Determinante de la transpuesta

en este vídeo lo que quiero ver es si tomar la transpuesta de una matriz afecta en algo al determinante así que vamos a empezar con el caso más sencillo que es el caso de las matrices de 2 x 2 supongan sé que tengo una matriz de 2 x 2 que qué forma tiene que tener pues tiene que ser ave y voy a tomar su determinante recuerden que cuando no pongo paréntesis cuadrados rodeando la matriz si no pongo estas líneas significa determinante entonces quién es el determinante una matriz de 2 por 2 pues ustedes ya lo saben es por de a por de menos de porce perfecto ahora qué pasa si trans pongo esta matriz que obtendría tengo que intercambiar renglones por columnas entonces esta matriz se convierte en hace de t y quién es el determinante pues de nuevo es por de menos b por se noten que lo único que pasó al transponer fue que se intercambiaron b y c pero como si van a multiplicar no pasó absolutamente nada así que el caso de matrices de 2 x 2 si ya es de 2 x 2 entonces su determinante el determinante de a es igual al determinante de a transpuesta muy bien ahora para ver qué se vale para todos los enteros para matrices de n por n lo voy a hacer por inducción inducción inducción matemática y cómo funciona la inducción pues lo primero que tengo que hacer es suponer supongo supongo que funciona para toda matriz ve de nm de este simbolito significa para toda matriz bdn por n el determinante de b determinante de b es igual al determinante de b transpuesta y dado eso dado eso quiero usar otro color dado esto de aquí voy a probar y suponiendo esto pruebo que entonces se vale se vale para matrices y matrices de n 1 por n 1 y si este es el caso si esto es cierto si se vale para matrices de n por n entonces se vale para matrices de n más uno por n 1 entonces ya acabé porque como se vale para matrices de 2 x 2 entonces se vale para matrices de 3 por 3 pero como se vale para matrices de 3 por 3 se vale para matrices de 4x4 y así sucesivamente así que habría probado que en efecto esto es válido para matrices de de n por n con n mayor o igual a 2 el caso de n igual a 1 es completamente trivial y se los dejo ejercicio bien pues de que me pongo una matriz a siempre usaba para matrices de n 1 n 1 y simplemente porque es más simple voy a llamar a este número de aquí a n 1 lo voy a llamar m 12m y esto va a ser m ok entonces quién es mi matriz a como se ve pues vamos a ver la matriz y se va a ver algo así va a ser a 11 a 12 a 13 hasta hasta a 1 m recuerden que ms n 1 segundo renglón sería a 21 a 22 a 23 hasta a 12 m tercer renglón a 3 1 a 3 2 a 33 hasta hasta a 3 m y así podría continuar no lo voy a hacer pero podrían seguir hasta llegar hasta a m1 m2 a m3 y seguirse hasta a m m así que esta es mi matriz a donde claro esta columna sigue esto sigue y esto sigue y aquí también hay cosas de enmedio bien entonces ya que tengo a quién está transpuesta tiene es mi matriz ha transpuesto de nuevo va a ser de n 1 por n 1 o dicho de otro modo de m por m y quien es pues es el resultado de intercambiar columnas y renglones así que voy a agarrar este primer renglón y lo voy a escribir como una columna va a ser a 11 a 12 a 13 hasta a 1 m bien ahora mi segundo renglón es este de aquí lo escribo como mi segunda columna a-21 a-22 y a-23 hasta a 12 m bien tercer renglón se convierte en la tercera columna a 3 1 a 3 2 a 33 y a 3 m sé que no sólo escribir tantas entradas en las matrices pero en este caso creo que será útil ok entonces continúa para acá y terminaría en a m 1 a m2 a m3 y finalmente a m m y aquí con todo lo que esté en medio muy bien esa es mi transpuesta ahora bien necesito comparar el determinante de esta matriz con el determinante de esta otra matriz muy bien quién es el determinante de la matriz a esto eso sabe muy bien que por ejemplo no podría desarrollar a partir del primer renglón y usar la llamada fórmula de la plástico regla de la plaza y ella me diría que él determine determinante idea es a 1-1 por el determinante de la matriz que obtengo de eliminar el primer renglón y la primera columna que voy a llamar a 11 así que a 11 es esta sub matriz de aquí es esta su matriz de aquí esto es a 11 luego menos a 12 por el determinante de la matriz que obtengo al eliminar el primer renglón y la segunda columna así que esa la voy a llamar a 12 ya ves a esta anotación antes y así continúa sumando continúa sumando hasta que llegó a el término que corresponde a 1 m pero lleva signo menos 1 a la m1 esto quiere decir más menos más menos más menos hasta que llegó aquí y será menos 17 spar y 17 es impar y acá sería a 1 m por el determinante de la sub matriz a 1 m que sería el resultado de eliminar primer renglón y primera columna me quedaría ahora con todo lo que está por acá ahora bien quién es el determinante de a transpuesta quién es el determinante de a transpuesta pues nosotros sabemos que en vez de irnos por el primer renglón también nos podríamos ir por la primera columna así que vamos a desarrollar el determinante pero mediante la primera columna así que de nuevo tendría a 11 por el determinante por el determinante de la matriz las matriz que obtengo de quitar este renglón y esta columna así que si quito eso lo que me queda es esto de aquí pero tienes esto de aquí pues se observan estoy aquí es a 22 a 23 hasta a 12 m nada más que ahora está en una columna en vez de en un renglón luego a 32 que está aquí a 33 hasta 13 m que de nuevo antes en un renglón y ahora está en una columna así que en realidad es el determinante de a 1-1 transpuesta - ahora quien a 12 a 12 por el determinante de quien ahora lo que voy a hacer es quitar a voy a tratar de usar este color voy a quitar a este renglón esta columna y entonces lo que me queda sería la matriz que tiene a esto y que tiene a esto tienen que pegar las dos mitades de la matriz y ahora bien quién es eso pues es lo mismo a ver si aquí tachó este y tachó este entonces me quedo con esto y me quedo con esto de acá y fíjense de nuevo la primera columna de esta matriz sería a 21 a 23 hasta a 12 m que es el primer renglón de esta matriz el segundo renglón perdón la segunda columna de esta matriz sería el segundo renglón de esta matriz así que en realidad esto es 1 2 transpuesta transpuesta y así voy a continuar voy a continuar hasta que llegué aquí a la entrada aún no m qué va a llevar signo -1 a la 1pm oa la m1 y va a ser a 1 m por el determinante de la sub matriz híjole esto ya se hizo un revoltijo de lo peor por la sub matriz que contiene a todas las entradas menos las que están en la primera columna y en el último renglón así que sería esta de acá pero quién es eso pues es la atrás pues está de la matriz que contiene a todas las entradas menos en esta matriz las que están en el primer renglón o en la última columna así que esto aquí va a ser a 1 m transpuesta y perdonen un poco el relajo que se armó aquí pero creo que entienden la idea el punto es que la sub matriz de la que tengo que tomar el determinante siempre va a ser la transporta de la sub matriz de la entrada correspondiente en mi matriz original pues muy bien porque recuerden que estamos haciendo una inducción así que tenía la suposición de que se valía para matrices de n por n estas dos matrices de aquí está y ésta estas dos son matrices de n 1 por n 1 pero estás está y estas son matrices de n por n ésta y ésta al igual que estas dos son de n por m esta i y así en todos los casos así que mi hipótesis inductiva la hipótesis inductiva me decía que el determinante debe donde verá cualquier matriz de n por ende era igual al determinante de la trans puesta entonces simplemente puedo cambiar todas las respuestas aquí por la matriz sin transponer es decir esto es lo mismo que el determinante de 11 menos 12 por el determinante de a 12 y así así hasta llegar a menos 1 a la m 1 x 1 m por el determinante de a 1 m muy bien pero entonces esta fórmula la que está aquí abajo en morado coincide con la fórmula que está aquí en amarillo para el determinante de a así que efectivamente lo que he probado es el caso de n 1 por m + 1 es decir provee que el determinante de a es igual a el determinante de a transpuesta sí se vale sí es cierto sí es cierto para matrices para matrices de m por m pero entonces ya acabé porque ya lo había probado acá arriba lo provee para matrices de 2 por 2 y entonces esto lo que me dices ah ok ya lo probaste para matrices de 2 x 2 entonces se vale para matrices de dos más uno por dos más uno sea matrices de tres por tres y si se vale para las de tres personas se vale para las de cuatro por cuatro y así sucesivamente así que en efecto acabamos de probar esto por inducción para matrices de n por n para cualquier n mayor igual a 2 en resumen si aplicas la transpuesta el determinante no cambia