Teorema del valor medio (antiguo)

me han llegado muchas peticiones para explicar o enseñar lo que es el teorema del valor medio así que hagámoslo en este vídeo así que este será el teorema teorema del valor y medio y tengo muchos pensamientos encontrados respecto a este teorema porque parece muy fácil pero te te darás cuenta de que no es obvio probarlo pero la idea es bastante sencilla y la razón por la que tengo pensamientos encontrados es porque espero que lo veas pero la intuición la intuición de este teorema es muy obvia pero se apegan tanto a los libros de cálculo que realmente no no te dicen para qué o cómo se intuye esto y solo y esto solo confunde a la gente así que con un poco de suerte este vídeo aclarará todas esas ideas y estoy ansioso de ver que pienses que es realmente fácil así que qué dice este teorema déjenme hacer unos dibujos hagamos una explicación visual primero ok creo que voy a utilizar el magenta para esto así que si este es el eje x y digamos que este es el eje y ok y digamos que tengo una función fx déjeme pintarla déjenme dibujar fx no sé de algunas formas cualquiera que yo pinté es buena y digamos si ésta es mi fx voy a ponerle ciertas condiciones por ejemplo primero tiene que ser continua y también tiene que ser derivable o diferenciable también se le puede decir y sé que muchos de ustedes probablemente se asusten desde cuando escuchen estas palabras suena como lo que diría un matemático y eso suena bastante abstracto continuo significa que está curva está conectada que que realmente la podemos recorrer de un trazo y aquí las condiciones tenemos que hacerlas por supuesto sobre un intervalo cerrado que este es otro término matemático que suele por ejemplo decimos que un intervalo cerrado es digamos digamos esto todo esto es un intervalo digamos aquí está no sabemos cuáles puede ser menos 5 quién sabe no y este digamos por aquí es b vamos a ponerle justo aquí digamos que se vea entonces cuando hablamos de un intervalo cerrado de que una función está definida en un intervalo cerrado significa que la función debe estar definida en cada punto entre a y b y que además la función debe estar definida tanto en a como en vez si se refiere un intervalo abierto a b significa que debe estar definida en todos los puntos entre a y b pero no necesariamente en a y b así que vamos a pedirle que sea definida en en un intervalo cerrado a coma b y sus notaciones está con corchetes es decir repito esto es que tiene que estar definida en todos los x desde a ave incluyendo a y b y si hubiese escrito un intervalo abierto lo escribiríamos de esta forma que significa todos los números entre a y b pero sin incluir los extremos así que por ahora ignoraremos esto volviendo al teorema del valor medio ya sabes es pero lo que significa continuo dibujaré lo que vamos a pensar a lo mejor en una función discontinua no por ejemplo ésta este es un ejemplo de una función digamos y déjenme poner los ejes en otro color es en esa línea estuvo muy mal digamos este es nuestro eje y y este es nuestro eje x entonces en esta función es continua hasta este punto pero de repente hay este salto esta desconexión digamos eso hace que la función sea discontinua o que no sea continua así que la función en este caso tiene que ser continua y derivable que significa diferenciable también se le dice significa que la podemos calcular su derivada en cualquier punto ok entonces la función es diferenciable y qué más significa bien significa que si representas esta gráfica de esta función también la puedo hacer de forma continua y en efecto en este vídeo les enseñaré que una función que bueno les daré un ejemplo de una función que es continua pero no es derivable y por ello no podemos aplicar el teorema del valor medio de todas formas la mayoría de las funciones con las que trabajamos cumplen con las tres condiciones a menos de que esté resolviendo límites que hace que esto se venga abajo en algunas de esas hipótesis en fin vamos a suponer que esta función cumple todo esto y lo que nos dice es que si tomamos la pendiente media entre el punto b pero bueno a ver primero qué es la pendiente la pendiente media entre el punto a y b en realidad es la distancia en vertical que recorre la función entre todo lo que avanzamos en el eje x verdad digamos y este es la distancia horizontal para pensar que esta es la distancia y esta es la distancia vertical y este el punto de acá arriba digamos es el coma efe por otro lado este punto de aquí será el b efe db muy bien así que cuál es la pendiente media entre a y b pues simplemente será la distancia recorrida en vertical entre la distancia recorrida en horizontal verdad entonces cuanto hemos subido cuánto cuánta distancia recorrimos entre fvf de a pues simplemente es la altura verdad la altura que hemos recorrido y entonces tenemos efe dv cfda que es la altura recorrida lo recorrido en la posición vertical entre ve - a que es lo recorrido en la dirección horizontal verdad entonces digamos si trazamos una línea que pase por estos dos puntos déjenme hacerlo en azul déjenme hacerlo en azul tenemos esta línea así que la pendiente entre estos dos puntos es la pendiente media y que es lo que nos dice el teorema del valor medio dice que si fx está definida en un intervalo cerrado vea a ve que si es continua y que además es diferenciable entonces podemos encontrar un punto c donde la derivada es decir f prima de c lo escribo sé dónde efe prima de ce es igual a esta cosa de la pendiente media entonces no debería haberlo escrito aquí pero bueno que nos está diciendo lo que nos está diciendo es que si encontramos una función continua diferenciable definida en un intervalo cerrado existe un c tal que bueno además se tiene que estar entre a y b en entre los dos puntos pero punto es que existe es ese donde la pendiente o la derivada es idéntica a la pendiente de esta línea que conecta a los dos puntos iniciales perdón al punto inicial y al punto final verdad entonces digamos vamos a encontrar un punto donde se le parezca está pendiente que ya hemos calculado por supuesto vamos a verlo de forma geométrica verdad digamos quizás en este punto aquí donde lo he dibujado poco exacto entonces digamos que la pendiente es más o menos así justo así y aunque no sabemos cómo es esta función analíticamente visualmente podemos ver que en este punto ce digamos la derivada en este punto c aunque digamos este s la derivada ahí pues se parece a la que la pendiente media entonces digamos que en realidad estás rectas son paralelas así que f prima de se va a ser igual a la pendiente media sobre el total verdad y esta curva probablemente tenga otro punto donde la pendiente sea igual a la pendiente media digamos puede parecerme por ejemplo este punto de aquí que he dibujado no a lo mejor puede parecerse digamos y verlo de esta forma recuerden que las líneas en realidad deberían ser paralelas ok y espero que todo esto tenga sentido para ti otra forma de pensar es digamos déjenme dibujar una nueva gráfica para asegurarme que que estamos acertando en la idea entonces vamos a dibujar mi posición como una función del tiempo que esto es algo bastante útil en el mundo real así que digamos y estos son mis ejes x i ok entonces esto nos regresa a la idea original de lo que es una derivada de verdad digamos si esto está en tiempo y arriba es la posición no importa digamos entonces si me estuviese moviendo a una velocidad constante mi posición como función del tiempo sería una línea recta verdad de hecho la velocidad en realidad es la pendiente pero supongamos que tengo una variación en la velocidad y en realidad por ejemplo si estás conduciendo un auto pues lo vas haciendo no vas cambiando de velocidad así que digamos que al tiempo cero empiezo en cero después aceleró digamos que desacelera un poco digamos sigo desacelerando desacelerando y después llega una parada así que aquí me quedo luego aceleró otra vez desaceleró acelero etcétera ok así que esto podría ser digamos tengo una variable velocidad y esto podría ser mi posición en función del tiempo así que todo esto es tiene digamos este es el tiempo cero y la posición cero entonces digamos esto aquí es después de una hora y digamos que he recorrido 60 millas digamos aquí 60 millas ok y qué podemos decir podemos decir que mi velocidad media a velocidad media es la distancia dividida entre el tiempo recorrido que en este caso son 60 millas por hora ok así que lo que dice el teorema del valor medio es que la velocidad media así que puedes verla como la pendiente media entre este punto y este otro punto si tu velocidad media es 60 millas por hora habría cierto punto en el tiempo quizás haya más donde estaba yendo a exactamente 60 millas por hora ahora todo tiene sentido verdad si tu media son 60 millas va a haber algún otro punto en donde justo tendrías una velocidad instantánea de 60 millas así que déjame ver si para dibujarlo gráficamente digamos si este es la pendiente de la velocidad media digamos aquí digamos que también iba a 60 millas por hora en este punto de hecho hasta tengo otro no por ejemplo éste ok ahora antes de irme vamos a hacer esto analíticamente digamos para hacerlo con números vamos a la razón por la que no me gusta y si me gusta el teorema del valor medio es que después es útil si te vuelves un experto matemático y seguramente lo usarás para demostrar teoremas o incluso demostrar hasta el mismo problema pero si en cursos normales de cálculo que no son tan avanzados no lo vas a utilizar mucho así que bueno bueno es interesante en ese aspecto aprendes algo del mundo pero bueno supongamos que tenemos la función f x igual a x cuadrada menos 4x así está bien y digamos que está definido en un intervalo cerrado de 2 a 4 muy bien y entonces el teorema del valor medio dice que si esta función está definida en este intervalo podemos poner cualquier número digamos el dominio son en realidad de intervalos cerrados en este caso verdad pero bueno por lo como se define en este intervalo en realidad esta función es continua derivable existe todas las derivadas en fin el teorema del valor medio se aplica aquí vamos a ver para qué valor de c es igual a la pendiente media entre 2 y 4 entonces cuál es la pendiente media entre 2 y 4 bueno pues va a ser efe de 4 efe de 4 - efe de 2 evaluado entre oops evaluado en 2 y dividido entre 4 -2 muy bien entonces efe de 4 es 16 - 4 por 4 0 y luego efe de 12 2 al cuadrado 4 - 2 x 4 es 8 entonces es menos que dijimos - menos 2 al cuadrado es 4 menos cuatro por 28 a ésta muy bien ahora dividimos todo esto sobre dos y entonces qué nos queda esto es 4 sobre 2 que es la pendiente media por lo tanto es 2 esto es igual a 2 muy bien ahora el significado del teorema del valor medio nos cuenta que debe haber un punto entre estos dos entre 2 y 4 donde la pendiente en este punto es exactamente igual a 2 muy bien vamos a averiguar qué punto es este entonces hacemos la derivada la derivada de f para dar a efe prima de x igual a 2x menos 4 y queremos averiguar para qué valor de x esto es igual a 2 entonces decimos que 2x menos 4 es igual a 2 de dónde x es igual bueno tenemos que 2x es igual a 4 más 26 y entonces x es igual a 3 muy bien entonces si x es igual a 3 la derivada es exactamente igual a la pendiente media ahora voy a ver si puedo hacerlo con una calculadora gráfica aquí vamos a ver si la puedo poner en en la pantalla ok entonces aquí tenemos la gráfica de x cuadrada menos 4x vamos a ver esto más grande entonces el intervalo que nos importa es de 2 a 4 entonces la pendiente media sobre este intervalo era 2 no si hubiéramos dibujado aquí la pendiente más o menos parecería esta recta y entonces en el punto 3 la pendiente también es exactamente 2 voy a ver si puedo dibujarla no es muy difícil de dibujar por uno mismo verdad es en realidad una parábola vamos a ver entonces si este es el eje de las 10 este este vamos a pintar lo vamos a quitar es y este es el eje el eje de las x entonces la gráfica pasa por el punto 00 verdad vamos a hacer hoy no esto no no están bien hecho a ver gráficamente se parece a esto no se achata por aquí muy bien y luego hace así entonces en realidad se sigue hacia arriba esto es una parábola este es el punto cuatro el punto dos está aquí y en dos vale menos cuatro verdad dijo a lo mejor está mal más las escalas pero bueno buscamos la pendiente media en el intervalo cerrado 24 lo que nos importa es en este intervalo ok este es el intervalo de dos a cuatro la pendiente media es dos digamos no digo no lo parece porque comprime un poco el eje y es verdad entonces en el punto x igual a tres que sí más o menos aquí la pendiente vale lo mismo vale lo mismo es a esa la pendiente de media verdad seccional o mejor un poco complicado hablar de continuidad de deriva bilidad y todo eso pero lo que dice es que hay algún punto entre estos dos del intervalo donde la pendiente instantánea o la derivada en ese punto es igual a la pendiente media entre estos dos puntos espero no haberte hecho un lío