Intervalos de confianza en muestras pequeñas

se han medido las presiones arteriales de siete pacientes después de haberles administrar un fármaco por tres meses tuvieron incrementos en la presión arterial de nos dan siete valores de datos medidos en no sé alguna unidad de presión arterial construye un intervalo de confianza el 95% para el verdadero incremento esperado en la presión arterial para todos los pacientes en una población aquí tenemos la distribución de la población es razonable suponer que es una distribución normal pues es un proceso biológico así que si administramos dicho fármaco a cualquier persona esto va a resultar en un incremento promedio en la presión arterial un incremento promedio o quizás un decremento y también vamos a encontrar una desviación estándar aquí una desviación estándar aquí tenemos una distribución normal y es razonable suponer que es una institución normal pues es un proceso biológico va a ser la suma de miles de millones de eventos aleatorios y procesos que son la suma de miles de millones de eventos aleatorios tienden hacia una distribución normal así que esta es la distribución de la población de la población y realmente no conocemos nada de esta distribución tan solo la muestra que tenemos aquí ahora lo que podemos hacer es y eso es lo que se aconseja cuando tienes una muestra simplemente calcular todo lo que se pueda a partir de esa muestra desde el primer momento así que tenemos siete valores de datos lo que podemos hacer es sumarlos todos dividirlos entre siete para obtener la media muestral la media muestral aquí es entonces 2.34 y también podemos calcular la desviación estándar muestral encontramos el quad de la distancia de cada uno de estos puntos con respecto a la media los sumamos lo dividimos entre menos uno porque es una muestra posteriormente tomamos la raíz cuadrada para obtener la desviación estándar muestral me adelanté para ahorrar tiempo y obtuve que la desviación estándar muestral es 1.04 y no sabemos nada de la distribución de la población lo que hemos hecho para empezar es estimar hemos estimado esta característica con la desviación estándar muestral así que hemos estimado la verdadera desviación estándar de la población con la desviación estándar muestral la desviación estándar muestral ahora en este problema en este preciso problema nos estamos metiendo en un problema estamos estimando nuestra desviación estándar con una n de tan sólo 7 por lo que muy probablemente esta no va a ser no va a ser una tan buena estimación pues déjame escribirlo así directamente n es pequeña en general esta es una mala estimación 100 es menor que 30 arriba de 30 ya estamos en el nivel de las buenas estimaciones por lo que el enfoque de este vídeo es al considerar la distribución muestral la cual vamos a usar para generar nuestro intervalo en lugar de suponer que la distribución muestral es normal como hicimos en vídeos anteriores usando el teorema el límite central y todo eso vamos a ajustar la distribución muestral no vamos a asumir una distribución normal pues esta es una mala estimación vamos a asumir algo que es conocido como distribución de una distribución ts y la mejor manera de pensar esto es que fue hecha precisamente para dar las mejores estimaciones de intervalos de confianza y todo eso cuando de hecho tenemos tamaños de muestra pequeños se ve muy similar a la distribución normal también cuenta con su media aquí tenemos la que es también la media de la distribución muestral sin embargo esta distribución tiene con las gruesas tiene colas gruesas la manera como la veo por la cual tiene con las gruesas es cuando supones una distribución estándar como esta déjame ir un poco antes para explicarlo normalmente lo que se hace es encontramos una estimación de la verdadera desviación estándar y decimos la desviación estándar de la distribución muestral es igual a la verdadera desviación estándar de la población dividida entre la raíz de n en este caso en es igual a 7 y luego nos damos cuenta que nunca conoces la desviación estándar o rara vez la puedes conocer pero por general nunca la conoces así que si no conocemos eso lo mejor que podemos hacer es poner en su lugar la desviación estándar de la muestra pondremos aquí la desviación estándar de la muestra y esto de aquí es la razón esencial por la cual no decimos simplemente que tenemos 95 por ciento de probabilidad es la razón por la cual le llamamos intervalo de confianza porque estamos haciendo algunas suposiciones esto de aquí va a ir cambiando de muestra en muestra y en particular esta va a ser muy mala estimación cuando tenemos un tamaño de muestra pequeño un tamaño menor a 30 así que cuando estamos estimando la desviación estándar cuando no la conocemos y le estamos estimando con la desviación estándar de la muestra el tamaño de muestra es pequeño y vas a usar esto para estimar la desviación estándar de la distribución muestral podemos suponer entonces que la distribución muestral es una distribución normal asumimos que tiene con las gruesas y tiene con las gruesas porque esencialmente estás subestimando la desviación estándar aquí subestimando la desviación estándar en fin dicho esto vamos a atacar el problema necesitamos construir un intervalo del 95% alrededor de esta media así que un intervalo de 95% si ésta fue una distribución normal simplemente buscaríamos los valores en la tabla z pero no lo es esto es una distribución de distribución te buscamos un intervalo de confianza el 95% es decir un intervalo alrededor de la media que comprenda el 95% del área para una distribución te vamos a utilizar una tabla t y yo ya me adelante y aquí tengo una tabla t y para lo que nosotros necesitamos usaremos la fila de las dos colas que tenemos aquí y la mejor manera de ver esto es que tenemos simetría alrededor de la media y es por eso que le llaman de dos colas si fuera de una sola cola tendríamos una polea acumulativa cierto umbral pero en este caso es de dos colas es simétrica otra manera de ver esto es que estamos excluyendo a ambos lados queremos entonces el 95% en el centro aquí tenemos la distribución muestral de medias distribución muestral para n igual a 7 y no voy a entrar en detalles aquí pero cuando n es igual a 7 tenemos 6 lados de libertad o n 1 y la manera confusión las tablas t es que vas a buscar tus grados de libertad no vas a buscar el valor de n vas a buscar n menos uno que en este caso es 6 así que si tú quieres abarcar el 95% aquí vas a buscar en la tabla conseguidor de libertad y tenemos que es 2.447 desviaciones estándar en ambas direcciones y esta tabla te supone que estás aproximando esa desviación estándar usando la desviación estándar de la muestra otra manera de ver esto es que tienes que ir 2.447 de estas desviaciones estándar aproximadas déjame hacerlo por aquí entonces tienes que ir 2.447 esta distancia aquí es 2.447 por esta aproximada por esta aproximada desviación estándar la aproximada desviación estándar y en ocasiones y esto lo vas a ver en libros de estadísticas este número de aquí lo vas a ver escrito así un sombrerito arriba de la desviación estándar indicando que es una aproximación usando la desviación estándar de la muestra así que le ponemos el sombrerito pues honestamente esto es lo único que podemos calcular así que esto es lo que tienes que ir en cada dirección y conocemos este valor conocemos la desviación estándar de la distribución muestral saquemos entonces la calculada vamos a sacar la calculadora aquí tenemos la calculadora y sabemos que la desviación estándar de la muestra es 1.04 dividido entre la raíz cuadrada de 7 lo cual es igual a punto 39 esto resulta punto 39 esto de aquí es punto 39 esto es igual a 0.39 y si queremos encontrar la distancia alrededor de esta media poblacional que abarca el 95% de la población de la distribución muestral tenemos que multiplicar punto 39 por 2.400 47 hagamos eso esto por 2.447 nos da igual a punto 96 así que esto es igual a esta distancia de aquí esta distancia de aquí es igual a 96 y esta distancia de aquí también es igual a 96 así que si tomamos una muestra aleatoria y eso fue lo que hicimos cuando tomamos estas siete muestras cuando tomamos estas siete muestras y tomamos su media esa media puede verse como una muestra aleatoria de la distribución muestral de medias así que la probabilidad y esto lo podemos ver podemos decir que hay un 95 por ciento de probabilidad 95% de probabilidad de hecho debemos de ofrecer todo con la palabra confianza debido a todas las estimaciones que hemos estado haciendo y no tenemos la certeza el 95 por ciento de probabilidad tenemos 95 por ciento de confianza que la media de la muestra aleatoria que obtuvimos aquí que esté 2.34 por así decirlo s 2.34 lo tomamos de manera aleatoria de esta distribución que tenemos acá así que hay 95 por ciento de probabilidad de que 2.34 se encuentre se encuentre 096 de la media verdadera de la distribución muestra al que como nosotros ya sabemos es lo mismo que la media poblacional entonces de la media poblacional o podemos reescribir nuestro enunciado para establecer que hay un 95 por ciento de probabilidad que la media la media verdadera que es la misma que la media y la distribución muestral se encuentre ah 096 de la media de la muestra que es 2.34 tenemos entonces que el límite inferior es 234 2.34 menos 96 es el límite inferior del intervalo de confianza que es 1.38 y el límite superior del intervalo de confianza que es 2.34 más punto 96 este es 3.3 así que el intervalo de confianza del 95% va de 1.38 a 3.3