Integrales de línea y campos vectoriales

una de las ideas más fundamentales en la física es el concepto de trabajo lo voy a poner aquí trabajo y la fórmula que nos dan en la secundaria para trabajo es fuerza por distancia pero después en prepa nos damos cuenta que pues hay ciertas cosas vectoriales por ahí metidas y entonces la fuerza no siempre va en la misma dirección que el desplazamiento entonces tenemos que adaptar nuestra fórmula y nos queda algo nuevo nos queda la magnitud de la fuerza la magnitud de la fuerza d la fuerza pero nada más de la fuerza que va en la dirección la dirección del desplazamiento y recuerda que esto del desplazamiento simplemente es distancia con alguna dirección entonces en la dirección del desplazamiento y ahora si eso de ahí multiplicado por la magnitud del desplazamiento o simplemente la distancia por la distancia el ejemplo clásico que se ve cuando cuando uno habla de esta fórmula es el ejemplo de digamos un bloque de hielo voy a ponerlo por aquí que está descansando sobre una superficie plana esto de la superficie plana es para poder suponer que no hay fricción y entonces jalamos ese hielo con una fuerza algo de este estilo aquí lo voy a poner efe y vamos a suponer que la fuerza es igual a bueno no en realidad no la fuerza sino vamos a suponer que la magnitud de la fuerza voy a ponerlo así la magnitud de la fuerza es igual a 10 newtons también tenemos que dar un ángulo vamos a suponer que la dirección de la fuerza tiene un ángulo lo voy a marcar por aquí un ángulo de 30 no mejor de 60 con respecto a la horizontal entonces esta es la dirección en la cual estoy jalando y supongamos que tenemos desplazamiento hacia la derecha a ver voy a poner por aquí una flecha para marcar que estamos moviendo el hielo hacia la derecha y vamos a suponer que esto es un desplazamiento de 5 metros o sea que la magnitud del desplazamiento es igual a 5 metros ahora no podemos simplemente multiplicar la magnitud de la fuerza que es 10 newtons por la magnitud del desplazamiento que 5 metros y obtener la el trabajo que tenemos porque así no funciona el trabajo cuando hay direcciones lo que tenemos que hacer es encontrar la magnitud de la fuerza que va en la misma dirección que el desplazamiento entonces voy a marcar esto de aquí esto mide 10 y ahora lo que tenemos que hacer es encontrar de esa fuerza total cuánto va en la misma dirección que el desplazamiento o sea hacia acá para eso tenemos que usar trigonometría este cuando metía muy simple nos queda 10 veces el coste no de 60 grados 10 por coseno de 60 grados coseno de 60 es un medio entonces es 10 por un medio que es igual a 5 ok entonces esta magnitud de la fuerza que va hacia la derecha es igual a 5 newtons aquí lo pongo 5 newtons y ahora sí ya teniendo la magnitud en ese sentido vamos a ponerle que el trabajo es igual a 5 newtons multiplicado por la distancia lo voy a poner por a ver la magnitud de estos cinco metros nos queda 25 newton metros o lo que es lo mismo veinticinco lluís de trabajo sale todo esto de aquí es algo pues más o menos como un repaso pero vamos a pensar en términos más abstractos para después hablar de otras cosas entonces el trabajo nos queda 5 newtons que venía de la magnitud de la fuerza voy a ponerle aquí la magnitud de la fuerza y eso de ahí x el coseno de este ángulo vamos a llamarle theta para hacerlo en general entonces nos queda coseno de teta esto de aquí es la cantidad de la fuerza en la dirección del desplazamiento y luego eso de ahí tenemos que multiplicarlo por la magnitud del desplazamiento por la magnitud del desplazamiento vamos a reacomodar esto un poco lo voy a poner como la magnitud del desplazamiento multiplicado por la magnitud de la fuerza multiplicado por el coste no de teta y aquí debemos empezar a sospechar que ya es un concepto que habíamos visto en otros vídeos de álgebra lineal de física y de algunos productos vectoriales hablé del producto punto y fíjate que justo esto de aquí es el producto punto de de con efe es decir es igual a tres puntos efe sale entonces en general si queremos encontrar el trabajo para un desplazamiento y una fuerza constantes simplemente debemos tomar el producto punto de esos dos vectores si se te hace muy raro esto del producto punto creo que deberías checar los vídeos anteriores que hice al respecto porque ahí se habla muy bien de la intuición pero para no dejar del lado del lado así tan feo esto voy a hablar un poco de la intuición cuando hacemos de punto efe lo que nos dice es más o menos que tanto bueno esto de acá es esto mismo de acá déjame ponerlo en otras palabras la idea es que estamos tomando cuánto de este vector está en la dirección de este otro vector en este ejemplo lo marcamos aquí y luego multiplicamos las dos magnitudes es justo lo que hacemos aquí verdad el trabajo es la fuerza punto el vector de desplazamiento esto de aquí nos queda un valor escalar vamos a hacer algunos ejemplos después donde veas que eso es cierto pero bueno todo esto de aquí simplemente fue un repaso de pues de física de prepa va vamos a algo un poco más complejo que en el fondo tiene la misma idea vamos a definir primero que es un campo vectorial entonces un campo vectorial va a ser una función vamos a llamarle efe que depende de una equis y una y es decir es una función en el plano xy y es igual a una función escalar de xy multiplicada por el vector unitario y y luego le tenemos que sumar otra función de escalar q de xy multiplicada por el vector vertical unitario es decir el vector j cómo se vería algo de este estilo primero déjame ponerle un nombre esto de aquí es un campo vectorial en dos dimensiones vamos a ponerle campo vectorial en el plano xy o bien le puedes poner en 2 no me quiero meter mucho en detalles matemáticos en vez de eso mejor vamos a hacer un dibujo para entender este concepto voy a dibujar los ejes a ver algo así no no no a ver algo un poco más derechito algo así al parecer tengo problemas de dibujar una línea recta ahí está el eje y el eje x aquí solo dibuje el primer cuadrante pero en realidad puede seguir t hacia los valores negativos si así lo deseas y entonces qué hace esto esto esencialmente nos dice nos das una equis nos das una ye y con eso nosotros podemos encontrar unos números que vamos a multiplicar por el vector i y acá vamos a obtener algo por el vector j y entonces vamos a tener una combinación lineal del vector i y el vector j es decir vamos a tener un vector lo que esto hace es definir un vector en cada uno de los puntos del plano x entonces puedes tomar este punto de aquí digamos nos da algunos números en la expresión de aquí arriba y lo que lo que acabamos teniendo es un vector eso de ahí lo podemos hacer en cualquiera de los puntos si tomamos un punto por acá vamos a obtener otro vector un tercer punto nos va a dar un tercer vector otro punto más nos va a dar otro vector y así podemos seguir indefinidamente en realidad aquí estoy tomando algunos puntos aleatorios para dibujar todo tendríamos que dibujar en cada uno de los puntos del plano x sale entonces ahí tenemos otro más por ahí tenemos otro más y cuál es la idea física detrás de todo esto pues la idea física es que en cada uno de los puntos tenemos una cierta fuerza aplicada que está dada por un cierto vector déjame dibujar unos cuantos más en realidad podría seguir haciendo esto pues indefinidamente verdad pero creo que ves la idea en cada uno de los puntos tenemos que poner una flechita un vector pues ahora porque se llama campo vectorial pues porque generaliza muchos tipos de campos que aparecen en la física campos magnéticos campos gravitacionales campos eléctricos etcétera y entonces esto esencialmente nos dice cuántas fuerzas se aplica en una partícula en cada campo bueno vamos a suponer que en este campo ahora tenemos una partícula que se va moviendo vamos a marcarla por aquí vamos a suponer que la partícula empieza en este punto y que independientemente de todas estas flechas que hay la partícula empieza a moverse con una cierta trayectoria física déjame dibujar la partícula a lo mejor la partícula no se mueve en la dirección que diga el campo vectorial puede irse por acá y terminar en este punto y vamos a suponer que esta trayectoria está definida por pues por una parametrización digamos del estilo r que depende de una variable de un cierto tiempo y vamos a ponerle x dt x y sumado con 7 x j ok eso de ahí es el dt que nos da una parametrización de nuestra trayectoria vamos a acotar t entre a vamos a ponerle a menor o igual que t y menor o igual que b para que nuestra trayectoria nos quede una línea finita entonces esto es una trayectoria que la partícula empieza a recorrer y además tenemos que considerar las fuerzas que van aplicando se van aplicando sobre esta partícula aquí tenemos una cierta fuerza hacia allá luego la partícula se empieza a mover pero en este punto puede ser que haya otra fuerza del campo vectorial aplicada y se va a seguir moviendo ahora todo lo que he hecho en este vídeo es para caer en una pregunta fundamental cuál es el trabajo total aplicado por el campo vectorial sobre la partícula lo voy a poner por aquí es el trabajo total va entonces el trabajo total aplicado en la partícula esa es la pregunta que queremos responder vamos a dibujar un pequeño cachito de nuestra trayectoria imagínate que estamos aquí aplicando una amplificación y supongamos que queremos encontrar cuál es el trabajo que se hace en una parte muy muy muy chiquita fíjate que hay muchas cosas cambiando es como muy dinámico todo esto pero en un punto aquí vamonos algo puntual supongamos que nos movemos algo muy muy muy pequeñito eso te recuerda algo si ponemos deere pues tiene que ver con diferenciales o sea dada nuestra parametrización esto lo que nos dice es que nos estamos moviendo algo muy pequeño sobre la trayectoria ahora cuando hacemos este pequeño cambio en esta zona de aquí tenemos una fuerza del campo vectorial actuando sobre la partícula esta de aquí le vamos a poner f evaluado en ese punto y entonces fíjate aquí tenemos un cambio infinitesimal en la dirección y aquí tenemos una fuerza que está siendo aplicada en ese punto cuál va a ser el trabajo hecho en este pequeño lugar es decir cuál es el pequeño cambio en el trabajo vamos a ponerle wv para usar notación diferencial pero justo por lo que trabajamos acá arriba tenemos la magnitud de la fuerza en la dirección de este desplazamiento multiplicado por la magnitud del desplazamiento es una y ya sabemos que es vamos a regresar aquí arriba para acordarnos como dije es el producto punto entonces hay que hacer el producto punto de la fuerza y nuestro cambio infinitesimal eso de ella es igual a la fuerza punto de r es decir nuestro pequeño cambio en el movimiento de la partícula ahora cuando estamos haciendo eso es encontrar el trabajo pero en un pues en un cachito super super pequeño pero lo que queremos hacer es sumar todos todos todos estos cambios hay una infinidad de estos entonces esto nos tiene que recordar una vez más otro concepto cuando aparecen sumas infinitas pues cuando hacemos una integral entonces vamos a hacer una integral de línea de qué cosa pues aquí tenemos un de w pero sobre que la hacemos pues sobre c sobre la trayectoria está de acá vamos a llamarle c y qué cosa tenemos que integrar tenemos que hacer la integral de wv eso de ahí nos va a dar el trabajo total el trabajo es igual a eso pero también es igual a la integral sobre la misma curva de f punto de r y entonces aquí me puede decir oye esto esto la verdad pues no me va a servir mucho porque está súper abstracto como le puedo hacer para realmente calcular el trabajo en la partícula esta expresión de aquí pero ya en términos de té o con algo más concreto pues déjame contarte eso vas a ver que nos va a quedar una expresión un poco más evaluable por así decirlo entonces que ese efe punto de ere a ver vamos a acordarnos que quería decir de r entonces vamos a escribir aquí de r dt es igual a x prima de té también puede haber puesto de x dt pero como x es una variable lo pongo aquí por y x prima de t x j ahora si simplemente queremos de r pues podemos multiplicar por desde aquí estoy siendo como que un poco pues no sé cómo que práctico pero no rigurosa entonces nos queda aquí es prima de tdt por i + d prima de t por de t por el vector j sale entonces ya tenemos una expresión para leer ahora esta expresión para de r queremos hacerle producto punto con qué cosa pues con efe y el campo vectorial de acá arriba déjame copiar y pegar la para que podamos trabajar mejor entonces vamos a copiar y vamos a ver que no nos queda tan alocado el producto punto lo voy a pegar aquí cómo le hacemos para hacer el producto punto de estas dos cosas pues fíjate el producto punto justo lo calcula vamos coordenada coordenada lo que hacíamos era multiplicar las coordenadas en cada una de las entradas y sumamos las dos cosas entonces aquí el de ere y el f están justo en la forma en la cual podemos hacerlo nos queda la integral de qué cosa bueno voy a poner aquí de igual a igual a ver porque es el el intervalo en el cual se mueve t y ya queremos pasar todo a a simplemente la variable t entonces bajemos y tenemos que hacer el producto punto d efe punto de r lo que te decía se puede calcular muy fácilmente a partir de la definición del producto punto porque simplemente tenemos que multiplicar las entradas en la primera coordenada y luego sumarle el producto de las segundas coordenadas entonces nos queda el producto de px ahí va estoy copiando el vamos a ponerle x dt porque x ya está en función de t 7 esa es esta expresión por equis prima de t de t va estamos multiplicando la primera entrada la entrada correspondiente allí x prima de t de t y luego tenemos que sumar tenemos que sumar lo que nos queda de las segundas entradas es decir vámonos a la q lo voy a poner un poquito aquí abajo porque ya se me está acabando el espacio y no quiero recorrer la pantalla q de x dt 7 y eso de ahí multiplicado por la componente de aquí del de r es prima para ponerle prima de t de t ahora lo mejor me digas oye tienes que estar bromeando la verdad esto aquí sigue siendo muy abstracto pero pero no es cierto esto de aquí ya todo está en términos de t entonces ésta de aquí es una integral simple y sencilla con respecto a t de las que ya hemos hecho miles y miles de ellas entonces estoy aquí ya nos va a permitir trabajar esta expresión de aquí ya nos va a permitir trabajar con algunos ejemplos más concretos nos vemos entonces en los siguientes vídeos para encontrar algunas integrales de línea en campos vectoriales