La fórmula de la divergencia (parte 2)

hola a todos en el último vídeo estábamos viendo campos vectoriales cuyas componentes verticales fueran cero verdad y teniendo así vectores que solo apuntan en la dirección digamos horizontal es decir en el sentido a la derecha por ejemplo oa la izquierda verdad entonces más o menos así se visualizan este tipo de campos vectoriales es decir no tienen nada de componente en la dirección vertical ni hacia arriba ni hacia abajo y luego aterrizamos la idea de que la divergencia de nuestro campo vectorial paradas la divergencia del campo vectorial b tiene que ver justamente con la derivada parcial de la primera componente con respecto a x verdad pero en este vídeo quiero hacer justamente lo contrario quiero justamente que la componente horizontal sea 0 y la componente vertical si puede ser cualquier otra cosa verdad entonces la componente horizontal tiene que ser 0 pero la componente vertical puede ser nuestra función q x de verdad entonces si nosotros tenemos este tipo de campos vectoriales la forma en la que visualizamos esto es similar al caso anterior solo que sólo vamos a tener flechas apuntando hacia arriba o hacia abajo verdad entonces nuestra divergencia del campo vectorial ve la divergencia del campo vectorial b y por supuesto esto siempre tiene que ser en algún punto x que digamos si suponemos que es positiva pues pensemos de qué forma se puede visualizar esto por ejemplo podríamos pensar en un punto en donde no está ocurriendo nada es decir q vale 0 verdad y entonces para qué las partículas estén alejando por arriba tiene que apuntar justamente hacia arriba verdad estaríamos pensando que q tiene que ser positivo y por abajo tiene que apuntar hacia abajo entonces estaríamos pensando que q tiene que ser negativo en este caso fíjense que estamos viendo que al movernos en la dirección vertical es decir en la dirección d si vamos de abajo hacia arriba entonces vamos de negativo a 0 y positivo es decir la función que está creciendo quiere decir que nuestra derivada parcial de q con respecto de la variable y tiene que ser positiva verdad así que parece que esto corresponde a que la divergencia tiene que ser positiva también verdad entonces podríamos también formular otra situación en donde a lo mejor en este punto apunta también hacia arriba verdad aquí tendríamos que q es positivo entonces para que la divergencia sea positiva la tasa de entrada verdad tiene que ser digamos muy pequeña es digamos podremos pensar que es casi casi cero comparada con la tasa de salida verdad entonces digamos aquí estoy mezclando notación pero podríamos pensar que es muy muy muy grande verdad y otra vez al movernos de abajo hacia arriba en la dirección vertical verdad tendremos que q aumenta la variable ye lo cual refuerza esta idea de que la derivada parcial de q con respecto de y tiene que estar relacionada con la deriva con la divergencia verdad y podrías esbozar más circunstancias verdad que pasaría por ejemplo si en lugar de que aquí inicialmente apunte hacia arriba apunta hacia abajo verdad o podrías esbozar casos para entender cuando la divergencia es igual a cero pero quería que viéramos digamos que esta derivada parcial también está relacionada con la divergencia y cuando lo combinamos con lo que teníamos anteriormente técnicamente es lo único que necesitamos para calcular la divergencia entonces si nos hacemos espacio verdad y aquí ponemos nuevamente digamos bien nuestro campo vectorial ve que depende de nuestras variables xy de verdad y en general puede tener dos entradas la entrada x perdón de entrada px de entrada q de x de verdad entonces la forma en la que calculamos la divergencia de nuestro campo vectorial b y por supuesto como siempre estaremos hablando en un punto particular x pues se calcula como la suma de las dos derivadas parciales que encontramos la derivada parcial de p con respecto de x más la derivada parcial de q con respecto de g y esta esta es la fórmula para la divergencia de un campo vectorial y espero que en realidad esto ya no sea sólo una fórmula más sino que realmente comprendas de dónde salió cuál es la intuición detrás de esta fórmula verdad que cuando veas estas derivadas parciales por ejemplo la derivada parcial de p con respecto de x estés pensando justamente en la dirección horizontal de nuestro campo vectorial y en este punto pensemos que hay una una mayor salida de partículas de agua fluido del que estemos hablando verdad y que cuando veas la derivada parcial de q con respecto de y entonces pienses justamente en lo mismo pero para la componente vertical y lo sorprendente de aquí es que como deducimos todo esto fue simplemente con casos particulares y muy simples verdad pero nosotros sabemos que por ejemplo déjenme borrar estas flechas en realidad los casos más generales no son siempre horizontales o verticales verdad sino que pueden ser así y así y podemos tener muchas combinaciones de flechas por acá verdad podríamos tener todo esto y en realidad este caso lo podemos entender muy bien ahora con esta fórmula esencialmente porque todos estos vectores los podemos descomponer verdad podemos descomponer los vectores en su componente horizontal y en su componente vertical verdad y por eso es que tendremos esta suma de estas derivadas verdad ahora bien si quieres pensarlo en términos del fluido verdad pensemos en este punto por ejemplo de aquí y ahora dibujamos una pequeña caja alrededor de este punto y entonces nos fijamos justamente en la cantidad de fluido que entra por estos lados pero estos lados son digamos corresponden a la parte vertical y estos corresponden a la parte horizontal verdad y si tuviéramos un vector digamos que entra en diagonal pues simplemente vemos como contribuye cada una de las componentes de este vector para entrar en esta cajita por los lados correspondientes verdad entonces esta es la razón por la que sólo pensamos en estos dos términos para la divergencia así pensamos como contribuye cada cada componente digamos en cada lado de este de esta cajita verdad pero bueno de todas formas lo importante de la divergencia es que solo involucra y estos dos términos estas derivadas parciales