El teorema de Green. Ejemplo 2

vamos a resolver otro ejemplo con el teorema de green supongamos que tenemos una trayectoria en el plano x que que recorre el círculo unitario voy a poner aquí el eje y voy a poner aquí perpendicularmente el eje x y entonces la trayectoria recorre la orilla del círculo que tiene centro en el origen y radio 1 entonces se ve más o menos así vamos a recorrer este círculo en el sentido horario es decir en el sentido de las manecillas del reloj a ver espérame tantito aquí apareció algo así en el sentido de las manecillas del reloj o sea nos quedaría con las flechas en este sentido aquí al lado voy a poner la ecuación de este círculo es x cuadrada más y cuadrada igual a 1 el 1 nos dice que el círculo tiene radio lo que nos interesa es calcular una integral de línea de lo siguiente encontrar la integral de línea en esta curva se en el sentido bueno voy a dibujar al revés en el sentido en el sentido horario en el sentido de las manecillas del reloj v2 de x menos - 3x de ella va entonces para como vamos seguro estamos ansiosos de usar el teorema de green y porque no a ver recordemos que nos dice el teorema de green dice que la integral de curva de una curva cerrada de f punto de r donde a ver dónde f es igual a a ver déjame ponerle un poco más claro fx y donde fx pd x por y más q de equis j entonces lo que dice es que la integral de aquí es igual a una doble integral a la doble integral sobre la región r esta de aquí es la región r de qué cosa pues de una de una cierta función que está dada por las parciales la primera es la parcial de q con respecto a x la parcial de q con respecto a x y luego hay que restar menos la parcial de p con respecto a g y todo eso de a recordemos que esta idea representa las pequeñas áreas en que dividimos la región ahora a lo mejor te acuerdes o no pero voy a repetir lo que dije al comienzo del vídeo anterior hay un detallito que tenemos que verificar que tiene que ver con el sentido de la curva el teorema de greene funciona cuando recorremos la curva en sentido antihorario sin embargo en este ejemplo aquí tenemos lo contrario estamos recorriendo el círculo en sentido horario en el sentido de las manecillas del reloj así esta ecuación que es la de green aplica cuando la región queda a la izquierda y en este caso hay que recorrer la curva en el sentido antihorario pero nosotros no tenemos este caso nosotros tenemos el otro verdad en nuestro ejemplo la región nos queda del lado derecho y entonces el teorema de green necesita un signo menos entonces vamos a escribir aquí abajo la integral sobre la curva c la integral cerrada en sentido horario de f punto de r va a ser igual a la doble integral sobre la región r pero vamos a intercambiar estos dos con respecto al menos la parcial de q con respecto a x metamos las funciones esto de aquí nos queda la doble integral sobre la región r ok y tenemos que derivar vámonos a ver dónde está el campo vectorial a ver nuestro campo vectorial viene de viene de acá arriba verdad esto de aquí es nuestra nuestra p esa de allí es la px y entonces vamos a vamos a ponerle nombre a estos dos componentes de acá al de la izquierda que tiene que ver con dx es px y al segundo que tiene que ver con de y le vamos a poner de equis y ya lo dije muchas veces pero una vez más esto aparece porque hacemos un producto punto con de r entonces el p aparece con el de x pero no con el de por qué se cancelan con productos punto y otras cosas que ya vimos en los otros vídeos bueno no nos vamos a meter a esos detalles ahorita si quieres puedes repasar los en el vídeo anterior pero cuál es la parcial de p con respecto a y aps está muy fácil verdad es 2 la derivada de 2 y con respecto ayer 2 y luego hay que restar la derivada de menos 3x con respecto a x también está muy fácil es menos 3 nos queda menos 3 todo eso de a y eso de ahí es igual a la doble integral sobre la región rd2 menos -3 podemos ponerle más a los dos porque menos por menos da más nos queda 5 vea esto de aquí es una constante podemos sacarla de la integral lo voy a hacer por aquí abajito vas a ver que nos va a quedar algo muy sencillo nos queda cinco veces la integral doble sobre el bea ahora qué es esta doble integral qué sentido geométrico le podemos dar a esta doble integral que no tiene nada adentro pues eso simplemente es el área de la región r esta doble integral representa eso porque simplemente estamos sumando todos estos de a en toda la región de entonces sumamos todas esas áreas multiplicadas por 1 eso simplemente nos da el área eso está muy padre bueno vamos a recordar nuestras fórmulas de círculos de primaria nuestra fórmula de círculo de primaria nos dice que el área es igual a ti por radio al cuadrado y cuál es el radio pues ya dijimos como ese círculo unitario tiene radio igual a 1 entonces está muy fácil el área es pi entonces esta expresión esta doble integral simplemente es igual a ti bueno entonces la respuesta de nuestra integral es 5 y eso estuvo muy fácil pudimos haber hecho el proceso como antes pudimos haber encontrado la anti derivada definir algunos límites y no se hubiera quedado lo mismo pero es era pues un poco espantoso verdad pero bueno porque no pensamos en algo todavía más espantoso ay te vale te voy a hacer un reto el reto consiste en lo siguiente te reto a que todo este problema lo empieces desde la definición de integral de línea toma esta expresión de aquí plantea una parametrización de la curva es decir da un valor de t que recorre en esa dirección encuentras las parciales luego encuentra la anti derivada y evalúa vas a ver que eso va a ser mucho más espantoso de lo que estábamos haciendo ahorita entonces el teorema de greene nos simplificó muchísimo este problema recuerda que tuvimos que poner un más bien un menos y por lo del sentido de la curva si hubiéramos ido hacia el otro lado hubiéramos obtenido un menos sale espero que este vídeo te haya sido de mucha ayuda hasta la próxima