Prueba de hipótesis para una muestra pequeña

la emisión promedio de los motores con un nuevo diseño tiene que estar por debajo de 20 partes por millón para que el diseño cumpla con los nuevos requerimientos sobre emisiones se fabrican 10 motores con fines de prueba y se mide el nivel de emisiones de cada uno los datos de emisiones son y nos dan los 10 datos de las emisiones uno para cada motor llamé adelante y obtuve que la media de la muestra es igual a 17.17 y la desviación estándar de esta muestra de 10 datos es igual a 2.98 existe suficiente evidencia basada en los datos para concluir que este tipo de motor cumple con el nuevo estándar supón que estás dispuesto a tomar el riesgo de error de tipo 1 con una probabilidad de punto 0 1 y hablaremos de esto en unos momentos pero antes establezcamos cuáles serán nuestra hipótesis nula y nuestro y potes alternativa nuestra hipótesis nula sería que simplemente no cumplimos con el estándar es decir la hipótesis nula es que la media y las emisiones de nuestros nuevos motores es exactamente 20 partes por millón básicamente lo que queremos aquí es el mejor valor posible o el menor valor posible donde aún no se cumple con el estándar y la hipótesis alternativa la hipótesis alternativa es no si cumplimos con el estándar y la verdadera media en estos nuevos motores es menor a 20 partes por millón y para ver que los datos que tenemos son suficientes lo que vamos a hacer es suponer que la hipótesis nula es verdadera vamos a suponer que es verdadera y suponiendo que esta es verdadera dado que esta es verdadera y que la probabilidad de que ocurra esto la probabilidad de que la media de la muestra sea menor a 1% rechazaremos la hipótesis nula entonces rechazaremos rechazaremos la hipótesis nula sí la probabilidad de que la media la muestra es igual a 17.17 dado que la hipótesis nula es verdadera es menor a 1% y observa si lo hacemos así tenemos una probabilidad menor a 1% de que tengamos un error de tipo 1 un error de tipo 1 es que la rechazamos siendo verdadera aquí hay tan sólo un 1% o menos de un 1% que la rechazamos siendo verdadera lo siguiente que tenemos que considerar es con qué tipo de distribución vamos a trabajar y lo primero que me viene a la mente es que aquí tan solo tenemos 10 muestras el tamaño de muestra es igual a 10 es un tamaño de muestra realmente pequeño por lo cual trabajaremos con la distribución y la estadística te planteado esto vamos a calcularlo de la siguiente manera podemos calcular la estadística te basado en nuestros datos aquí arriba esto va a ser igual a la media de la muestra 17.17 menos la media de la población que es 20 partes por millón todo esto dividido entre la desviación estándar de la muestra que es 2.98 este es realmente la definición del estadístico t y esperemos que se vea que viene del puntaje z y la distribución t es una versión derivada de la instrucción normal usando el estadístico de 2.98 dividido entre la raíz cola del tamaño de muestra tenemos una muestra de 10 entonces es dividido entre la raíz de 10 entonces este valor es igual a déjame sacar la calculadora para obtener este valor entonces va a ser 17.17 -20 entre paréntesis / 2.48 entre la raíz no eso no es lo que quiero yo quiero la raíz cuadrada entre la raíz cuadrada de 10 cierro paréntesis casi exactamente menos 3 entonces el estadístico te va a ser igual esto es igual a menos 3.000 y lo que tenemos que calcular como los estadísticos te sigue una distribución t así que tenemos que calcular cuál la probabilidad de obtener un estadístico t o un valor t que es menor o igual a este valor es esto menor a 1% en la manera ver esto es viendo la distribución t supongamos que aquí tenemos una distribución t normalizada la distribución de todos los estadísticos t será una distribución t normalizada aquí tenemos la media de la distribución t y va a haber un valor crítico va a haber un valor crítico de t aquí lo ponemos este sería un valor crítico de t crítico nuestra tan fácil escribir lo mejor lo va a hacer este sería este de aquí sería un valor crítico de t y queremos un valor crítico de t de tal manera que la probabilidad de obtener un valor de t menor a ese valor crítico es menor a 1 por ciento la probabilidad tiene un valor menor a este es uno por ciento el valor de esta área en amarillo es 1% tenemos que buscar entonces ese valor crítico ese valor que con una distribución t que tiene una n igual a 10 y 10 menos uno igual a 9 grados de libertad y cuál es este valor crítico nota que esta es una distribución de un solo lado entonces y aquí tenemos un 1% esta parte restante vamos a tener 99% ahora la mayoría de las tablas te están orientadas para el otro lado nosotros estamos un valor negativo pero la mayor las tablas te te dan un valor positivo entonces la manera como operan las tablas te y aquí tengo una tabla t que vamos usar en los momentos tu tienes tu distribución de esta manera la tabla te va a dar un valor crítico por acá por el lado positivo donde la probabilidad de obtener un valor t por arriba de ese valor crítico es igual a 1 por ciento mientras que la probable a obtener un valor t por abajo de ese valor crítico es igual a 99 % y como puedes ver bueno sabemos que la distribución es simétrica alrededor de la media entonces aquí tenemos un valor positivo digamos un valor de 2 entonces este valor va a ser menos 2 teniendo en cuenta eso las tablas t nos ayudan a calcular ese valor entonces encontremos el valor de t debajo del cual la probabilidad de obtener un valor t es 99% de nueva cuenta recordemos que estamos en una distribución bueno más bien una situación de una sola cola busquemos entonces nuestro valor crítico es una situación de una sola cola esta tabla la he tomado de wikipedia queremos un valor acumulado de 99% aquí tenemos 99% tenemos 9 grados de libertad tenemos 10 datos 10 menos uno es 99 grados de libertad y aquí tenemos nuestro valor crítico nuestro valor crítico aquí es 2.821 y aquí simplemente le cambiamos el signo lo invertimos y aquí sería menos 2.821 entonces esto nos dice que la probabilidad de obtener un valor t menor que menos 2.821 va a ser 1% ahora nosotros tenemos un valor de t que es ligeramente menor a ese nuestro valor del estadístico t que es menos 3 va a estar por aquí aquí va a estar nuestro estadístico de d el cual definitivamente cae en lo que podríamos llamar creo que le podíamos llamar nuestra zona de rechazo y este valor este valor de menos 3 es aún menos probable del 1% inclusive podríamos calcular el valor de esta área la probabilidad de obtener un estadístico de menor que menos 3 la cual es menor que 1 % es un subconjunto de esta región en amarillo ahora debido a que la probabilidad de obtener un estadístico t como el que obtuvimos es menor que 1 % podemos con confianza rechazar la hipótesis nula podemos con confianza rechazar la hipótesis nula y por tanto sentir que es tipo test alternativa es la adecuada es la adecuada estamos cumpliendo con el estándar de las emisiones y sabemos que tenemos una probabilidad menor a 1% de incurrir en un error de tipo 1 bajo estas circunstancias