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Integrales triples 3

Determinar los límites en una integración. Creado por Sal Khan.

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  • Avatar piceratops seed style para el usuario Josecarlos Julca Elera
    Cuando integro con respecto a x? cuand0 integro con respecto a y ? cuando integro con respecto a z?
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  • Avatar piceratops tree style para el usuario 2021
    Hola buenas noches disculpa es que en el minuto 3.20, dices que vas hallar el volumen que esta encima del plano 2x+3z+y=6 , me pregunto como se sabe que toca hallar el volumen de la parte de encima del plano y no el volumen que cubre el plano, o sea el volumen abajo del plano como si este plano fuera la tapa de el volumen y los ejes x,y,z fueran las bases y los lados el volumen.
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  • Avatar leaf green style para el usuario Ana Maria Corredor Silva
    siempre va a ser de 3 variables?
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  • Avatar aqualine ultimate style para el usuario Jose Juan Can Tec
    En la ultima integral, la que es respecto a y, el limite superior no es 6 o sí?, en ese caso siento que estarías creando un rectángulo en el área de integración, el limite superior no sería y= 2x-6 pero aja estaría mal por que quedaría en terminos de una variables.
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    • Avatar starky sapling style para el usuario 73901523
      Al poner los límites de "z", se tuvo que despejar esta variable para, como se mencionó, agregar los límites a la primera integral. Luego, la variable "z", debido a que ya se usó, se hace "0" ya que se proyecta en el plano "XY"; así, es razonable el hecho de que, luego, se tenga que depejar una variable de estas con respecto a la otra (en el ejemplo del video, se despeja "x" con respecto a "y"). Así, finalmente, siguiendo el mismo razonamiento, al querer hallar los límites para la integral más externa, las variables ya usadas ("z" y "x") para ponerlas como límites de integración se hacen "0" por lo que "y" tiene como límite superior a "6".
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  • Avatar leaf green style para el usuario Carlos Martinez
    Hola, si estamos hallando el volumen por encima de la superficie, ¿En la integral con respecto a x no debería ser el límite inferior x=3-y/2 y el límite superior x=3?
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Transcripción del video

vamos a resolver otra integral triple y en esta ocasión no voy a evaluar la integral lo que vamos a hacer es definir la integral triple de manera similar a como lo hicimos en el vídeo anterior en el segundo vídeo en donde encontramos la masa usando la densidad pero lo que quiero hacer en este vídeo es mostrarles cómo calcular los límites cuando éstos son un poquito más complicados y también cómo cambiar el orden de la integración así que vamos a decir que yo tengo la superficie esto lo estoy inventando 2 x + 3 z + que todo esto es igual a 6 vamos a dibujar esa superficie voy a comenzar haciendo mis ejes coordenadas mi eje x mi eje z y mi eje g les pongo sus flechitas y sus etiquetas x y z y voy a tener esa superficie en el octante positivo ya que cuando estamos hablando de tres dimensiones no tenemos cuatro cuadrantes sino 8 oct antes y nos interesa bastante en el que tanto la equis la aie y las citas son positivos o que cuál es el punto en x cuando jay z son 0 2x va a ser igual a 6 por lo tanto x va a ser igual a 6 entre 2 3 1 2 3 aquí va a estar la x el punto en que es cuando los otros dos ejes van a estar en cero por lo tanto va a ser igual a 6 1 2 3 4 5 6 y finalmente el punto en zetas cuando x son igual a 0 3 z va a ser igual a 6 por lo que aceptan 603 va a ser igual a 2 así que la superficie que me interesa va a lucir así más o menos a este plano inclinado una superficie inclinada uno de este otro punto y estos dos los unimos al final esta es la superficie definida por esta función y digamos que me interesa el volumen y lo voy a hacer aquí un poco más complicado porque podríamos decir bueno es el volumen entre estas superficies el volumen que me interesa es lo que está por encima de esta superficie hasta el valor de 7 igualados así que el volumen que nos interesa va a lucir un más o menos así vamos a ver si podemos dibujar lo voy a proyectar el valor requiere y hasta el punto de zeta igualados más o menos voy a poner la parte de arriba en otro color diferente para que se distinga así que esto es entre el plano detalle y ahora voy con aquí es más o menos en este en este punto esta es la parte más difícil hacer el dibujo de estos segmentos así que esto es la línea que está en el plano x z y tenemos otra línea que conecta estos dos puntos este triángulo verde es parte del plano al que le quiero encontrar el volumen y lo que podemos hacer es notar que el volumen que nos interesa es el que se encuentra entre este triángulo amarillo y el triángulo verde va a ser el volumen entre ellos vamos a ver si lo podemos hacer un poquito más claro porque aquí la visualización quizás está un poquito difícil aquí tenemos un muro frontal que lo voy a dibujar en magenta y la pared de atrás va a ser estar esto de aquí y aquí hay otra pared y la base de esto va a ser este plano de nuestra función esto que estoy subrayando aquí en rojito bueno no sé si lo complique más haciendo este dibujo pero bueno espero que hayan captado la idea vamos a hacer nuestro mejor intento así que si queremos sin calcular el valor pero bueno pensándolo bien si de todas maneras vamos a trabajar con integrales triples pues por qué no mejor calcular la masa de esto en lugar del volumen y que además que tenga una densidad variable así que digamos que la densidad en este volumen que acabamos de definir de x se está en ese punto que puede hacer cualquier cosa este no es el objetivo que les quiero enseñar aquí va a ser x al cuadrado por jay x zeta la primera cosa que yo quiero hacer que quiero visualizar es ubicar un pequeño cubo dentro de este volumen vamos a hacerlo en un color que se note si tuviera un cubo vamos a ponerlo aquí este colorcito si yo tuviera un cubito aquí en el volumen que estoy considerando este cubito lo consideran debe o la diferencia en el volumen dv es la diferencia de lo voy a poner otro color en verde de iu x la diferencial en x de x x la diferencial en zeta receta y si queremos la masa de este como vamos a multiplicar la densidad por esta diferencial de volumen así que la masa de m vamos a abreviar la diferencial de la masa va a ser igual a esto x esto x cuadrado ez x esto deje de x y de zeta y normalmente obtenemos esto dependiendo de que queremos integrar primero así que tratemos de hacerlo vamos a hacerlo de la manera tradicional en los vídeos pasados integramos con respecto a z así que vamos a hacerlo si vamos a integrar con respecto a z vamos a tomar este cubito y vamos a sumar todos los cubos en el eje z los que van arriba y abajo así que si hacemos esto cuál va a ser el límite inferior bueno cuando sumamos estos cubitos de arriba hacia abajo pues vamos a formar una columna cuál va a ser la base de esta columna pues va a estar en esta superficie de la superficie definida por esta función si queremos esa base en términos de z tenemos que resolver esto en términos de z vamos a despejar z así que aquí tenemos 3 z que es igual a 6 menos 2 x menos g por lo que se está va a ser igual a dos menos dos tercios de x menos y entre tres esto es exactamente lo mismo que esto solamente que lo estamos definiendo en términos de z y solo lo hemos manipulado algebraica mente el límite de abajo que lo pueden visualizar la base de estas columnas que van de arriba a abajo todas estas columnas el límite inferior va a ser esto la superficie en términos de z es decir cuando z es igual a dos menos dos tercios de x menos entre tres y cuál es el límite superior bueno la parte superior de las columnas va a ser este plano en verde y qué es lo que dijimos que era esto pues cuando z es igual a 2 qué es este plano esta superficie que estoy señalando acá donde se está es igual a 2 y por supuesto cuál es el volumen de esta columna puede va a ser la función de densidad x cuadrada porque por z multiplicado por la diferencia en volumen pero primero vamos a integrar con respecto acepta y bueno vamos a ver ahora vamos a integrar con respecto no sé en los pasados vídeos integramos con respecto a ye así que ahora vamos a integrar con respecto a x vamos a poner aquí una de equis así que ahora ya tenemos estas columnas que al integrar con respecto a z obtenemos el volumen de estas columnas donde los límites superiores se encuentran en el plano vamos a ver si lo puedo dibujar aquí un poquito mejor el límite superior es esta superficie verde y el inferior es el plano que está marcado por nuestra función definida aquí arriba pero ahora vuelva a ser el límite inferior con respecto a las x bueno esta superficie está definida en todo el camino hasta que x es igual a 0 y si se confundan ustedes con esto que no es nada difícil cuando trabajamos en tratando de imaginar cosas en tres dimensiones ustedes pueden decir bueno ya hemos integrado con respecto a z que otras variables nos quedan con respecto a xy ayer voy a dibujar proyección de este volumen en el plano x que de hecho esto ayuda a simplificar las cosas así que permítanme aquí redibujar los ejes vamos a rotar esto de manera que nos quedan los ejes x y llegué la manera tradicional en que siempre los hemos visto dibujados les ponemos sus flechitas aquí y aquí y sus etiquetas x y ya y este punto de acá que es bueno es es x igual a 3 así que lo dibujamos en el eje 123 aquí está el 3 y este punto es igual a 6 1 2 3 4 5 6 así que en el eje x o mejor dicho en el dominio xy esta es la proyección una forma de analizar esto es que bueno tenemos estas columnas que hemos integrado en el eje de la seta de arriba abajo pero cuando la estamos viendo desde arriba mirando en la dirección del plano xy cada una de las columnas va a verse así o la base de la columna se va a ver así imaginando que esta columna va a salir de sus pantallas hacia ustedes y la base de esta columna va a tener una de equis y una de ella aquí así que hemos decidido integrar con respecto a x vamos a agregar cada una de estas columnas en la dirección x así que la pregunta era cuál era el límite inferior o en el límite inferior aquí es cuando x es igual a 0 y si hubiera una línea acá entonces sería esta línea como función de g definitivamente sería en función de ella así que hacemos esta integral cuál es nuestro límite inferior pues cuando x es igual a 0 y nuestro límite superior bueno nuestro límite superior está en esta relación pero en términos de x cuando z es igual a 0 y para encontrar esto pues tenemos que ver esta línea en esta función cuando se está es igual a cero qué resultado nos da así que nos queda 2 x más que igual a 6 y como estamos integrando con respecto a x entonces vamos a tener 2x igual 6 - james x igual a 3 menos de entre 2 así que nuestro límite superior va a ser igual a x igual a 3 menos y entre 2 y finalmente vamos a integrar con respecto a que es la parte más fácil cuando integramos con respecto a x hicimos esta columna en toda esta línea que va a ser la base de lo que integramos en la dirección x ahora lo que vamos a hacer es integrar en la dirección de jeff de arriba a abajo con respecto a y así que cuál es el límite inferior de iu y es igual a 0 y el límite superior ese es muy sencillo es igual a 6 y aquí ya lo tienen está lista la integral triple para que suframos resolviendo la pero no lo haremos en este vídeo ya que me he quedado sin tiempo y no quiero que rechacen este vídeo así que lo dejamos acá nos vemos después