Raíces repetidas de las ecuaciones características (parte 2)

en este vídeo vamos a ver un ejemplo de ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes constantes pero que supone no lo característico tenga raíces repetidas este es el caso nuevo que estábamos estudiando bien pues voy a tomar la ecuación yeví prima menos 10 prima más punto 25 la función normal sin ninguna derivada y esto le voy a igualar a cero debido a que mi función es homogéneo y además le voy a dar las condiciones iniciales a este problema que vamos a resolver las cuales van a ser ya de cero es igual a dos y de prima de cero le voy a poner que es un tercio recuerda del que ustedes se pueden poner cualquier valor a las condiciones iniciales recuerden también que en todos los vídeos que hemos visto en todos lo primero que hacíamos era encontrar la ecuación característica que estaba asociada en este caso me va a quedar que la ecuación característica es r cuadrada menos ere más punto 25 a secas y esto iguala vamos a cero pero si esta igualdad a cero esta ecuación es una ecuación de segundo grado y cómo se resuelven las ecuaciones de segundo grado pues con la fórmula general de ecuación de segundo grado así que de una vez utilicemos la me queda r es igual a menos b pero menos por menos 1 me va a quedar más 1 más menos la raíz cuadrada de menos 1 al cuadrado que es 1 ya esto yo lo tenía que restar cuatro veces a que vale 1 x sé que vale punto 25 04 por punto 25 es lo mismo que 4 por un cuarto que es 1 y es aquí donde nos damos cuenta de que solamente vamos a tener una raíz porque porque uno menos uno va a ser cero y si yo saco la raíz a cero pues es cero y si a uno le sumó más menos cero pues solamente va a ser uno perfecto y ahora sí todo lo divido entre dos a pero a vale uno pues va a ser dos por uno dos bien como ya vimos uno menos 10 y la raíz de 0 0 entonces solamente voy a tener una raíz en este caso mi raíz va a ser un medio ahora utilicemos lo que vimos en el vídeo pasado en el vídeo pasado nosotros vimos cómo podíamos resolver este tipo de problemas con una raíz y si hacemos un poco de memoria y recordamos que igual hace por un medio de x esto no era la solución general de hecho esta solución estaba incompleta entonces lo que nosotros hacíamos era hacer una nueva función que le llamábamos ye igual a vd x que multiplicaba elevado a la un medio de x ha elevado a mi primer raíz por equis y si nosotros recordamos todo lo que vimos la vez pasada pues derivamos esta función dos veces sustituimos y llegábamos a kebede x tenía la forma de 1 + x x c 2 bien entonces utilizando esto voy a sustituir para obtener mi solución general la cual tenía la forma se uno por el ala un medio de x y esto le sumamos de 2 por x por el ala un medio x olvide la equis aquí bien y nosotros nos damos cuenta en este momento que ese 1 a un medio de x c 2 x al a un medio de x es la forma rápida de resolver todo el procedimiento que hicimos la vez pasada si ustedes se quieren aprender solamente la formulita para algún examen o algún ejercicio rápido lo pueden realizar bien pero lo que sí quiero que noten también es que la solución tenía la forma de un medio de x x una constante y después era a la un medio de x otra vez pero multiplicamos por x y por otra constante y si ya determinamos la solución general ahora lo que necesitamos es saber las dos constantes vamos a determinar las constantes con las condiciones iniciales como lo hemos hecho siempre para eso necesitamos la primera derivada que quien va a ser pues en algún medio de x baja en un medio y me queda un medio por c 1 por algún medio de x y si yo quiero derivar ahora c 2 x un medio de x pues es una multiplicación de funciones así que primero voy a derivar a x qué es y me va a quedarse 2 x a un medio de equis y después voy a derivar ella de un medio de x que es un medio lo multiplicó por equis porque la tengo que dejar tal cual y me va a quedar multiplicada por un medio de x perfecto pero ahora lo que voy a hacer es reducir la primera derivada para que nos quede de una manera más manejable y la podemos utilizar usando las condiciones iniciales que me va a quedar fíjense que en algún medio de x aparece tanto aquí como acá y aquí lo multiplica por 2 y aquí por un medio de ese 1 entonces voy a factorizar el y un medio de x iba a multiplicar aquí bueno pues multiplicada uno entre dos un medio por segundo es segundo entre dos más dos perfecto y el otro sumando pues me va a quedar ese dos por un medio que es c 2 entre 2 por x por el ala un medio de x perfecto y así va a ser mucho más fácil tratarla cuando nosotros pongamos las condiciones iniciales creo que voy a ahorrar un poco de pluma y ahorrar un poco de espacio y voy a borrar algo aquí para no reescribir otra vez todo lo que tengo abajo entonces voy a borrar esto de aquí hasta aquí y voy a borrar estar acá y los espacios estos que me quedan un poco sucio bien recuerdan que era procedimiento de todo lo que ya hemos hecho y además era algo de lo que nosotros no deberíamos hacer cuando tenemos raíces repetidas bien si ya tengo en mi función original y ya tengo mi primera derivada pues es muy lógico pensar en usar las condiciones iniciales entonces usemos las condiciones iniciales yo sé que tiene cero es igual a 2 entonces dicho de otra manera 2 es igual a 1 por el acero pero ea la cero pues es 1 entonces se uno por uno me queda hace 1 y si yo pongo 0 en x en el segundo sumando dese cuenta que algo va a pasar si x vale 0 en el segundo sumando pues todo se va porque se dos por cero por cero pues es cero entonces ya tengo por fin mi primer condición inicial dado que ya tengo ahora hace uno ahora lo que se me ocurre es sustituir ese uno en mi primera derivada así va a ser mucho más fácil yo pude obtener hace dos de mi primera derivada de prima ya que voy a sustituir hace uno me va a quedar de esta siguiente manera se 1 entre 2 es lo mismo que 2 entre 2 pero 2 entre 2 es 1 entonces me va a quedar 2 entre 2 que es uno más de dos o sea uno más de dos bien lo voy a escribir aquí y esto estaba x a un medio de x muy bien y ahora veamos qué es lo que tenemos que hacer con el segundo sumando el segundo sumando pues no tiene ese uno entonces lo ponemos tal cual c 2 entre 2 por x por el ala un medio de x aquí me falta un x perfecto ahora hay que utilizar la segunda condición inicial que quiere decir que prima de 0 es un tercio es decir cada vez que yo vea a x voy a poner 0 entonces me va a quedar un tercio es igual a 1 más de 2 más y si yo pongo 0 en x pues todo esto se va entonces ya no es en serio escribirlo me queda simple y sencillamente que un tercio es igual a 12 o dicho de otra manera se 2 es igual a menos dos tercios pasivo el uno del otro lado y un tercio menos uno pues son menos dos tercios perfecto entonces esto me da pie a poder escribir ya mi solución de mi ecuación diferencial con una solución completamente particular pues ya tengo tanto hace uno como hace dos que me va a quedar mi respuesta va a ser igual a 2 por un medio de x solamente estoy sustituyendo en mi solución particular y a esto lo tengo que restar dos tercios de x por el ala un medio de x lo único que hice fue sustituir a c1 y c2 en mi solución general para así obtener la solución particular y es así como hemos terminado pero quiero que se den cuenta antes de finalizar este vídeo que si ustedes quieren hacer una forma rápida de encontrar la solución de este tipo de ecuaciones diferenciales de segundo orden pues es muy fácil porque lo que tenemos que hacer es fijarnos en la ecuación diferencial en la ecuación característica después encontrar una solución general y esta solución general derivar la y después utilizar las condiciones iniciales y ya con eso nosotros tenemos la solución particular de lo que buscábamos en el siguiente vídeo analizaremos las ecuaciones diferenciales de segundo orden que no son homogéneas nos vamos a divertir bastante así que pues no se lo pierdan