Fórmula e identidad de Euler

en el vídeo pasado hicimos una serie de mclaren muy sencilla la de la equis lo que vimos es que pues se parecía muchísimo a una combinación de las aproximaciones polinomiales de coseno de x y de seno de x sin embargo había algunas cosas raras que pasaban por ejemplo aquí había unos signos - que aparecían y entonces si sumamos estas dos pues no obteníamos exactamente a la equis lo que quiero hacer en este vídeo es presentarte un truco para poder reconciliar estas tres expresiones el truco va a tener que ver con los números complejos comencemos considerando esta expansión polinomio al de mclaren para la equis hasta ahorita sólo escribir una cantidad finita de sumandos pero en realidad esta aproximación se vuelve una igualdad cuando digo y sigo sumando términos todavía no lo he demostrado pero bueno ya hablaremos de eso después en otro vídeo pero qué sucede si tomamos en vez de esto a la equis ya sé que puede parecer un poco raro lo voy a poner aquí a la equis pero bueno como que uno se puede preguntar cómo le puedo hacer para elevar a un número que es imaginario o sea cómo puedo hacer una potencia a la raíz de menos eso suena súper raro lo bueno es que ahora que ya tenemos una expresión polinomio al de la equis entonces podemos darle un cierto sentido porque pues porque ya sabemos elevar a diferentes potencias ya sabemos que a la 1 y al cuadrado es menos 1 y al cubo es menos y así sucesivamente entonces qué sucede cuando tomamos la y x una vez más a que hay una equis y hay que cambiarla por una y equis entonces siempre que aquí veamos una equis en esta expresión polinomiales simplemente vamos a poner un equis vamos a hacer eso y ahí x nos quedaría aproximadamente igual o bueno igual ya sabes si tenemos una infinidad de sumandos teníamos una igualdad y vais a que esta igualdad si va a ser una cosa bien profunda y a lo mejor no te puede convencer de la importancia de esto pero fíjate va a estar padre va a ser igual a uno más en vez de una equis tenemos una y equis es uno más y equis y luego hay que sumar entonces cuánto es y x al cuadrado entonces eso de ahí lo voy a hacer aquí a la derecha entonces y x al cuadrado entre 2 factorial y al cuadrado es igual a menos 1 entonces lo hay que multiplicar por x al cuadrado y dividir entre 2 factoriales nos quedaría menos equis cuadrado entre 2 factorial bueno creo que más o menos aquí se ve que es lo que va a pasar vamos ahora con x al cubo entonces en vez de x ponemos x entonces tenemos y x al cubo y bueno sabes que déjame dejar de borrar un poco esto para no saltarme pasos aquí nos va a quedar y x al cuadrado dividido entre 2 factorial no no perdón este menos 1 debería ser más entonces es más más y x al cuadrado dividido entre 2 factoriales más y x al cubo dividido entre 3 factorial más y x a la cuarta dividido entre 4 factorial y así podemos seguir sumando términos de japón uno más y x a la quinta dividido entre cinco factorial y más bueno así nada más sale entonces vamos a evaluar estos y ekiza estas diferentes potencias entonces nos quedaría igual a uno más y equis y luego x al cuadrado es lo mismo que y al cuadrado por x al cuadrado y al cuadrado es menos uno entonces nos queda menos x al cuadrado entre 2 factorial y ahora vamos con iu x al jugo a ver nos queda y al cubo y al cubo es pues es y al cuadrado por y e y al cuadrado es menos uno entonces nos queda menos y queda menos y por x al cubo dividido entre tres factorial vamos a seguirle con el quinto término el de x a la cuarta nos quedaría más y aquí tenemos y a la cuarta con tres ya la cuarta pues es decía al cuadrado y eso elevado al cuadrado entonces es menos 1 al cuadrado que simplemente es 1 entonces y a la cuarta es uno nos queda x a la cuarta dividido entre cuatro factorial a ver vámonos a este de acá nos queda pues saber y a la quinta y a la quinta y a la cuarta por y pero y a la cuarta ya es 1 entonces nos queda simplemente y y por equis a la quinta entonces 10 más y por equis a la quinta entre 5 factorial observe que aquí ya se empieza a ver un patrón aquí tenemos un 1 luego y luego menos 1 luego menos sí y otra vez uno y luego seguiría un menos uno o sea menos equis a la sexta entre a no perdona aquí me equivoqué entre seis factorial y luego un menos sí y luego eso es x x a la 7 dividido entre 7 factorial va entonces bueno ya tenemos algunos términos algunos son reales otros son imaginarios o sea unos tienen y otros no entonces a lo mejor lo que nos conviene en separarlos vamos a separar esta expresión en su parte real y en su parte imaginaria entonces ahí x es igual a bueno otra vez cuando tenemos una infinidad de sumandos a lo siguiente vamos a separar la parte real y la parte imaginaria entonces este es real este de aquí también es real este de aquí es real este también es real y ahora vamos a poner las partes imaginarias pero bueno déjame copiar la parte real primero nos queda 1 - x al cuadrado entre 2 factorial más x a la cuarta entre 4 factorial y pues aquí ya se va poniendo emocionante la cosa menos x a la 6 entre 6 factorial y bueno hasta ahí es todo lo que tengo de la parte real hasta ahorita pero pues le voy a poner más puntos suspensivos para indicar que sigue la suma y ahora vamos con las partes imaginarias es decir las partes que tienen y déjame de una vez sacarla y porque vamos a factorizar la entonces es más y x y x se vuelve un x y luego el siguiente término es menos y por x al cubo entre 3 factorial entonces nos queda menos x al jugó entre 3 vale luego aquí tenemos un y equis a la quinta entre cinco factorial más equis a la quinta entre cinco factorial y nos queda uno más el último que nos queda es el de equis a la 7 entre 7 factorial entonces menos x a la 7 entre 7 factorial y cierro paréntesis no sabes que mejor le borró los paréntesis y le sumó puntos suspensivos porque esta suma sigue y sigue hasta infinito entonces ya encontramos una expresión para el ala y equis que a estas alturas debe de tenerte sentado al borde del asiento por la emoción porque vámonos para arriba en los vídeos anteriores ya habíamos encontrado esta expresión morada como la parte polino mial o sea como la serie de mclaren de coseno de x fíjate es este de aquí estoy aquí es simplemente la aproximación de taylor en el punto x igual a 0 para cosas de x entonces estas dos expresiones son iguales y por tanto acá abajo voy a indicar que esta expresión se aproxima a coseno de x y del lado derecho tenemos seno de x entonces es exactamente la misma expresión parece ser que logramos reconciliar las expresiones de seno coseno y algo parecido a la equis entonces esta expresión se aproxima a seno de x ahora si me crece esto de que realmente cuando sumamos una infinidad de términos las aproximaciones se vuelven igualdades vamos a obtener un resultado fantástico e increíble porque como podemos resumir todo esto pues fíjate cambiando cada una de estas aproximaciones por las igualdades podemos escribir que era la x es igual es exactamente lo mismo que coseno de x se lo voy a poner con otros colores es coseno de x más y por seno de x esto hasta de escalofrío es verdad más y veces seno de x esto de aquí se llama la fórmula de hoy leer la fórmula de hoy leer y está buenísimo si esto no te parece suficientemente excitante y bueno realmente debería de serlo ella tenemos un montón de cosas súper padres aquí ya tenemos viene como de interés compuesto tenemos en el coseno que viene de cosas trigonométricas y del círculo unitario y también tenemos una raíz de menos 1 estoy aquí parece ser fantástico increíble pero si no te parece lo suficientemente impresionante o lo suficientemente cool vamos a tomar esta expresión de aquí vamos a suponer que cierta y la vamos a evaluar en x igual a pib entonces simplemente para ponerle otro número así de estos que son así super uso vamos a ponerle x igual aquí entonces obtenemos el ala y por pi es igual a es igual a jose no de pie 4 es coseno de pie tenemos que acordarnos un poco de nuestras relaciones trigonométricas déjame hacer un dibujo y es dar media vuelta al círculo unitario entonces coseno de pies menos uno y del otro lado tenemos seno de pi seno de pie cero entonces este término se cancela y y entonces qué sucede cuando evaluamos en pi tenemos algo fantástico esto de aquí se llama la identidad de hoy leer la identidad de hoy leer nos dice euler s dice hoy leer pero bueno entonces fíjate vamos a sumar uno de ambos lados y nos va a quedar algo más padre lo voy a poner con colores distintos para hacer énfasis nos queda el elevado a la i por pi más uno más uno es igual voy a poner la igualdad con un color neutral es igual a entonces como sume uno de ambos lados me queda 0 es igual a 0 uff esto de aquí estoy aquí es una de las cosas que más me sacan de onda en las matemáticas y más se me hacen increíbles y fantásticas siento yo que hay como una conexión con el universo que no puedo entender y viene como que pues de esto de intentar encontrar las raíces de todo tipo de polinomios entonces viene pues digamos como de sacar la raíz de menos uno ahora vámonos con pie y es la razón entre el perímetro de un círculo y su diámetro este número que es interesante por sí mismo viene de un lado muy distinto que ahora qué es lo que pasa con él pues viene de otros lados y viene como de interés compuesto pero pues también viene de esta noción de una función cuya derivada es ella misma es otro número fascinante parecen muy distintos los lugares de donde vienen y de dónde vienen y de dónde vienen y por supuesto hasta parece estar demás justificar porque es 0 y 1 también son importantes 1 school por ser la identidad multiplicativo y 0 por otro lado es la identidad aditiva entonces la identidad de hoy leer relación a estos 5 números que son súper importantes y súper fundamentales para las matemáticas de una forma bien misteriosa que no puede más que dejarme atónito la verdad si esto no te sorprende si no te emociona y si no te mueve el tapete entonces no tienes corazón