transcripción para Proof of power rule for square root function

  • 0:00me han pedido que haga la prueba de la
  • 0:02derivada de la raíz cuadrada de x he
  • 0:05pensado en hacer un vídeo de cómo se
  • 0:07halla dicha fórmula de la derivada de la
  • 0:10raíz cuadrada de x conocemos la
  • 0:12definición de una derivada es decir la
  • 0:15derivada de la función raíz cuadrada de
  • 0:19x es igual a y bueno vamos a cambiar los
  • 0:24colores para hacer esto más variado es
  • 0:26igual al límite mientras belta x se
  • 0:30aproxima a cero algunas personas les
  • 0:33gusta utilizar más h tiende a cero en
  • 0:37fin esto esto es irrelevante y yo
  • 0:40prefiero usar más delta x
  • 0:43entonces es la raíz cuadrada de x +
  • 0:46delta x menos menos la raíz cuadrada de
  • 0:52x entre delta x todo lo anterior entre
  • 0:57delta x
  • 0:59ahora mismo cuando miro esto no veo
  • 1:02demasiada posibilidad de resolverlo así
  • 1:05que lo que vamos a hacer es multiplicar
  • 1:07esta fracción por el conjugado de el
  • 1:10numerador es decir vamos a multiplicar
  • 1:13todo esto bueno déjenme escribirlo el
  • 1:17límite cuando delta x tiende a cero solo
  • 1:21estoy copiando lo que teníamos arriba de
  • 1:24la raíz cuadrada de x más delta x menos
  • 1:27la raíz de x entre delta x y voy a
  • 1:32multiplicar déjenme utilizar otro color
  • 1:34por la raíz cuadrada de x + delta x más
  • 1:39la raíz cuadrada de x entre la raíz
  • 1:44cuadrada de x más delta x más la raíz
  • 1:48cuadrada de x esto es un número 1 así
  • 1:51que por supuesto puede multiplicar lo
  • 1:53estamos pensando que x y delta x son
  • 1:56distintos de 0 entonces este es un
  • 1:58número bien definido de hecho es 1 y
  • 2:01recordemos que multiplicar por 1 es como
  • 2:03haber hecho nada realmente
  • 2:05así que escribimos límite cuando delta x
  • 2:08tiende a cero y esta parte es de la
  • 2:11forma menos b por b
  • 2:14déjenme escribirlo por acá abajo además
  • 2:17ve por a menos b es igual a a cuadrada
  • 2:21menos b cuadrada una diferencia de
  • 2:24cuadrados así que vamos a utilizar esto
  • 2:27en la expresión de acá arriba esto será
  • 2:31igual al cuadrado de esta primera
  • 2:32expresión que va a tomar el papel de la
  • 2:35a esto simplemente es el cuadrado de la
  • 2:38raíz cuadrada de x + delta x que es x +
  • 2:41delta x menos el cuadrado de esta
  • 2:44segunda expresión que simplemente
  • 2:46siguiendo la analogía va a ser el
  • 2:48cuadrado de la raíz cuadrada de x que es
  • 2:51x y todo esto sobre delta x por la raíz
  • 2:58de x + delta x
  • 3:00la raíz d
  • 3:06ahora vamos a ver como simplificando
  • 3:08tenemos una equis y un equis así que
  • 3:10esto se cancela y quedamos sólo con el
  • 3:14numerador y el denominador tenemos delta
  • 3:16equis acá y delta equis acá abajo así
  • 3:19que dividimos entre este número y nos
  • 3:22queda 1 de este lado y 1 de este otro
  • 3:24lado así que esto nos queda el límite
  • 3:27cuando delta x tiende a 0 espero tenga
  • 3:32espacio para ponerlo de 1 sobre y bueno
  • 3:36esto solo lo podemos hacer si pensamos
  • 3:38que delta x es distinto de 0 sólo se
  • 3:41aproxima a 0 pero es distinto entonces
  • 3:44decíamos la raíz de x + delta x más la
  • 3:51raíz de x ahora podemos tomar
  • 3:54directamente el límite cuando delta x
  • 3:56tiende a cero esto simplemente es
  • 3:58sustituir así que esto es igual a 1
  • 4:01sobre la raíz cuadrada de x más delta x
  • 4:06que se aproxima a cero y eso simplemente
  • 4:09sustituir
  • 4:11la raíz cuadrada de x
  • 4:15y esto es igual a 1 sobre 2 veces
  • 4:18la raíz cuadrada de equis y eso también
  • 4:21es igual a un medio de x a la menos un
  • 4:25medio
  • 4:26acabamos de probar que la derivada de x
  • 4:27a la potencia un medio es un medio de x
  • 4:31elevado a la menos un medio y esto es
  • 4:34consistente con nuestra fórmula general
  • 4:36de la derivada de x elevada a una
  • 4:40potencia digamos la derivada de a alá no
  • 4:44disculpen no está sino la derivada de x
  • 4:47a la n va a ser n x a la n 1
  • 4:52incluso cuando n es un medio que es el
  • 4:55de este caso espero que haya sido
  • 4:57satisfactorio no lo probé para todas las
  • 4:59fracciones pero es un buen inicio es una
  • 5:01muy común y espero no haya sido difícil
  • 5:04de probar
  • 5:04nos vemos en próximos vídeos