Integral de línea de un campo vectorial conservativo. Ejemplo 2

este ejercicio es exactamente lo que vimos en el último vídeo pero ahora en vez de tomar la t de 0 a 2 pi vamos a tomar la nuestro parámetro t entre 0 y vi así que básicamente estamos tomando media circunferencia verdad si dibujamos aquí el plano xy muy bien aquí están los ejes el eje x el eje y entonces ahora nuestro camino o nuestra curva no va a ser una circunferencia sino si pensamos a t como el ángulo de esta circunferencia estamos tomando entre 0 y pi que es solo media circunferencia entonces no es un camino cerrado no podemos en este caso decir que la integral siendo f conservativa pues que sea 0 porque para eso necesitamos que la curva sea cerrada y en este caso no lo es pero veamos si podemos utilizar alguna otra técnica que habíamos visto en otros vídeos pero bueno si ponemos a efe en su forma vectorial ésta sería las dos entradas de f las dos componentes de f y entonces f de xy es no es otra cosa más que x cuadrada massieu cuadrada y esto multiplicando al vector y más 2x y 2 x por el vector j correcto ahora bien deere es la diferencial de nuestra curva esto será igual a de x y más de jota verdad ahora si vemos el producto punto entre estas dos entonces tendremos que ese punto de r es justamente justamente lo que tenemos como integrando en la integral de línea sobre la curva se verdad es esto obtendríamos lo de aquí esto que estamos en marcando así que si multiplicamos los términos que tienen y obtenemos x cuadrada más de cuadrada de x que es este primero y luego 2x y por d ye que es este segundo así que nuestra integral sobre la curva de f punto de r es realmente lo que queríamos calcular inicialmente ahora nos preguntamos esta f es un campo conservativo es decir tiene algún potencial o en otros términos existe una f mayúscula tal que su gradiente sea nuestro campo vectorial efe que elegimos al inicio entonces según vimos en el último vídeo y vamos a repetirlo una vez más si tuviéramos esta condición la integral sobre cualquier curva cerrada sería cero pero éste no es una curva cerrada lo que sí sabemos es que por ser conservativo la integral es independiente de la trayectoria que le que elegimos perfecto así que de hecho sabemos quién es esta integral verdad esto es efe y cómo se va de cero a ti pues entonces vamos a tener que evaluar de cero a ti verdad así que esto será fdp - efe de cero o si queremos escribirlo en términos de xy de y pues entonces aquí donde lo tenemos aquí en vez de pi vamos a poner equis o va a ser nuestro nuestro valor ente así que esto será efe de equis en coma y en pi y luego restamos efe de x en 0 x en 0,0 verdad si quisiéramos escribir efe como como esta forma ahora la f mayúscula es una función escalar verdad así que podríamos decir que estos son simplemente las tres en las que vamos a evaluar a x de ahí perfecto ahora sólo falta evaluarlo en estos dos puntos ya tendremos el valor de la de la integral porque esto es independiente del camino de hecho no necesitamos saber cuál era la curva de verdad entonces de ser así su integración de línea es independiente del camino ya no lo va a repetir una vez más esto esto ya debería haber quedado claro y ahora lo que vamos a intentar hacer es exactamente lo mismo que hicimos en el vídeo anterior si ya lo viste bueno puede ser un poco monótono pero no nunca está de más repetirlo para que quede claro cómo se resuelve el problema entonces sabemos que la parcial de esta f mayúscula respecto de x debe ser la primera entrada x cuadrada massieu cuadrada si es que es un potencial del campo vectorial efe integrando respecto a x tenemos que fx y es igual a x al cubo entre 3 que la integral de x cuadrada y luego más xy cuadrada verdad todo esto es resultado de integrar respecto de x y agregamos una constante que puede ser cualquier función de ye porque al derivar respecto de x esa función de yesa y ahora la parcial de f respecto de y será la segunda componente del campo vectorial esto será igual a 2x ahora volvemos a hacer lo mismo si tomamos la integral de esta expresión respecto de y tendremos que fx y es igual a la integral de 2x que es x ye cuadrada más cualquier función que dependa exclusivamente de x verdad y ahora estas dos expresiones que obtuvimos deben ser iguales vamos a procurar que coincidan así que coinciden en esta x y cuadrada coinciden en eso del lado derecho tenemos una función que depende de x y del lado izquierdo podemos encontrar esta x cúbica entre 3 y ahora la f de y tiene que ser cero porque del lado derecho no encontramos una función que dependa de iu así que tendremos que nuestra f mayúscula es x cúbica entre 3 + xy cuadrada perfecto ahora qué es lo que sigue de nuestro campo vectorial es un campo conservativo y está f mayúscula es el potencial así que la integral de 0 api de nuestro campo conservativo a lo largo de ese simplemente es evaluar efe en los extremos así que hagámoslo bueno x era coche no vete y ese no dt voy a escribirlo acá abajo así que a x es igual a coseno dt y es igual a seno dt así que x evaluada en 0 será x en 0 será coseno de cero que es 1 y perdón x en pib va a ser coseno de pib que es menos 1 ahora sigue ya en cero valdez en 90 que es cero y en pi es igual al seno de pi que es cero perfecto ahora hay que evaluar efe en estos valores que obtuvimos nuestra integral entonces vamos a simplificar la la integral sobre c df punto de r será igual a quien a efe evaluada en x en pi como hippie es decir en menos 1 coma y vale 0 entonces es f evaluada en menos 10 - efe evaluada x en 0 que en este caso es uno coma valuado en cero que en este caso es cero perfecto ahora tienes esta función es evaluada en menos 10 este término de aquí como ya habíamos mencionado son los xy es evaluadas en pi acuérdense muy bien de esto ahora sólo basta que evaluemos la función en esos dos puntos y esto va a ser muy fácil verdad x es menos 1 así que si sustituimos en la función f en realidad tenemos menos 1 al cubo que es menos 1 entre 3 simplemente tenemos menos un tercio menos un tercio y ahora x es menos uno que vale cero así que cualquier cosa por cero es cero así que ese término desaparece vamos a ignorarlo y ahora vamos a restar restamos efe evaluada en 10 ahora x vale 11 al cubo es 1 y entre 3 pues es un tercio y ahora x por 0 al cuadrado lo que sea bueno eso es 0 verdad así que si hacemos esta suma ya hemos terminado porque tenemos menos dos tercios y de nuevo esto fue independiente del camino realmente no tuvimos que molestarnos que con los cosenos los senos y demás esto simplemente tenemos que encontrar quién es nuestro campo perdón nuestro potencial de nuestro campo vectorial y evaluamos en los extremos