Factores de integración 1

mucho de lo que aprenderán en ecuaciones diferenciales es en realidad una cantidad impresionante de bolsas con trucos y en este vídeo les voy a mostrar uno de ellos es muy práctico y más allá de esto bueno siempre es bueno cuando algún día se conviertan en matemáticos o físicos y se encuentren con un problema sin resolver uno de estos trucos que a lo mejor parecerán muy sencillos les pueden servir para resolver este tipo de problemas y bueno si están llevando un curso de ecuaciones diferenciales para lo que les va a servir pues es a resolver su examen así que aprendamos el truco de los factores integrantes digamos que tenemos una ecuación diferencial 3x y más y voy a tratar de escribir lo más nítido posible 3x yemas y cuadrada y más x cuadrada más que será más xy por prima la derivada de ye respecto de x y lo igual vamos a hacer así que ya que hemos repasado esto en vídeos anteriores siempre que tenemos una ecuación de esta forma como que nos interesa a ver si es una ecuación exacta verdad decimos bueno esto luce como como una ecuación diferencial exacta consume suena y demás como lo demostramos bueno derivamos la primera parte respecto de y que es nuestra función m y vemos si esto es igual bueno derivamos respecto de nuestra función m que es 3x yemas de cuadrada y esa derivada es 3 x + 2 y ahora derivemos esta función que es nuestra función n vamos a derivar lo respecto de x ok entonces derivamos en el respecto de xy nos queda 2x y esto para que sea una ecuación diferencial exacta tendrían que ser iguales verdad pero este no es el caso aquí vemos sólo observando estas dos que no son iguales por lo tanto no puede ser una ecuación diferencial exacta de esta forma sin embargo sin embargo qué pasaría si hubiese algún factor o alguna alguna función que pudiésemos multiplicar en ambos lados de la ecuación para convertirla en una ecuación diferencial exacta así que vamos a proponer una función que vamos a llamar new y vamos a multiplicar la ecuación diferencial de ambos lados por esta función new que no no sabemos cuál es y vamos a ver si podemos volverla una ecuación exacta muy bien entonces al multiplicar de ambos lados por un amigo que en principio puede ser una función de xy de ahí yo solo la voy a proponer por ahora que sea una función que depende exclusivamente de x ok entonces ustedes pueden proponer que sea una función que dependa de ella y lo podrán resolver haganlo como ejercicio si lo hicieran una función general que depende de xy de ye se vuelve muy complicado así que vamos a proponer que es una función que depende de x new de x si multiplicamos del lado izquierdo nos queda mide x x 3 x + y al cuadrado y ahora más me de x x x x cuadrada más xy que multiplica a prima y esto igual a 0 por mil que es cero porque lo que quiero que quede claro es que si multiplique del lado derecho por un año pero como multiplique por cero pues da lo mismo verdad entonces este mide x cuando lo multiplicamos nuestro objetivo es ver si podemos llevarlo a una ecuación exacta ok entonces ahora nuestra función m es esto que estoy subrayando de rosa ok y esta otra que voy a subrayar ahora es nuestra función n así que la derivada de esto respecto de qué es vamos a ver bueno si estamos tomando la parcial respecto del 'new de x es una constante así que no no la derivamos sale entonces tomamos la parcial respecto de iu y todo lo que depende de x es una constante así que finalmente voy a escribirlo la parcial respecto de de esto es mu de x por la derivada de este paréntesis respecto de y que es 13 x + 2 ok esto es la parcial de esta nueva función respecto de ella y cuál es la parcial respecto de x de esta nueva función aquí vamos a usar la regla del producto así que tomamos la derivada de muse respecto de x que ya no es una constante porque ahora derivamos respecto de x así que la derivada de miu de x respecto de x bueno pues es la new prima de x y multiplicamos por ahorita ahorita que recuerdo mío es como un sonido ruso para la letra griega verdad que estamos escribiendo pero bueno ese era una nota multiplicamos esta mi prima por equis cuadrada más equis y le sumamos mide equis y la derivada de este factor que está en el paréntesis respecto de x que es 2x más y todo esto lo resolvimos utilizando la regla del producto y entonces al multiplicar por mil obtenemos esta relación de las derivadas parciales que nos interesan y queremos hacer una igualdad de estas dos expresiones para que sea exacta y así vamos a tener que ver cómo es nuestra función misma ok vamos a ver de este lado tenemos que muse de x multiplica 3 x 2 y ahora el factor que tenemos con mide x del lado derecho lo vamos a restar de ambos lados y tenemos menos mide x 2x es decir el del lado derecho lo pasamos del lado izquierdo restando ok ahora qué es lo que nos queda del lado derecho vamos a escribirlo con amarillo sale nos queda mi prima de x x x cuadrada más xy vamos a escribir lo mío prima de x x x cuadrada más xy muy bien ahora vamos a simplificar del lado izquierdo tenemos newport de x perdón por 3 x 2 esto es factor izando mi x y restamos 2 x menos ok y esto va a ser igual a mi prima de x x x cuadrada más x que es simplemente lo que teníamos arriba muy bien entonces simplificamos lo que tenemos en el paréntesis y nos queda mide x x 3 x 2 x verdad es agrupando las x y nos queda x y luego 2 y menos es simplemente y y esto es igual a mi prima de x que simplificamos de este lado al factorizar una x del lado derecho muy bien factor izamos una x y que nos queda x que multiplica a x más muy bien entonces ahora ya tenemos una nueva ex 3 expresión y podemos simplificar dividiendo de ambos lados de la igualdad por x + y entonces este x + 10 se cancela de ambos lados suponiendo que x + es distinto de 0 así que me dé x es igual a mi prima de x x x verdad simplemente nos quedó mi prima de x por x y ahora así funciona mi cerebro me gusta reescribir es también prima de x en su forma con un operador donde en su lugar de escribir mi prima de x voy a poner de mi respecto de x entonces reescribo nada más voy a reescribir mi de x es igual a derivada de mí respecto de x de su forma con operador y multiplicó por una x y esto en realidad es una ecuación diferencial separables y si se dan cuenta entonces resolver quién es mío que es nuestro factor integrante al resolver la ecuación diferencial así que si pongo mide x / x esto será igual a la derivada de mí respecto de x ahora vamos a dividir ambos lados por mide x y del lado izquierdo tenemos 1 / x igual a uno entre mil uno entre mil que es mi de equis pero sólo voy a poner uno entre mil por demi de equis ok ahora nos seguimos del lado derecho y multiplicamos por ambos lados por b x y nos queda uno entre x de x igual a uno entre mil de miu que si integramos de ambos lados de este de esta expresión tendremos el logaritmo natural del valor absoluto de x igual a logaritmo natural de muse etcétera pero debe quedar claro que x es igual a mí o correcto son idénticas estas expresiones simplemente x toma el valor o el papel de miu del lado derecho entonces lo que nos dice es que mide x es igual o que me es igual a x como quieran así que ya tenemos nuestro factor integrante y si lo desean bueno podemos tomarla a la primitiva pero bueno solo por mirar esta expresión sabemos que mío es igual a equis porque ambos lados son completamente en lo mismo de todas formas ahora tenemos nuestro factor integrante pero ya me estoy quedando sin tiempo así que en el siguiente vídeo vamos a multiplicar la ecuación diferencial original y la vamos a hacer exacta luego lo resolvemos pero ya lo veremos en el próximo vídeo