Ecuaciones diferenciales de segundo orden lineales y homogéneas 4

vamos a resolver otro ejercicio de ecuaciones diferenciales de segundo orden que sean lineales y homogéneas esta vez voy a tomar la siguiente ecuación quiero que pone mucha atención es cuatro veces la segunda derivada de i con respecto a x menos ocho veces la primera derivada de que con respecto a x ya eso le voy a sumar tres veces y la voy a igualar a cero bien y voy a tomar las siguientes condiciones iniciales y evaluada en el punto cero esta vez va a ser 2 y prima es decir la primera derivada de ye evaluada en el punto cero va a ser un medio en los vídeos anteriores vimos con mucha calma cómo realizar este tipo de ejercicios en esta ocasión quiero verlo de una manera más rápida y que sea mucho más mecánica la idea era vulnera e iguala a la rx para así derivar la una vez para así derivar las dos veces y sustituir en la ecuación diferencial segundo orden y así poder sacar el polinomio característico este pueblo característico lo vamos a ocupar bastante para resolver la solución de esta ecuación diferencial más aún voy a escribir el polinomio característico de una vez aquí va a ser cuatro ere cuadrada menos 8 r 3 r esto va a ser igual a 0 de esta ecuación característica lo que queremos es encontrar sus raíces entonces tenemos 4 erre cuadrada porque está en la segunda derivada menos 8 r porque está en la primera derivada más 3 r más 13 r yo creo que no tiene sentido aquí tengo un pequeño error nuestra ser vamos a tacharlo no es 3 solito a secas ok entonces le queda 4 de cuadrada menos 8 r 3 igual a 0 la cual la podemos resolver no está fácil factor izando pero si por fórmula general del segundo grado aquella que dice así - b más menos la raíz cuadrada de b cuadrada menos 4 hace todo eso entre 2 a entonces sustituyendo que nos va a quedar pues que r va a ser igual a menos p - 8 x menos pues es 8 positivo más menos la raíz cuadrada de ocho cuadrados pero ocho cuadrados 64 menos 4 veces a que vale 4 por c que vale 3 todo esto dividido entre dos veces o sea ocho bien pero esto cuánto es 8 + - la raíz cuadrada de 64 menos 4 por 4 puntos 16 por 3 es 16 por 13 48 muy bien y todo esto dividido entre 8 cuánto es 64 menos 48 64 menos 48 pues es 20 menos 4 que es 16 sí claro 64 puntos 48 16 y entonces voy a poner 8 más menos la raíz de 16 todo esto entre 8 esto va a ser 8 más menos la raíz 16 64 entre 8 y si divido entre 8 me va a quedar pues 8 entre 81 más menos 4 entre 8 que es un medio entonces ya tengo las dos raíces de r que cumplen esta ecuación característica en para que no me confunda voy a borrar una vez que esté tachón y que quede bien bien borrado bien se ve ya mucho mejor y así no me voy a confundir r va a ser igual a la primera raíz pues es uno más un medio que son tres y la segunda raíz me va a quedar en este caso uno un medio que es un medio muy bien para que saque las raíces yo saqué estas raíces de mi polino un característico debido a que esas me van a servir para hacer una combinación de dos suman dos con mis funciones exponenciales es decir la solución general me va a quedar que igual hace uno por el ala tres medios x es decir la primera raíz por x más de dos y al a un medio x es decir la segunda raíz por x de este polinomio característico sacamos las dos raíces que no sirvieron para encontrar la solución general pero es hora de utilizar las condiciones iniciales pero antes de utilizarlas fíjense voy a ocupar la primera derivada de y entonces hagamos la de una vez mi prima va a ser igual y pues bajamos la constante entonces me queda tres medios de c-1 y a la tres medios de más un medio bajamos la constante por cerdos y al a un medio de x muy bien como ya no me cabe nada aquí voy a reescribir otra vez las condiciones iniciales que es con el que voy a trabajar ahorita y voy a terminar de resolver este problema sacando las constantes aquí estando otra vez mis condiciones iniciales y bajemos el pizarrón perfecto ok pero entonces me falta sustituir no quiere 0 es igual a 2 entonces pues sustituyendo que me queda si pongo 0 en lugar de x pues a la 01 entonces solamente me quedase 1 más de 2 porque a la 0 pues es otra vez 1 por 0 2 pues ese 2 y esto por mis condiciones iniciales tienen que ser igual a 2 bien y ahora es tiempo de utilizar la otra condición inicial que tiene que ver con la primera derivada entonces sustituyamos a x por el valor de 0 que me va a quedar tres medios de c-1 por el acero que vuelva a ser uno más un medio de c2 por el ala un medio por cero pero un medio por cero volvemos a lo mismo es cero el acero es uno y esto va a ser igual pues al valor que teníamos en nuestra condición inicial que es un medio y si se dan cuenta ya tengo otra vez un sistema de ecuaciones en el cual yo tengo dos incógnitas y dos ecuaciones entonces pues en un principio podemos intentar resolverlo si multiplico yo la primera ecuación por tres medios esto me va a servir para ello poderlas cancelar cambiando el color azul pues me queda tres medios c1 estoy multiplicando la primera ecuación por tres medios más tres medios de s2 y esto va a ser igual a tres medios por dos pero pues el 2002 se cancela y entonces esto me queda tres bien y ahora qué pasa si yo resto la ecuación número dos a la ecuación número tres es decir tres medios de ese uno menos tres medios de ese uno pues se van un medio de ese dos menos tres medios de c2 esto me queda menos 1 c 1 c 2 o sea menos de 2 y esto va a ser igual a un medio menos 3 pero 3 son 6 medios y entonces esto me queda cinco medios negativo aunque imperfecto pero el 12 2 pues es cinco medios positivos porque paso el signo del otro lado o nos canceló bien si sustituyó en la primera ecuación me queda que sea 15 medios es igual a 2 porque ese 2 valía 5 medios y si yo paso del otro lado el 5 medios y veo que 2 es igual a 4 medios pues entonces me queda menos un medio con este sistema de ecuaciones yo ya logré determinar mis dos constantes la primera es igual a menos un medio y la segunda el 5 medios entonces yo ya puedo sustituir en la ecuación general y así poder encontrar la solución particular con estas condiciones iniciales c1 era menos un medio por tres medios de x más de 20 cerdos vale 5 medios entonces me va a quedar 5 medios y a la segunda raíz que era un medio entonces me va a quedar un medio de x y es así como hemos terminado de resolver nuestra ecuación diferencial de segundo orden que era lineal y que era homogénea pero quiero que sea en cuenta un par de observaciones para finalizar quiero que veamos que resolver esta ecuación diferencial se basó completamente en elementos de álgebra en resolver una ecuación cuadrática y en resolver un sistema de ecuaciones la ecuación cuadrática salió de asociar un polinomio característico que era muy fácil pues en la segunda derivada ponemos el cuadrado en la primera r en la función normal no ponemos ninguna r y entonces resolvimos así una ecuación de segundo grado que tenía que ver con dos raíces de un polinomio característico ya después trabajé con dos constantes las cuales las podría resolver con un sistema de ecuaciones dadas las condiciones iniciales y con todo esto la solución particular a mi ecuación diferencial es todo por esta vez y nos vemos en el próximo vídeo