Coordenadas polares

todo lo que hemos trabajado hasta ahora tiene que ver con coordenadas cartesianas tal vez tú no las conozcas por ese nombre o yo no las había llamado así hasta ahora pero qué son las coordenadas cartesianas bueno para eso voy a dibujar primero los ejes aquí está el eje vertical aquí está el horizontal las coordenadas cartesianas se pueden trabajar para muchas dimensiones pero normalmente trabajamos solo en dos y si quiero especificar un punto en el espacio bidimensional solo debo de decirte que tanto se aleja en el eje horizontal y que tanto se aleja en el eje vertical por ejemplo si quiero dar las coordenadas cartesianas de este punto puedo decir para llegar a ese punto tengo que moverme tres en el eje horizontal eso es un 3 y después moverme 4 hacia arriba 1 2 3 4 en el vertical por convención a este le llamamos x ya esté la calle y también por convención a esto le llamamos 3 4 decimos la primera coordenada es que tanto me alejo en la dirección horizontal y la segunda que tanto me alejo arriba abajo en la vertical lo podemos ver como que me moví 3 a la derecha y después 4 para arriba o que me moví 4 para arriba y 3 a la derecha y esta es sólo una forma de especificar un punto en dos dimensiones pero existen otras como por ejemplo podemos decir que tanto nos alejaremos y la dirección en que lo haremos como en la vida real apunta en esta dirección y aléjate esta distancia en esta dirección aléjate hasta acá y dará el mismo punto y como determinaremos la dirección es decir llamarle al eje x 0 grados hablar en grados tiene sentido y también conoces los radiales y podrías convertir los grados en radiales así que esté 0 y hay un ángulo entonces diremos que aquí hay un ángulo el ángulo theta y sólo tendrías que apuntar en esa dirección con esta dirección y caminar ciegamente r unidades después de r unidades y llegarías al mismo punto y así como especificamos en coordenadas cartesianas al punto x ahora podríamos identificarlo a ver vamos a pensar cómo le hacemos y déjame escribirlo en magenta como r coma theta que en esencia dice camino r unidades en la dirección theta pero vamos a descifrar esto porque parece realmente abstracto y vamos a utilizar la trigonometría y el teorema de pitágoras podemos descubrir quiénes son rt está claro aquí el más fácil será r porque este es un triángulo rectángulo si un triángulo rectángulo y esta distancia es 3 y esta de acá es 4 este ángulo es recto y quien es r pues el teorema de pitágoras nos dice que 3 al cuadrado más 4 al cuadrado será r al cuadrado o sea tenemos 3 al cuadrado más 4 al cuadrado que es igual a r al cuadrado 916 es igual a erre cuadrada 25 es igual a de re cuadrada en este caso no vamos a considerar la solución negativa y r es igual a 5 ya sabemos que erre valen 5 y cómo sabremos theta y qué es lo que tenemos aquí bueno queremos saber el valor de teta y que conocemos bueno tenemos el lado opuesto esto tiene que ver con soca tohá voy a escribir aquí soca todas si no te suena familiar habría que revisar el vídeo de trigonometría básica tenemos el lado opuesto a teta que tiene un valor de 4 y el adyacente que tiene un valor de 3 cuál es la función trigonométricas que involucra al opuesto y el adyacente tohá que es opuesto y adyacente así que la tangente de teta es igual al opuesto que es la coordenada y que tiene un valor de 4 dividido entre la coordenada x que tiene un valor de 3 entonces la tangente de teta es 4 tercios y para evaluar esto vamos a tomar la función inversa de la tangente en ambos lados y esto es lo mismo claro dependiendo del tipo de calculadora que estés utilizando existen varias formas de escribirlo pero aquí lo vamos a poner como b el arco tangente de la tangente de teta es igual al arco tangente de cuatro tercios y por supuesto el contingente de la tangente de teta que es lo mismo que la tangente inversa de la tangente de teta es simplemente teta y esto es igual al arco tangente de cuatro tercios otra manera de escribir a arco tangente y es exactamente lo mismo sería la tangente inversa que se escribe con un exponente a la menos uno pero a veces es un poco confusa esta anotación porque no queda claro si es la inversa o hay que elevarlo a una potencia negativa o si de veras será negativa bueno esa es otra forma de escribirlo pero finalmente lo que tenemos que resolver es la tangente de cuatro tercios y bueno lo más probable es que no te acuerdes de su valor ni yo me acuerdo pero para estos casos siempre recurro a mi calculadora y ésta voy a acomodarme y busco la tecla para inversa y luego pongo la tangente de 4 entre 3 mi calculadora debe de estar en grados y obtengo 54 punto 13 grados así que teta es igual a 53.13 grados y ya estamos ya sabemos cómo identificar este punto en el plano bidimensional por sus coordenadas x igual a 3 de igual a 4 y ahora también podemos describirlo como r es igual a 5 y theta igual a 53 grados y mejor lo escribo en coordenadas polares este punto es 5,53 punto 13 grados y lo podemos ver como partiendo del origen giro 53.13 grados en contra de las manecillas del reloj y me desplazo 5 unidades y eso es todo lo que me dicen las coordenadas polares vamos a hacer otro ejercicio y tratemos de encontrar algo más general siempre que lo sepamos en lo general podremos resolverlo en lo particular ahora voy a poner un punto arbitrario en donde sea no como en el caso anterior y que este sea el punto x coma y este es el punto esta es su coordenada x y esta es su coordenada y como convierto esto nr coma teta en sus coordenadas polares r comate está así que hagamos como en el anterior ponemos aquí a r este es teta y utilizando el teorema de pitágoras tenemos que este que está aquí es x a este que está acá es exactamente y acá está x y el teorema de pitágoras me dice que x cuadrada massieu cuadrada es igual a ere cuadrada y tenemos que la tangente de teta la tangente de este ángulo la tangente de teta utilizamos soca toa toa que es el opuesto sobre el adyacente es de entre equis y eso es todo lo que necesitamos pero claro si tu quieres ir más allá y anotarlo en tu cuaderno vámonos para el otro lado como puede expresar allí sí tengo r y theta como puede expresar allí sí tengo r y theta como puede encontrar allí es decir como están relacionadas r iii y iv cuál es su relación con theta r es la hipotenusa y es el lado opuesto vamos a escribirlo sólo que tohá que relaciona al opuesto y la hipotenusa si al opuesto de la hipotenusa pues el seno el seno de teta es igual al opuesto este lado opuesto que es y así que es sí sobre la hipotenusa que s r aquí ponemos ere y si multiplicó ambos lados por r obtengo r seno de teta es igual a g y ahora hagamos lo para el otro lado y entonces qué es lo que relaciona a x si el adyacente con r pues tengo el coche no acá el coseno de teta es igual al adyacente que es x si aquí va x dividido entre r que es la hipotenusa multiplicamos ambos lados por r y obtenemos x igual a r coseno de teta y una vez que estamos equipados con estas fórmulas que las obtuvimos de las identidades trigonométricas de soca tohá ésta también salió de shock a tohá y observemos estas tres ecuaciones que tenemos aquí sí tengo estas dos puedo deducir la tercera y lo que está acá arriba pues es el teorema de pitágoras y con estas herramientas estás totalmente equipado para convertir coordenadas rectangulares a polares y eso haremos en el próximo vídeo