Probabilidad de que la media muestral exceda un valor. Ejemplo

el hombre adulto promedio bebe dos litros de agua cuando se ejercita al aire libre con una desviación estándar de 0.7 litros usted está planeando un viaje de un día completo en la naturaleza para 50 hombres y llevará a 110 litros de agua cuál es la probabilidad de que se queden sin agua vamos a pensar que lo que está ocurriendo aquí existe una distribución de de cuántos litros de agua necesita una persona promedio cuando se encuentra activa al aire libre vamos a graficar esto para que quede más claro cada persona va a necesitar más de 0 litros entonces aquí estoy dibujando los ejes aquí pongo el cero y nos dicen que el promedio de litros que se beben es decir la media de la cantidad de agua que un hombre necesita cuando está activo al aire libre es de 2 litros y tiene una desviación estándar de 0.7 litros aún no sabemos si esta es una distribución normal o no puede ser una distribución muy extraña y sabemos que todos necesitamos un poco de agua pero a lo mejor algunos necesitan muy muy poquito de agua y muchas personas que necesitan el agua en promedio de 2 litros y otros pocos que beban muchísima muchísima agua así que ésta podría ser la distribución real y nuestra desviación estándar va a estar a punto 7 litros de distancia así que tendríamos si eso es un litro dos litros tres litros esa desviación estándar estaría aquí ese es el promedio y aquí estaría de nuevo nuestra división estándar esta es la desviación estándar a la derecha y a la izquierda y sabemos que nuestra desviación estándar es de 0.7 litros ese es el promedio de cuánta agua necesita una persona cuando está activa un hombre cuando está activo lo interesante de este problema es que estamos planeando todo un día de actividades en la naturaleza para 50 hombres y llevaremos 110 litros de agua cuál es la probabilidad de que se nos acabe el agua está probabilidad de que nos quedemos sin agua lo vamos a escribir aquí la probabilidad de quedarnos sin agua es igual o es lo mismo que la probabilidad de que usemos más de los 110 litros y usar más 110 litros en nuestro día de actividad de célula naturaleza qué es lo mismo que la probabilidad que si usamos más de 110 litros pues en promedio tendríamos buenos 110 litros entre 50 hombres los que dan para no errarle vamos a sacar la calculadora y esto va a ser nuestro promedio va a ser si tenemos 110 litros entre 50 personas o 50 hombres va a ser igual a 2.2 litros se nos acabaría el agua siempre medio se consumen más de 2.2 litros de agua por persona así que esto lo mismo que la probabilidad de que el promedio en el uso del agua o consumo del agua por persona de nuestros 50 hombres mayor en efecto si es mayor que 2.2 litros 2.2 litros por hombre lo que está pasando aquí es que estamos tomando 50 hombres como muestra de la población universal tenemos esta información que no sabemos de dónde salió pero nos dice que el hombre promedio bebe 2 litros de agua y que la desviación es esto a lo mejor hicieron un gran estudio y ese es el mejor estimado que encontraron en donde ese es el promedio y esa es la desviación estándar y estamos tomando la muestra de 50 hombres y lo que necesitamos encontrar es cuál es la probabilidad de que la media de nuestro muestreo vaya a ser mayor que 2.2 litros y para eso tenemos que encontrar cuál es la media de nuestra muestra o la distribución de la media de nuestra muestra y esto va a tener que ser una distribución normal y sabemos algunas de las propiedades de esta distribución normal si tomamos muestras de digamos 50 hombres esto va a ser y lo voy a escribir y la distribución de muestreo y distribución de muestreo de de la media de la muestra cuándo n o cuando el tamaño de nuestra muestra es igual a 50 cuando el tamaño de nuestra muestra es de 50 vamos a encontrar cuál es la diferencia entre la media de este estudio y la media de nuestra muestra de 50 personas y calcular su promedio del consumo de agua ahora digamos que esta es la frecuencia y estos son los diferentes valores ahora el valor medio de esto lo voy a escribir aquí la media de nuestra distribución de muestreo esto es lo que significa esta x con barrita nuestra muestra va a ser igual si nosotros hiciéramos estos millones de veces si fuéramos a graficar todas las medias de la media de muestreo mostraríamos que esto esta distribución media sería la distribución media de nuestra población en realidad por lo que va a tener el mismo valor y lo pongo en el mismo color que esta población de acá igual a 2 litros así que seguimos centrados en 2 litros pero lo genial de esto es que la distribución de muestreo de esta muestra es decir si tomamos 50 personas encontramos su media y gráfica mos la frecuencia esto va a ser una distribución normal sin importar cuál haya sido la forma de la distribución esa tiene una desviación estándar conocida por lo que no es normal entonces quedamos que esta va a ser una distribución normal y la desviación estándar eso lo vimos en un vídeo anterior la desviación estándar o la varianza la varianza de nuestra media de la muestra va a ser igual si esa es la desviación estándar va a ser la varianza de la población dividida entre m si queremos la desviación estándar de esta distribución de aquí simplemente tenemos que sacar la raíz cuadrada en ambos lados de esta igualdad si sacamos la raíz cuadrada en ambos lados tenemos la desviación estándar de la media de la muestra que es igual a la raíz cuadrada de lo que está aquí que es la desviación estándar de la población entre la raíz cuadrada de n conocemos el valor de la desviación estándar que es 0.7 así que vamos a sustituir lo aquí y la raíz cuadrada de nuestra muestra que es 50 raíz cuadrada de 50 vamos a sacar la calculadora para encontrar el valor exacto así que escribimos punto 7 entre raíz cuadrada de 50 y tenemos punto 0 98 así que podemos redondear esto a 0.0 99 así que lo escribimos 0.0 99 y esta es la desviación estándar de esto aquí vamos a tener una desviación estándar más pequeña por lo que esta distribución va a lucir así sí aquí tenemos 3 litros y acá tenemos un litro aquí vamos a tener una desviación estándar más pequeña así que vas a tener algo mucho más angosto que esto puede tratar de dibujar lo mejor algo más o menos así donde las divisiones estándar es casi punto 1 casi una décima parte así que las podemos dibujar más o menos por acá tenemos nuestra distribución que es una distribución normal y ahora vamos a regresar a la pregunta original que queremos responder queremos conocer la probabilidad de que nuestra muestra tenga un promedio que sea mayor a 2.2 litros por hombre esta es la distribución de todas las muestras posibles así que para el promedio de 2.2 eso sería más o menos por acá así pues lo que estamos preguntando en esencia es que nos quedaríamos sin agua si nuestra muestra cae dentro de esta área por lo que tenemos que encontrar cuál es el área bajo esta curva y para calcular esto necesitamos encontrar cuántas desviaciones estándares tenemos por encima de la media que va a ser nuestro puntaje z y que buscaremos en nuestra tabla act para calcular cuál es el área bajo esta curva nos interesa conocer lo que está arriba del punto de 2.2 litros por hombres 2.2 litros 2.2 litros está justo aquí es esto menos 2 nos queda punto 2 por encima de la media por encima de la media y si queremos verlo en términos de la desviación estándar vamos a dividir esto entre la desviación estándar de esta distribución de acá y eso ya lo calculamos la desviación estándar de esta distribución es 0.09 y vimos una fórmula en donde tomamos este valor y le restamos este otro y se divide entre la desviación estándar y eso es lo que estamos haciendo aquí queremos encontrar cuántas divisiones estándares se encuentran por encima de la media en la que estamos así que tomamos este número de acá y lo dividimos entre la desviación estándar 0.0 99 y obtenemos con nuestra calculadora y justamente tengo el número exacto aquí así que tenemos este punto 2.2 entre este valor de acá y aquí tenemos la respuesta anterior y todo esto va a ser igual a 2 puntos 0 2 0 así que esto significa que este valor que esta probabilidad es la misma probabilidad de tener 2.02 de desviación estándar y debo escribirla mejor así detener una probabilidad vamos a escribir la mejor en este lado donde hay más espacio la probabilidad de que la media de nuestra muestra mayor es decir que los 50 que seleccionamos si tomáramos muestras de ellos y los graficar amos tendríamos esta distribución pero del grupo de 50 que seleccionamos la probabilidad de quedarnos sin agua es la misma que la probabilidad de que la media de estas personas sea mayor que 2.020 de las desviaciones estándar de las desviaciones estándar por encima de la media por encima de la media de esta distribución y esto que va a ser bueno aquí tenemos que buscar en nuestra tabla z éste 2.020 es el valor de cada punto 2 dividido entre 0 puntos 0 99 vamos a hacer un resumen aquí quedamos que tenemos que encontrar la probabilidad de que esta muestra sea mayor que el 2.020 de las desviaciones estándar por encima de la media y como les comentaba para calcular esto necesitamos consultar nuestra tabla zeta recordemos que la tabla zeta nos dice cuál es el área que se encuentra por debajo de ese valor así que la zeta de 2.02 qué es el valor con lo que estamos trabajando ahorita 2.02 vamos a buscar el primer dígito que tenemos 2.0 y el a 2.002 aquí está dos puntos 0 2 está por acá aquí esta 2.0 y el siguiente dígito está en esta columna punto 0 2 y aquí está donde se intersectan vamos a escribirlo aquí abajo tenemos que ser muy cuidadosos aquí de escribir la cantidad correcta 0.9 783 y no es este valor de acá este valor en la tabla z nos está dando el área de aquí que estoy iluminando en rojo no desde dando la probabilidad de que nuestro valor quede por debajo de 2.02 de desviación estándar por encima de la media nos está dando este valor de aquí para responder a nuestra pregunta para encontrar esta probabilidad de acá debemos restar esto a 1 ya que todo esto es igual a 1 de nuevo tomamos nuestra calculadora y ahora restamos 1 - punto 9 783 lo que nos da como resultado 0.02 17 así que esta parte de aquí en verde es punto 0 21 7 y otra manera de decir esto es que tenemos una probabilidad del 2.17 por ciento de quedarnos sin agua y con esto terminamos el problema sólo déjenme verificar que tengo la cantidad correcta muy bien si es la probabilidad del 2.17 de quedarnos sin agua