La derivada de x² en cualquier punto por medio de la definición formal

en el vídeo anterior encontramos la pendiente en un punto de la curva de la equis cuadrada pero ahora vamos a ver si podemos generalizar o encontrar una fórmula donde nos dé la pendiente en cualquier punto de esta curva llegó a la equis cuadrada así que permíteme redibujar mi función aquí nunca está de más tener un bonito dibujo ese es mi eje y este es mi eje x y mi curva está así ya lo han visto varias veces este es igual a equis cuadrada así que ahora vamos a hacer las cosas muy generales y de hecho vamos a escribir la definición de nuestra derivada si tenemos un punto aquí que le llamamos x es un punto general y queremos encontrar la pendiente en ese punto del valor de x queremos encontrar la función donde si ustedes me dan una x yo pueda encontrar la pendiente en ese punto x y a esa función le vamos a llamar f prima de x esta va a ser la derivada la derivada de fx recordemos que f es una función en donde si yo le doy un valor de x me va a regresar otro valor y cuando yo podemos dibujar esta curva de acá en f prima de x tenemos la misma equis pero en lugar de tener un punto de la curva vamos a tener la pendiente en ese valor de x que corresponde a el valor de la función x en ese punto aquí si ponemos un valor en la x vamos a recibir el valor de la pendiente en ese punto si escribimos un 3 aquí el valor que vamos a recibir va a ser un 6 esto lo vimos en el vídeo anterior y en el vídeo anterior vimos que vamos a expresar f prima de x como la pendiente de la línea secante entre este punto x y otro punto que está un poquito más alejado de éste así que la pendiente bien la salida secante es el valor de ye que corresponde al punto que está un poco más alejado de este punto x efe x + h - el valor de jane que corresponde a este punto x este de aquí es f x menos fx esto de arriba es la diferencia en el cambio engine y esto tiene que estar dividido entre el cambio en x este punto más alejado x + h menos este valor x esta distancia esa diferencia es h es la pendiente de la línea que une estos dos puntos y lo que comentamos es que podíamos tomar el límite cuando h tiende 0 para encontrar la pendiente de la línea tangente en el punto x que es mi punto de interés y bueno ya que repasamos todo esto vamos a aplicar esta idea a una función en particular que es en este caso nuestra ye igual a x cuadrada podemos considerar este punto con las coordenadas x como x cuadrada ya que fx es igual a de x cuadrada y este otro va a ser el punto vamos a ponerlo en otro color estas coordenadas serán x + h el punto en x en el eje x coma el valor en ya que es x + h al cuadrado en el vídeo anterior hicimos el ejemplo usando una x en particular que era igual a 3 pero ahora vamos a usarlo de manera general si ustedes me dan cualquier valor de x yo les podría decir cuál es la pendiente exactamente en ese punto si ustedes me dan un -3 yo les puedo decir cuál es la pendiente en ese punto de x igual a menos 3 así que vamos a aplicarlo aquí queremos encontrar el cambio de g entre el cambio de x o la diferencia en x antes que nada el cambio en g es la parte de esta coordenada eso que estoy subrayando aquí x + h al cuadrado que es el valor de esta x + h en la función el valor en que recordamos que es igual a x cuadrado por lo tanto este valor va a ser igual a x + h al cuadrado y con ambas coordenadas obtengo este valor en la curva lo mismo sucede aquí abajo cuando tengo mi valor de x mi valor en el eje y va a ser x al cuadrado y sé que se está complicando un poquito en el dibujo pero aquí lo pongo en otro color así que esto es igual a menos x al cuadrado mi diferencia y para relacionarlo con nuestra definición de la derivada esta parte de azul así que violente a esta otra parte que estoy subrayando aquí simplemente la evaluamos en nuestra función esta es nuestra fx igual a equis cuadrada simplemente lo evaluamos cuando x es igual a x + h si pusieras yo una aquí sería al cuadrado si pusieron la manzana aquí sería una manzana al cuadrado así que esto corresponde a esto otro y esta parte de aquí corresponde a esta x cuadrada entonces de nuevo este es nuestra diferencia en ye y ahora la vamos a dividir entre nuestra diferencia en x x + h - x o lo que es lo mismo h nuestro cambio en x es h y recordamos este es la pendiente de la línea que une 32 puntos pero lo que queremos encontrar es el límite conforme se va reduciendo la distancia entre estos dos puntos hasta que nuestra línea se convierte en una línea tangente por lo que es el límite cuando h tiende a cero y esto va a ser igual a nuestra f prima de x y esto es exactamente la misma definición de acaso lo que adecuándola a una función en particular este era para cualquier función y aquí conocemos cuál es la función de esta curva en este caso que fx es igual a x al cuadrado y eso lo aplicamos y ahora veamos si podemos evaluar este límite así que esto va a ser igual al límite bueno lo escribir mejor al límite cuando h tiende a cero y esto vamos a elevarlo al cuadrado x al cuadrado más 2 x x por h más al cuadrado - esta x cuadrada - x cuadrada y todo esto lo vamos a dividir entre h vamos a hacer un poco más de espacio para simplificar esto esta x cuadrada - x cuadrada se anulan y podemos dividir el numerador entre el denominador de manera que nos queda efe prima de x igual 2x h / h nos queda 2x y se me estaba olvidando escribir lo del límite que eso es muy importante el límite cuando h tiende 0 ahora si de estos 22 x h cuadrante h queda h y si se acuerdan del vídeo anterior cuando hicimos esto para una equis en particular cuando x era igual a 3 nos quedó 6 + delta x recordemos que delta x es exactamente lo mismo que esta h si aplicamos el límite cuando tiene 0 nos va a quedar que esto es igual a 2x así que acabamos de encontrar que si tenemos esta fx y ese es un muy buen resultado es emocionante 7x es igual a equis cuadrada la derivada f prima de x va a ser igual a esto 2x y quiero asegurarme de que ustedes sepan cómo interpretar esto en fx y ustedes me dan un valor de x yo les voy a decir el valor de la función en ese punto en cambio en f prima de x yo les voy a decir la pendiente en ese punto y vamos a dibujarlo para que quede todavía aún más claro vamos a tratar de visualizar una función que es la pendiente de otra función en un punto éste es mi eje y este otro este es mi eje efe este es mi eje x y vamos a dibujar esta función esta es la curva de mi función f x que es igual a equis cuadrada y bueno recordamos si ustedes me dan un punto en el eje x el punto 7 lo sustituya que sacó el cuadrado y obtengo el valor en que será 49 y la coordenada edad de este punto es 7,49 hasta aquí no hay nada nuevo estamos trabajando con funciones y ahora cuál será f prima de 7 que f prima de x es 2 por x así que 2 por 7 14 qué significa bueno esta es la pendiente de la línea tangente a este punto de x 7 así que si yo tomo este punto y le dibujar una línea tangente más o menos así que apenas roce nuestra curva no me quedo bonita vamos a dibujar la mejor el cambio de eje entre el cambio en x sería igual a 14 esta es la pendiente y vemos que es una pendiente bastante alta si quisiéramos encontrar la pendiente de este punto que digamos es no sé x es igual a 2 si x es igual a 2 la pendiente aquí será f prima de 2 igualados por 2 va a ser igual a 4 va a ser una pendiente mucho más suave la pendiente es 4 m de pendiente es igual a 4 cuál será la pendiente de mi x igual a 0 sabemos que es f de 00 al cuadrado es sigue siendo 0 es re prima de 0 que va a ser aquí a bueno 2 x 0 pues también va a ser cero así que aquí no saber pendiente la pendiente es igual a cero esta es mi línea tangente que coincide con el eje y no tiene ninguna pendiente lo cual se ve bastante lógico de que la línea tangente a nuestro punto de la curva cuando x es igual a cero sea una línea horizontal vamos a probar otro valor ahora el punto va a ser menos menos -1 así qué efe - 1 es igual a x al cuadrado 1 al cuadrado es igual a 1 aquí más o menos y efe prima de menos uno va a ser 2 x x 2 x menos 1 me queda menos 2 y eso significa que es una pendiente negativa cuando x es igual a 1 la pendiente de la tangente en ese punto de la curva va a ser negativa -1 este es mi tangente y es una pendiente que va hacia abajo tiene sentido la pendiente aquí la pendiente es igual a menos 2