Introducción a las elipses

en el último vídeo aprendimos un poco acerca de los círculos y el círculo es realmente un caso especial de una elipse y decimos que es un caso especial pues siempre tiene una distancia igual del centro a cualquier punto de la circunferencia mientras que en elipse en la distancia del centro a dicho círculo circunferencia siempre cambia y bueno en un vídeo anterior también vimos cómo luce una elipse pero bueno vamos a hacerlo algo así por aquí lo que quiero decir con esto es que el radio a partir del centro voy a dibujar aquí un centro que el radio a partir del centro como ves por aquí sería el centro a este punto sería como la distancia más corta del origen hacia este punto y luego bien si nos fijamos también sería por esta parte y ahora esta distancia de acá sería la más lejana del origen a la circunferencia o lo que tenemos en el borde entonces el círculo es un caso especial de esto pues en este caso el más lejano que obtengamos a partir del origen es el mismo que el más cercano desde entonces siempre tendremos la misma distancia para cualquier punto a partir del origen ahora bien dicho todo esto vamos a introducirnos un poco más en lo matemático y la forma general o estandarizada de una elipse centrada en el origen sería la siguiente llegada sobre b cuadrada igual a 1 donde a y b son simplemente dos números cualquiera pues también pude haber escrito be cuadrada o sé cuadrada pues simplemente sería una notación para ponerlos pero para dar una idea de lo que esto significa es haciéndonos una pregunta acerca de nuestra elipse a estará representando la longitud del radio en dirección de la equis recuerda que tenemos al cuadrado aquí entonces si tomas la raíz cuadrada de cualquiera que sea el denominador es el radio para las equis entonces esta distancia es nuestro pequeño carácter que tenemos en nuestra gráfica entonces la distancia de a es el punto que tenemos de aquí al origen entonces este punto sería como a cero y por acá tendríamos menos pruebe entonces el radio para la dirección en que será este radio de aquí y quién sería ve por lo que este punto también representaría para las equis igual a cero y para allí ve y por acá abajo igualmente tendríamos cero coma menos b en cómo dibujamos aquí nuestra elipse es un tanto más aplastada y no tan alta en cuanto al eje de la siesta y todo esto varía dependiendo lo que tengamos en nuestro denominador pero bueno la puedes obtener así o también podría ser más corta y larga aunque la que tenemos aquí sería llamada para esta parte el eje menor y entonces ven no recuerdo exactamente la terminología pero lo podemos llamar la longitud del semieje del semieje menor y cómo es que decimos esto bueno pues si este es el eje menor luego entonces le llamamos semieje menor el semi viene representando la mitad d de diámetro y el mg menor porque en este caso este es nuestro eje menor pero así fue en nuestro ejemplo porque me fue más pequeño que a y si ve es más largo que entonces tendríamos una elipse muy alta y delgada de hecho mejor la voy a dibujar para que visualices cómo se vería para cuando ésta digo b es mayor entonces se vería algo así dado que en este caso sería el semieje mayor y ya es más pequeño por lo que resulta ser más alta que amplia pero ya que la visualizas te la vamos a quitar para no confundirnos con nuestro otro ejemplo en este caso a ser a la longitud de iu y creo que ya lo adivina este a sería la longitud de el semieje mayor a representaría en nuestro ejemplo el semieje mayor o incluso podrías no nombrarlo como la longitud del radio mayor que creo que hace más sentido y también al otro lo puede llamar longitud del radio menor le pondríamos longitud del radio menor ya que tenemos todo esto y que hemos visualizado las distintas formas de la elipse pasemos a un ejemplo un tanto numérico que aunque antes ya habíamos tenido ejemplos numéricos en este hay que hacer algo más claro enfocado hacia la elipse no entonces tenemos la siguiente ecuación de la elipse que en este caso sería estandarizada sentada al origen de cuadrada sobre 25 igual a 1 así que cuál sería el radio en dirección de las x entonces de aquí sería el radio en dirección de las x este 9 pero está elevado al cuadrado entonces si tu radio en dirección de las x es cuadrada igual a 9 entonces esa sería igual a 3 y en el caso de be cuadrada sería b igual a 5 así que si queremos graficar esto una vez más con el centro en el origen pero bueno primero que todo tenemos que nuestro radio en dirección del aire es más grande o largo que a por lo que nuestra elipse será alta y va a lucir algo así dibujando los ejes también para ubicarnos esto sería el eje x y este de acá se aleja ya y entonces estas distancias sería en el radio en dirección ayer sería la distancia de aquí que es igual a 5 esta distancia de aquí sería igual a 5 para en cuanto a leyes y en cuanto a las x en dirección de las x sería esta distancia que es igual a 3 y ya ha dicho esto y teniendo la elipse plasmada visualicemos porque se dice que la circunferencia o el círculo es un caso especial o particular de la elipse y viene el último vídeo vimos que la ecuación para un círculo que está centrado en su origen es x cuadrada y el cuadrada igual a re cuadrada así que si dividimos ambas partes / r cuadrada esto sería igual y bueno simplemente haremos un poco de manipulación algebraica y tenemos que es x cuadrada sobre el re cuadrada más re cuadradas sobre ere cuadrada igual a 1 y ahora en este caso to es igual a r y también tuve es igual a r entonces tú tienes el mismo la misma distancia en cuanto al semieje menor y el semieje mayor o en pocas palabras no hay como más largos y más cortos sino es un círculo perfecto y es por eso que el círculo es un caso particular de dicha elipse pero bueno hagamos un ligero avance y ahí compliquemos un tanto las cosas como quizás podría venir tiene un examen con un pequeño cambio entonces digamos que queremos cambiar esta elipse a esta ecuación y digamos que queremos cambiarla a la derecha por 5 o sea que queremos recorrer las 5 unidades en lugar de que comience en el origen va a estar recorrido hacia x igual a 5 y pensando en esto sería que como cuáles serían los términos que hay que cambiar o modificar para que pase dicho punto y bueno este término de aquí es para cuando estamos en el origen es cero cuando x vale cero entonces ahora estamos recorridos cinco unidades entonces no va a ser x así sin nada entonces vamos a reescribir lo acá abajo y después lo dibujamos para no confundirnos sería x menos 5 sobre 9 dado que así aquí x es igual a 5 esto se vuelve 0 entonces es equivalente a lo que teníamos arriba lo que tenemos por acá para cuando x vale a 0 y bueno nuestra elipse se ve algo así y eso es algo que aprendimos cuando teníamos la ecuación del círculo entonces al haberle restado a x algo significa que nuestro nuevo origen estará en algo o sea estar en este caso en más 5 y podrás memorizar esto que cuando tengas x menos un número este número es positivo en cuanto al origen y lo contrario para el otro caso pero la forma correcta de pensar esto es que si vamos para x igual a 5 este término de aquí este término de x menos 5 se comporta más o menos igual para cuando estábamos sentados en el origen pues cuando x vale 5 este término se hace 0 aquí x igual a 0 el término se hacía cero que es para marcar el origen y luego si ahora nos fijamos lo que tenemos de ye cuadrada sobre 25 igual a 1 para darle los valores a ayer vamos a ver que toma valores de más 5 y menos 5 para ese lado del diámetro para calcular los radios aunque lo realmente importante aquí es que lo hagas con mucha intuición y luego digamos que queremos volver a cambiar la ecuación pero ahora recorriendo la elipse dos unidades hacia abajo entonces queremos bajarla dos unidades y bueno todo esto lo que hemos estado aprendiendo en las secciones de cónicas es verdad es realmente importante para cualquier función entonces para cambiarla de esta forma y mover la gráfica hacia la derecha cinco unidades lo reemplaza en el eje de la x y xi ahora lo queremos recorrer hacia abajo dos unidades hay que modificar para layer entonces hay que reemplazar para la yes de la siguiente forma como estamos haciéndolo menos dos unidades hacia abajo entonces a la hora de modificar la ecuación sería con el término positivo como lo habíamos comentado anteriormente y nuestra elipse se va a ver algo así por lo que ahora sí sí nos vamos a nuestra ecuación por acá abajo para x ya habíamos visto que era x menos 5 por las 5 unidades hacia la derecha al cuadrado sobre 9 más ahora tendríamos aquí y más 2 al cuadrado sobre 25 igual a 1 siempre es como con el signo contrario y una vez más la razón de lo que esto pasa aquí es porque cuando es igual a menos 2 este término se hace cero entonces estamos hablando del mismo punto en la curva bueno más bien no del mismo punto en la curva estamos hablando del mismo caso para cuando nuestro término se convierte o se hace cero por lo que no estamos hablando exactamente del mismo punto pues está viendo la elipse de forma diferente pero hablamos como de lo mismo en cuanto a lo que se convierte el término puesto que lo voy a mencionar una vez más para cuando llegue es igual a menos 2 el término se hace cero y para el caso de con está centrada en el origen sí que vale cero ese término completo se hace cero a lo que me refiero es como si tuviéramos un punto máximo una especie de punto que está siendo evidente en cómo está marcando nuestra ecuación pero bueno yo no quiero hacerlo más confuso y ahora jugando con todo lo que ya sabemos hay que ver cómo sería la gráfica de la siguiente ecuación entonces tenemos ya menos 1 al cuadrado sobre 4 más x más 2 al cuadrado sobre el 9 igual a 1 y la primera cosa que podríamos decir aquí es ok bueno pues buscando la forma estándar que ya conocemos de las elipses cuadradas sobre 4 más x cuadradas sobre 9 igual a 1 es algo como esto pero está solamente como recorrido un poco puesto que lo de aquí abajo tiene un origen en 0,0 mientras que la parte de acá arriba tendría un origen en menos dos más uno y ahora sí gráfica nos esto el radio en la dirección de la aie es 2 pues 2 al cuadrado nos va a dar 4 recordemos que los términos estarían como llevados al cuadrado y luego tendríamos que sería 3 pues al cuadrado es 9 así que con esto para la dirección de las equis es más larga que para las llaves entonces será una elipse un tanto gorda pero primero dibujemos los ejes entonces aquí tenemos nuestro eje vertical nuestro eje de las íes y luego por acá vamos a tener nuestro eje de las equis es nuestro eje de las equis y buscamos el punto menos 2,1 que es el origen de la elipse para que tenemos menos uno menos dos y una unidad hacia arriba por aquí tenemos el origen y ahora este es nuestro centro de la elipse y teniendo nuestro radio para la dirección de las equis sería nuestro radio es tres entonces tres unidades a la derecha y tres unidades a la izquierda y en otra dirección para cuando llegue nuestro radio estos así que subimos dos unidades y también bajamos dos unidades así que trataré de hacer mi mejor captura para nuestra elipse y sería algo de esta forma es un poco más gordita que alargada y esto es porque nuestro radio de las x es más largo que el rey de leyes y luego estas distancias de por aquí es 3 y de por acá también es 3 por acá tenemos 2 y hacia abajo también 2 y este es el punto ahora en el que puedes fijarte lo que cada parte hace y no lo voy a estar enfocando todo porque ya tardamos bastante tiempo pero sería un buen trabajo que tú te fijarás lo que es cada punto por acá vamos a tener el punto 1 1 1 por acá tendríamos el punto al tenerle que quitar dos unidades menos 5,1 y puedes visualizar también nosotros para tu ejercitar y en futuros vídeos probablemente sea más fácil simplificar esta forma pues tú ya sabes que es una elipse