Examen AP Calculus BC, 2008. Preguntas 1c y 1d

hola qué tal estábamos haciendo el inciso c del primer problema de respuesta abierta del examen de cálculo a p voy a volver a leer el problema el problema decía lo siguiente decía la región r esta de aquí en la región r es la base de un sólido aquí le dibuje a la región r con un poco de perspectiva para que con un poco de suerte podamos verla en 3d dice para este sólido cualquier corte que es perpendicular al eje x hay varias formas de cortar verdad podríamos hacer un corte así pero así sería paralelo al eje x pero lo que queremos hacer son cortes perpendiculares al eje x es decir queremos cortar más o menos como por esta línea como por líneas de este estilo lo que dice es que cada corte perpendicular determina un cuadrado aquí dibuje algunos cuantos cuadrados aquí tenemos un segmento que este segmento base y como el corte es un cuadrado la altura es la misma y sube perpendicularmente lo mismo por acá fíjate que aquí en medio los cuadrados van a ser muy altos porque están muy lejanas las funciones y finalmente si avanzamos hacia la izquierda se va haciendo angosto cómo le hacemos para encontrar este sólido es algo difícil de visualizar pero bueno es más difícil de dibujar lo es así que pues tienes que reconocer que me esforcé en mi dibujo pero va lo que tenemos que hacer entonces es tomar el área de cada uno de estos cuadrados y multiplicar la por un cambio miniatura en x entonces déjame marcarlo por aquí voy a poner esto en morado y este cambio miniatura pues ya hemos hablado de él y le estamos llamando de x sale entonces si multiplicamos de x por el área de este cuadrado lo que hacemos es obtener el volumen de este corte es como una rebanada de jamón entonces estamos encontrando el volumen de esa rebanada de jamón si sumamos los volúmenes de todos estos cortes entonces obtendremos el volumen del sólido como le hacemos para hacer eso pues tenemos que escribir una integral entonces vamos a escribir la integral cuál es el área de cada uno de estos cuadrados cada una de el área de cada uno de estos cortes la base va a ser la diferencia entre las dos funciones entre la función superior que habíamos dicho que es seno de px y la función inferior y esta función inferior se llamaba ye ye igual a x al cubo menos 4x baja entonces la base de cada uno de estos cuadrados mide lo mismo que la diferencia de las funciones y ya sabemos cuáles son las funciones la función superior es seno de pie x - menos la inferior que esta de aquí menos x al cubo más 4x porque hay que ponerle un signo más menos x al cubo más 4x hasta aquí esto se parece muchísimo al inciso a pero cuál es el cambio lo que tenemos que hacer es encontrar el área de cada uno de estos cuadrados no simplemente el lado entonces para encontrar el área de un cuadrado hay que elevar su lado al cuadrado entonces aquí hay que elevar al cuadrado y eso es el área de cada uno de los cuadrados de aquí todavía nos falta multiplicar por el de x por ese cambio miniatura esto nos da el volumen de cada uno de los cortes entonces ahora tenemos que integrar hay que integrar desde pues hay que integrar en todo el intervalo verdad entonces el límite inferior es 0 y el superior es 2 ahora sí ya nada más nos queda encontrar el valor numérico de esta integral justo como me pasó en la parte primero intenté hacer esto analíticamente es decir si intentar resolver la integral pero resulta que me quedaba algo super super super feo que sí se puede hacer utilizando integración por parte de varias veces y fórmulas de reducción de grado pero ese súper tal ayudo posiblemente si haces eso te tomaría a todo el tiempo del examen entonces como el examen nos permite utilizar calculadoras gráficas creo que ahorita es un muy buen momento para utilizar la la calculadora gráfica es súper útil para encontrar expresiones numéricas de integrales definidas voy a sacar por aquí mi emulador de la calculadora texas instruments y entonces a ver quiero que veas qué teclas estoy presionando la aprendemos borramos la pantalla y lo que vamos a hacer es el es usar el menú de cálculo entonces él pongo seco calc y fíjate aquí me da varias opciones esta que estoy indicando es para la integral definida pues le picó efe 5 y entonces lo que tenemos que escribir es la expresión ahí va la expresión que tenemos es la voy a copiar es a ver voy a ver un paréntesis seno d y dónde está y ya tiene mucho que no usó una de estas aquí está a ver entonces tengo que picar le shift y equis seno de px menos x x el cubo + 4x y todo eso elevado al cuadrado y luego le tengo que indicar a esta función cuál es la variable de integración es decir con respecto a que estamos integrando entonces aquí le voy a poner que nuestra variable es x y finalmente lo que hay que decirle son los límites de integración estamos integrando de 0 a 2 saleh está todo bien le doy enter mira está pensando la calculadora a ver qué nos dice y aita 9.97 83 esa es la respuesta s de ahí es el volumen de este solito que queremos calcular 9.978 3 voy a poner aquí esto es igual a 9.978 3 a estar listo seguramente tendremos que utilizar la calculadora porque realmente calcular esta integral y va a ser súper intenso y va a ser muy muy tal ayudo y eso nos iba a tomar muchísimo tiempo entonces por eso yo creo que las instrucciones del examen nos dan nos dan chance de utilizar una calculadora gráfica lo que hicimos otra vez fue tomar el área de cada uno de los cuadrados e integrar todas esas áreas para encontrar el volumen déjame checar cuánto tiempo me queda todavía tengo unos pocos minutos vamos a empezar la parte de déjame borrar con él aquí invertir color es parte de la región r a ver déjame volver a poner la región r voy a hacerlo un poco más chiquita sin haber deshacer y volver a hacer o deshacer pegar ahora sí vamos a hacerlo un poco más chiquita para tener un poco más de espacio entonces ahora si parte de dice lo siguiente la región r es la superficie de un lago pequeño en cada uno de los puntos de r que están a distancia x del eje i la profundidad del agua está dada por hdx igual a 3 x entonces esencialmente lo que nos dicen es que conforme x crece la profundidad baja en 0 la profundidad es simplemente 3 porque es 3 - 0 y en este punto la profundidad es 3 menos dos que es igual a 1 entonces esencialmente cada vez se hace menos y menos profundo el ajo conforme vamos de izquierda a derecha más o menos podemos imaginarlo pero déjame intentar hacer un dibujo de nuevo entonces otra vez vamos a hacer las cosas en perspectiva esta es la función seno esta de acá en la función polinomiales la función polinomio al cúbica que nos dan voy a dibujar mis ejes ese es el eje de x luego tengo que dibujar también el eje de agua es el eje vamos a ponerle su flechita entonces a ver ahí va aquí en el punto cero a ver vamos a ponerlo hdx que es la profundidad es igual a 3 - x entonces en este punto la profundidad es 3 entonces déjame dibujar en azul porque es agua verdad entonces tenemos que bajar 3 y cada vez se hace menos menos profundo conforme nos vamos a la derecha entonces cómo le hacemos para ver cómo le hacemos para encontrar el volumen de este lago entonces acá la profundidad es 1 porque aquí ese es 2 entonces esta distancia 2 entonces a ver vamos a pensar otra vez en cortes se vería más o menos así un corte por el eje x vaya sí que está difícil de visualizar y de dibujar bueno ahorita ya andamos un poco cortos de tiempo pero en el próximo vídeo ya vamos a empezar a pensar en cómo plantearlo y resolverlo hasta pronto