Error estándar de la media

hemos visto que en los últimos vídeos tomamos una distribución loca o también puede ser una distribución normal pero no es necesario que tengan una distribución normal digamos que tenemos esta distribución loca como estoy dibujando acá y hemos visto varias veces que tomamos muestras de esta distribución toda loca digamos que vamos a tomar que m el número de muestras es igual a 10 así que tomamos 10 instancias de esta variable aleatoria sacamos su promedio y dibujamos nuestro promedio al dibujar el promedio tenemos una instancia acá y hacemos esto una y otra vez obtenemos 10 muestras de esa variable aleatoria sacamos su promedio la dibujamos y eventualmente cuando hacemos esto muchas pero muchas veces en teoría un número infinito de veces vamos a aproximarnos a la distribución de muestreo de la media de la muestra con n igual a 10 no va a ser una distribución normal perfecta pero va a ser bastante aproximada sería perfecta solo si m fuera igual a infinito así que eventualmente todas nuestras muestras van a seguir graficando y acumulándose más o menos así y eventualmente se tendrá algo que luce más o menos así y del vídeo anterior vimos que bueno si queremos hacerlo de nuevo pero esta vez con m igual a 20 la distribución que vamos a obtener va a ser mucho más normal y en futuros vídeos veremos más a detalle los conceptos de sesgo y curtósis así pues esta distribución con en e igual a 20 va a ser mucho más normal y algo mucho más interesante es que va a tener una desviación estándar bastante más pequeña digamos que la media de esta variable aleatoria es un 165 y la media aquí también va a ser 5 la media de la distribución de muestreo de la media de la muestra también va a ser 5 y aquí no importa cuál sea el valor de n esta media de la muestra también va a ser 5 pero nuestra descripción estándar va a ser mucho más pequeña que cualquiera de las dos anteriores así que puede lucir más o menos así si lo hiciéramos con una muestra todavía más grande vamos a ponerle un color diferente una muestra con n igual a 100 lo que vamos a tener es algo que se acerca todavía un más a una distribución normal tomamos 100 muestras de esta distribución las promediamos y las dibujamos y así lo seguimos haciendo y si lo seguimos haciendo lo que vamos a tener es algo que es aún más normal que las anteriores mucho más cercano a una verdadera distribución normal pero lo más obvio a la vista es que va a tener una desviación estándar todavía más pequeña por lo que va a tener una desviación estándar mucho mucho más pequeña se va a ver algo más o menos así y veremos cómo se hace esto en una aplicación de simulación que veremos en el siguiente vídeo oa lo mejor después en este mismo vídeo así que dos cosas suceden conforme aumentamos el número de muestras dos cosas suceden una nos volvemos más normales y nuestra desviación estándar se hace más pequeña así que la pregunta que surge es existe alguna fórmula si yo sé que la desviación estándar estas medias reacciones están de mi función de distribución de probabilidad original y esta es la media conozco la desviación estándar y conozco n que va a estar cambiando conforme yo vaya aumentando el número de muestras si yo conozco la división estándar y conozco n a lo mejor también conozco la varianza ya que es la desviación estándar al cuadrado si no recuerdan esto pueden realizar los vídeos anteriores de estadística pero si yo conozco la varianza de mi distribución original y si yo conozco cuál es mi n cuantas muestras voy a tomar cada vez que haga un promedio de ellas para poder graficar las en la distribución de muestreo de la media de la muestra habrá alguna manera de predecir cuál será la media de estas distribuciones pero cuál será la desviación estándar de estas dos distribuciones y para no confundirnos vamos a hablar mejor de la varianza ya que podemos encontrar la desviación estándar a partir de ésta esta es la varianza de nuestra distribución original ahora para mostrar que esta es la varianza de nuestra distribución de muestreo de la media de la muestra lo escribí aquí esa es la varianza de nuestra media la media de nuestra muestra recordemos que esta es nuestra media verdadera esta letra muy griega es la media real es igual a la media mientras que la equis con la línea encima de nuestra media de la muestra lo que aquí estamos diciendo es que si aquí tenemos la varianza de nuestra medida de la muestra ésta va a ser una distribución verdadera si nosotros conociéramos de antemano esta distribución ésta tendría una varianza ésta tiene una media y esa también es otra media si hacemos bien nuestra notación ésta va a ser la media de la distribución de muestreo de la media de la muestra así que esta es la media de nuestras medias y resulta que son las mismas esta es la media también de nuestras muestras y también va a ser lo mismo el punto de este vídeo se encontra si hay alguna manera de calcular esta varianza conociendo la varianza de nuestra distribución original y el número de elementos de la muestra y pues que creen resulta que si la hay no voy a desarrollar la prueba aquí pero les voy a dar la intuición de ello ya que ustedes saben que por cada prueba que se hace si ustedes toman 100 muestras es mucho más probable que ustedes lleguen a la media verdadera que si tienen una n de 2 o de 5 es muy poco probable que ustedes puedan llegar a esta media así que yo creo que ustedes intuyen que el llegar a la media es inversamente proporcional al tamaño de la muestra n mientras más grande sea nuestra n más pequeña será la desviación estándar y resulta que esto es muy sencillo no les voy a hacer la prueba formal sino les voy a dar el conocimiento para que ustedes lo puedan usar siempre en estadística dudó en sí darles primero la definición formal o darles el conocimiento más práctico pero siempre me decido por darles el conocimiento práctico ya que es lo que más se usa las pruebas experimentales creo que es lo que necesitan en esos momentos ya habrá tiempo más adelante para las definiciones formales resulta que la varianza de la distribución de muestreo de la media de la muestra va a ser igual a la varianza de la distribución original esta beca dividida entre n que más sencillo puede haber si esto de que arriba tiene una varianza de 20 me acabo de inventar este número y en nuestra n también es igual a 20 entonces la varianza de la distribución de muestreo de la media de la muestra para una n igual a 20 y con esta variante de 2020 entre 20 pues va a ser igual a 1 así que nuestra varianza es igual a 20 entre 20 igual a 1 esa es la varianza de distribución original y ésta va a ser la varianza de la media de la muestra y nuestra desviación estándar va a ser la raíz cuadrada de esto la raíz cuadrada de 1 queda en 1 así que nuestra fórmula quedaría así sacamos la raíz cuadrada en ambos lados y nos queda que la desviación estándar de la distribución de muestreo de la media de la muestra que normalmente se le llama a la desviación estándar de la media también se le conoce y esto lo voy a escribir acá el error estándar de la media estándar de la media todas estas cosas que acabo de mencionar significan la desviación estándar de la distribución de muestreo de la media de la muestra sé que esto es un poco confuso ya que siempre usa las palabras media y muestra lo bueno de tener el vídeo es que ustedes se pueden poner pausa en cualquier momento para darse un momento y comprender bien de lo que les estoy hablando lo importante es que si sacamos la raíz cuadrada en ambos lados de esta ecuación nos quedará que la desviación estándar de la distribución de muestreo de la media de la muestra va a ser igual a la desviación estándar de nuestra distribución original dividida entre la raíz cuadrada de n aquí obtuve la raíz cuadrada en el numerador y denominador personalmente prefiero recordar esta fórmula de acá que esta otra y a partir de esta deducir la de abajo ya que es mucho más directo para mí recordar lo que es la varianza y que es igual a la varianza entre el número de las muestras entre m así que aquí la desviación estándar cuando en es igual a 1 la desviación estándar de la distribución de muestreo de la media de la muestra es igual a 1 y aquí cuando en es igual a 100 nuestra varianza de la distribución de muestra media de la muestra o la varianza de la media va a ser igual a 20 que es la varianza de aquí arriba de la original entre 100 esto es igual a un quinto la desviación estándar de nuevo de la distribución de muestreo de la media de la muestra o el error estándar de la media va a ser igual a la raíz cuadrada de un quinto igual a 1 entre la raíz cuadrada de 5 así que esta parte de acá va a ser menos de un medio en la desviación estándar en comparación de la de quique la desviación estándar es igual a 1 y como pueden ver es mucho más delgada y ustedes pueden decirme bueno mira tú me has dado una fórmula pero no necesariamente tengo por qué creer bueno vamos a ver si podemos probar esto de manera práctica y para eso vamos a usar una simulación vamos a cambiar esta distribución vamos a hacer un poco más loca así y así esta es mi nueva distribución y vamos a tomar una m que sea fácil de encontrar su raíz cuadrada vamos a tomar una n de 16 y otra m de 25 y vamos a hacer 10.000 muestras o 10 mil intentos tomamos nuestros 16 muestras hacemos el promedio lo dibujamos aquí y esto lo repetimos 10.000 veces aquí abajo vamos a tomar 25 muestras las prometíamos y las gráficas vamos a hacer una animación simplemente para recordar cómo es esto aquí están 16 muestras se promedia y aquí se grafica otras 25 muestras se promedian y geográfica si yo repito esto 10.000 veces que es lo que voy a obtener aquí este resultado visualmente se pueden dar cuenta que cuando la n es mayor la desviación estándar es más chica aquí está más delgadito pero bueno vamos a escribir esto a ver si nos podemos acordar en esta distribución estándar que acabo de hacer mi desviación estándar es de 9.3 voy a acordarme de esto la distribución estándar original es 9.3 la desviación estándar de aquí es de 2.33 y la desviación estándar de aquí abajo es de 1.87 vamos a ver si podemos confirmar esta fórmula que les comenté hace un momento vamos a quitar esto de la pantalla por un momento y acordarnos de los valores aquí vamos a hacer espacio en la prueba que acabamos de hacer de mi distribución todo lo que tenía una desviación estándar de 9.3 cuando m es igual a 16 n igual a 16 cuando hicimos muchas pruebas cuando tuvimos la desviación estándar de la distribución de muestra de la media de la muestra o la desviación estándar del error experimentalmente determinamos que estas desviaciones de 2.33 y cuando ven es igual a 25 lo ponemos en otro color tenemos que el error estándar de la media es igual a 1.87 y recordemos nuestra fórmula sabemos que la varianza de la media o el error estándar o la varianza de la distribución de muestreo de la media de la muestra es igual a la varianza de nuestra distribución original dividida entre m sacamos la raíz cuadrada en ambos lados de la ecuación y nos queda el error estándar de la media es igual a la decisión estándar de la distribución original dividida entre la raíz cuadrada de n sustituimos estos valores para cuando en es igual a 16 vamos a hacer este caso 9.3 entre la raíz cuadrada de 16 que es 44 por 4 16 9.64 cuál va a ser 9.3 dividido entre 4 usamos nuestra confiable calculadora y vamos a tener 9.3 / raíz cuadrada de 4 por ejemplo es cuadrada de 16 que es cuatro nos queda 2.32 5 y lo redondeamos a 2.32 esto es igual a 2.32 lo que es muy cercano a él 2.33 este que obtuvimos realizando 10 mil muestras igual podríamos ver qué pasa con esto si hacemos 100.000 muestras o doscientas mil muestras ahora vamos a ver este otro aquí tenemos un 9.3 bueno vamos a dividir esto y hacer espacio tomamos nuestra desviación estándar de la distribución original es esta fórmula de aquí que nuestro error estándar debe ser igual a la desviación estándar de la distribución original 9.3 entre la raíz cuadrada de n en este caso en es igual a 25 su raíz cuadrada de 55 por 5 25 así que esto es igual a 9.3 entre 5 y debe acercarse el valor al 1.87 vamos a ver con nuestra calculadora cuál es el resultado así que la sacamos de nuevo ahora tomo 9.3 / 5 igual a 1.86 que es bastante cercano a 1.87 que tenemos acá esto es igual a y 1.86 1.86 como pueden ver lo que obtuvimos de forma experimental es casi exactamente y esto es después de usar 10.000 muestras a lo que nos da el resultado teórico si hiciéramos otras 10 mil muestras bueno quizás no llegue al número exacto pero es bastante bastante cercano al que obtenemos con la fórmula así que la varianza de la distribución de muestreo de la media de la muestra va a ser igual a la varianza de la distribución original no importa qué tan loca sea está dividida entre el número de las muestras el número de las muestras de las que se toma un promedio y en algunos momentos esto puede ser confuso ya que están tomando muestras de promedios de muestras así que se puede confundir si es el número de la muestra o el número de veces que estoy tomando el promedio de estas muestras por lo que nunca está de más hacer la aclaración normalmente cuando hablamos del tamaño de la muestra nos referimos a n al menos en mi mente cuando yo estoy pensando en pruebas si yo tomo viene igual a 16 y obtengo un promedio esa es una prueba y la gráfico lo hago nuevamente y hacemos otra prueba y así una y otra y otra vez pero bueno espero que esto les haya aclarado el concepto y que ahora comprendan cómo obtener el error estándar de la media