Examen AP Calculus BC, 2008. Pregunta 2a

vamos a seguir con los exámenes de cálculo ap pasemos a la pregunta 2 del examen de 2008 tipo veces aquí copie la tabla que nos dan en el problema el resto del problema lo voy a leer y vamos a ver qué onda el problema dice los boletos para un concierto se comenzaron a vender en el tiempo de igual a 0 justo a mediodía fueron tan pedidos que se acabaron en 9 horas el número de personas que estaban en la fila al tiempo t se puede modelar con una función l l de aquí que es dos veces diferenciable así este renglón muestra la cantidad de personas que estaban en cada momento y aquí es el tiempo este está igual a 0 t igual a 1 y 9 es las 9 de la noche todos los boletos se vendieron a las 9 también nos dicen que la función es dos veces diferenciables esto nos dice varias cosas de la función por ejemplo la primera es que es continua pero más aún como es dos veces diferenciables su derivada también es continua entonces es una función bien suave sale vamos a las preguntas las preguntas dicen lo siguiente el inciso a que es el primero dice lo siguiente a ver voy a poner con este color y dice usar la información en la tabla para estimar sabes que mejor voy a copiar y pegar el enunciado a ver le voy a dar copiar entonces ahora me voy aquí al programa le pico edición pegar ahí está lo voy a acomodar un poco ahí está un poquito más abajo a lo mejor no lo alcanzas a leer pero yo si lo leo de todas formas dice usa la información de la tabla para estimar la razón en la cual cambia la cantidad de personas en la fila a las 5 30 de la tarde acá en la tabla no nos dicen qué pasa a las 5 y media así que tenemos que hacer algunas estimaciones muestra tus operaciones e indica las unidades que se utilizan para entonces quieren que estudiemos la razón en la cual cambia el número de personas en la fila como hacemos esto la tabla solamente tiene algunos puntos de la función el dt y no nos dan la información cerca de 5.5 sin embargo lo más cerca que podemos acercarnos de cada lado es por aquí pues tenemos información acerca del tiempo 4 y del tiempo 7 entonces podemos encontrar un buen estimado encontrando la razón de cambio entre estos dos puntos para hacer esto vamos a tener que hacer una fracción y recordar un poco como le hacíamos para calcular ciertas pendientes a ver vamos a escribir por aquí abajo cómo se calcula la pendiente voy a utilizar notación que se usa en cálculo es decir voy a poner una delta mayúscula voy a poner delta de l entre delta de t y ahora tengo que indicar que es en 5.5 déjame poner el igual por aquí y voy a poner 5.5 aquí en el subíndice va en vez de un igual puedes poner una aproximadamente igual o como prefieras ahora sí vamos a calcularlo nos queda el de 7 menos el de 4 dividido entre 7 menos 4 ok justo eso de ahí es cómo cambia la función entre cómo cambiar la variable entonces el de 7 es 150 luego hay que restar 126 y tenemos que dividir en 374 vamos a hacer las operaciones 150 menos 126 a ver eso es lo mismo que 50 menos 26 50 menos 20 nos da 30 y menos otros seis nos da 24 vamos al denominador tenemos que dividir entre 7 4 y 7 menos cuatro estrés va el cambio es 24 tercios pero eso podemos simplificar lo 24 entre 3 da a 8 ok también nos piden las unidades verdad que nos piden las unidades de esta razón de cambio en el numerador tenemos personas entonces aquí le pongo personas y tengo que dividir en el denominador que son horas entonces el mejor estimado o más bien nuestro mejor estimado es acercándonos en cuatro y siete hacemos la diferencia de la función dividimos entre la diferencia de los tiempos y nos quedan ocho personas por hora ok vamos a ir a la parte ve voy a borrar un poco esto va a tener mucho espacio y voy a copiar y pegar el nuevo enunciado a ver ahí va vamos a copiar y pegar lo voy a poner por aquí dice usa una suma trapezoidal con 3 sub intervalos a ver deja ver si puedo hacer el enunciado un poco más grande a ver lo estiro por acá a ver algo así vamos a ver qué chin ahora quedó muy flaca la letra no sabes qué mejor lo voy a poner normal y lo leo para para que sepas qué dice dice lo siguiente a ver dice usa una suma trapezoidal con tres sub intervalos para estimar el promedio de cuántas personas estuvieron esperando boletos durante las primeras cuatro horas de la venta aunque el problema hable de trapecios la forma más rápida de hacer este problema es sin hacer dibujos pero ahorita para explicarte de dónde vienen mis cuentas voy a graficar la función ya en el examen puedes ahorrarte mucho tiempo saltando de la figura déjame pensar cómo lo voy a hacer para graficarlo no sé si poner todo o solo hasta te iguala 4 mejor si dibujo todo puede ayudarnos para los siguientes incisos entonces voy a poner mis dos ejes y ya está el segundo eje voy a poner las flechitas y vamos a marcar aquí los puntos para el tiempo 1 2 4 creo que es la idea verdad 5 6 7 8 y 9 y ahora tenemos que pasar los puntos pero pero déjame etiquetar los ejes primero levante y el dt en el horizontal este y en el vertical va el dt y entonces pues vamos a poner algunas marquitas en el eje l dt para poner los puntos aquí voy a poner pues a ver los puntos llegan como a menos de 200 entonces le pongo 200 aquí a la mitad que queda más o menos a esta altura es 100 aquí a la mitad entre 100 y 200 650 y aquí va a ser 50 ok entonces ahora sí vamos a poner cada uno de los puntos vamos a graficar los entrego al acero tenemos 120 personas entonces es como por ahí entre igual a uno es 156 más o menos por ahí párate igual a 33 verdad no 23 es 176 nos queda un punto a esta altura luego vamos a igual a 4 de igual a 4 es aquí y tenemos 126 personas es un poquito más arriba que te iguala 0 es más o menos por ahí párate igual a 7 es 150 es algo por ahí luego te iguala 8 tenemos 80 personas más o menos por ahí y te iguala 9 tenemos 0 personas ojalá sea porque todos consiguieron sus boletos bueno vamos a conectar estos puntos con líneas rectas le voy a poner así luego a este y luego a este me siento como jugando uniendo puntos aquí y luego bajamos al pero listo ya tenemos estos puntos gráfica 2 en aquí en nuestro dibujo sabemos que la verdadera función el dt no va a tener estas esquinas porque es diferenciable de hecho es dos veces diferenciable va a ser más suave en estos puntos no podemos tomarlas no podemos tomar las derivadas porque pues por ejemplo aquí tenemos una pendiente que es positiva y luego cambiar repentinamente a una pendiente negativa entonces ahí no podríamos derivar la función pero bueno regresando al problema dice usa una suma trapezoidal para estimar la blabla en las primeras 4 horas este término suena muy intimidante lo de sumatra peso ideal vamos a ver que no es tan feo pero pero tendrá que ser hasta el siguiente vídeo me acabo de acordar que tengo que recoger la ropa de la lavandería antes de que cierren y la señora es súper puntual con eso nos vemos en el siguiente vídeo y continuaremos con los otros incisos hasta luego