If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Si estás detrás de un filtro de páginas web, por favor asegúrate de que los dominios *.kastatic.org y *.kasandbox.org estén desbloqueados.

Contenido principal

Integral de línea sobre una curva cerrada de un campo conservativo. Ejemplo

Cómo calcular la integral de línea sobre una curva cerrada de un campo conservativo. Ejemplo. Creado por Sal Khan.

¿Quieres unirte a la conversación?

  • Avatar leaf green style para el usuario Juan Carrillo
    Primero que nada quiero decir que estoy usando estos videos de manera previa a profundizarme con libros y me parecen excelentes!
    lo que queria destacar es que en el minuto del video usteded tiene una funcion que depende exclusivamente de "y" y dice q se hace 0 o que toma el valor 0, cuando en realidad puede tomar el valor de cualquier escalar siendo una constante, dado que la derivada de una constante ya sea tanto para x como para y es cero.
    En otras palabras: f(x) = (x^3)/3 + C y g(x) = C
    No me parece algo demasiado relevante, pero ya que estos videos me ayudaron tanto queria retribuir de alguna manera.
    (4 votos)
    Avatar Default Khan Academy avatar para el usuario
¿Sabes inglés? Haz clic aquí para ver más discusiones en el sitio en inglés de Khan Academy.

Transcripción del video

veamos si podemos aplicar algunas de nuestras nuevas herramientas para resolver integrales así que vamos a decir que tenemos la integral de línea a lo largo de una curva cerrada que ya veremos cuál es de x cuadrada massieu cuadrada y esto lo multiplicamos por de x + + 2x y por de ella muy bien ahora nuestra curva se va a estar definida por vamos a ver la parametrización de esta curva será x igual a coseno de t y vamos a poner allí igual a seno de t y esto será válido para ti entre 0 t entre 0 y 2 p y bueno esto es básicamente un círculo verdad un círculo de radio 1 en el plano xy ahora vamos a ver si podemos utilizar nuestros descubrimientos de los vídeos anteriores para simplificar este proceso lo primero que vamos a ver es bueno esto parece si una integral de línea pero allí de equis de y yo no veo la f ni el de r no está claro que sea realmente una integral de línea verdad así que lo que queremos hacer en este primer ejercicio y que realmente es el objetivo del ejemplo es reescribir esto como una integral de línea para mostrar que uno puede tener otras formas de escribirlo verdad así que empecemos con nuestra curva r de t pues no voy a ponerlas las funciones simplemente pondré x dt x y más 7 x jota que es nuestra parametrización de la curva y hemos visto que de r de t es decir la derivada de r respecto de éste simplemente derivar cada una de las entradas de x de t por más de 7 por jota ahora también hemos visto que si uno quiere obtener el diferencial de r entonces multiplicamos todo por desde verdad entonces uno se deshace de la dt del lado izquierdo y multiplica por de este del lado derecho por lo tanto las dt se van a cancelar verdad verdad realmente tratamos de t como como si fuera un número así que nos queda de x por i + d y por j y esto ya es la diferencia ya podremos ver algún patrón por ahí verdad ahora si definimos nuestro campo vectorial fx y como x cuadrada más cuadrada y esto lo multiplicamos por el vector y y ahora sumamos 2x y por jota por el vector j pues qué es esto que es lo que tenemos aquí bien pues efe punto de r que es lo que tenemos en la fórmula de las integrales de línea pues será x cuadrada más cuadrada que multiplica de x verdad eso multiplica de x ahora vamos a obtener esta componente x cuadrada más cuadrada que multiplica como ya lo dije a de x y ahora sumamos el resultado de multiplicar las segundas componentes verdad que en este caso es 2x por d y ese es el resultado del producto punto ahora esta cosa de la derecha que estoy subrayando es idéntica al integrando de nuestra integral de línea verdad así que ya lo podemos poner como como en un formulario ya estamos ahora pues familiarizados con esta anotación verdad donde si se es esta curva esto es la integral de línea de este campo vectorial efe déjenme escribirlo en otro color de nuestro campo efe punto de r perfecto así que esto es una integral de línea simplemente que reescrito de otra forma muy bien si ya en un futuro ves esta forma pues puedes decir ok pues es una forma de escribir una describir un integral de línea perfecto donde pues cada una de estas serán nuestras componentes verdad ahora bien e inmediatamente lo que lo que se sabe del campo vectorial es que estamos tomando una integral de línea donde cada una de estas funciones representa las componentes nos podemos preguntar bueno efe es conservativo porque si efe es el gradiente de algún campo escalar f mayúscula como ya vimos en él en el vídeo anterior pues podemos resolver esta integral de línea fácilmente verdad si encontramos esta función f cuyo gradiente sea el campo vectorial entonces f es conservativo y como estamos haciendo un integral de línea sobre una curva cerrada pues entonces esta integral de línea sería cero verdad sería simplemente cero se anula así que una vez que si es que podemos demostrar que es un campo conservativo es más ni siquiera necesitamos saber quién es la curva verdad así que vamos a tratar de ver si encontramos esta f mayúscula que cumpla esta condición que su gradiente sea esta función efe muy bien eso significaría que que la derivada parcial de nuestra función f mayúscula respecto de x tiene que ser la primera coordenada del campo vectorial que en este caso es x cuadrada más cuadrada y también nos dice que la derivada parcial de esta f mayúscula respecto de y tiene que ser igual a la segunda componente del campo vectorial que en este campo caso es 2x y ahora nada más como repaso el gradiente de f recordemos que es la derivada parcial de f respecto de x por el vector y más la derivada parcial de f respecto de y por el vector jota perfecto así que si queremos hacer que sean iguales pues tenemos que hacer iguales entrada por entrada como la parcial de f respecto de x con x cuadrada más cuadrada y la parcial de f respecto de y con 2x que es justo lo que escribimos acá abajo vamos a ver si podemos encontrar una f que satisface ambas ecuaciones así que primero podremos tomar la integral respecto de x de esta ecuación de la izquierda así que si integramos respecto de x en ambos lados consideramos a la i como una constante verdad así que tendríamos f cuál es la primitiva de x cuadrada pues es x al cubo entre 3 y ahora la primitiva de cuadrada respecto de x por supuesto en realidad de cuadrada puede ser cualquier número cada cinco lo que ustedes quieran así que esto nos queda común x de cuadrada verdad ahora a continuación podría haber alguna función que dependa sólo de y digamos una g de y porque de haber una función que sólo dependa exclusivamente de y al tomar la derivada parcial respecto de x desaparece se hace cero verdad por lo tanto si podríamos agregar esta función sabemos que hay que agregar una constante pero una constante pues es una función de jeff para fines de derivar respecto de x déjenme poner que f depende explícitamente de estas dos variables ahora pasemos al otro lado para ver si podemos conciliar las dos expresiones digamos si aquí integramos respecto de y entonces nuestra efe es la integral de 2x respecto por lo tanto la equis pues es una constante verdad sobre su número así que la integral de dos en realidad es de cuadrada por lo tanto esta integral nos queda xy cuadrada y cómo integramos respecto de de y pues tenemos que agregar una constante pero una constante para para fines de derivar respecto de y puede ser cualquier función de x vamos a ponerle efe minúscula de x perfecto ahora vamos a tratar de coincidir ambas ambas ecuaciones estas dos estos dos datos entonces vamos a ver qué tienen de parecido esencialmente lo que podemos ver es que esta xy cuadrada coincide en ambas expresiones muy bien se ve bien y aquí tenemos una f que depende exclusivamente de x no hay es y aquí tenemos esta función que es x cúbica entre 3 que sólo depende de x por lo tanto podemos pensar que es la misma aquí tenemos una g de iu pero del otro lado no encontramos una función que dependa de ella bueno no tan así así que podríamos pensar que es una 0 10 verdad en realidad una g de igual a 0 es una función que depende explícitamente de i y que puede ser 0 entonces a continuación concluimos que nuestra f mayúscula es x ubica entre 3 + xy cuadrada ahora vamos a ver nada más vamos a comprobar que el gradiente de esta función es nuestro campo vectorial original solo si no me creen lo que hice anteriormente tomamos el gradiente de efe y esto es la derivada parcial respecto de x por cierto algunas personas le ponen flechitas al operador del gradiente pero bueno cuál es la parcial de f respecto de x bueno la derivada parcial de la primera parte es simplemente x cuadrada verdad esto será x cuadrada más que cuadrada es una constante y al derivar x es 1 por lo tanto nos queda x cuadrada massieu cuadrada y multiplica al vector i y ahora la derivada parcial respecto de la primera parte sólo depende de x por lo tanto se anula y ahora al derivar de cuadrada tenemos 2 por x porque x era constante y esto multiplica j es exactamente nuestro campo vectorial original que teníamos así que f en realidad sí pudo escribirse como el gradiente de un campo escalar f mayúscula muy bien así que f es conservativa este campo vectorial es conservativa y eso nos dice que la integral de líneas sobre esta curva cerrada va a ser cero ya no importa cuál fue la curva y ya terminamos podríamos ignorar la parametrización de la curva incluso