Analizar la distribución de la suma de dos variables aleatorias distribuidas normalmente. Ejemplo

sergio viaja al trabajo y le preocupa quedarse sin gasolina la cantidad de gasolina que utiliza para cada parte de su trayecto tiene una distribución normal pero la cantidad de gasolina que utiliza de camino a casa mariah más las cantidades de gasolina que utiliza para cada parte de su trayecto son independientes entre sí a continuación se muestra el resumen de estadísticas para la cantidad de gasolina que sergio utiliza en cada parte de su trayecto así que cuando va al trabajo utiliza una media de 10 litros de gasolina y tiene una desviación estándar de 1.5 litros cuando regresa a casa también utiliza una media de 10 litros pero la desviación estándar en este caso es más grande es de 2 litros supón que sergio tiene 25 litros de gasolina en el tanque y quiere viajar del trabajo a su casa cuál es la probabilidad de que serbio se quede sin gasolina esto es bastante interesante tenemos la distribución para la cantidad de gasolina que utiliza para viajar al trabajo y a casa y nos dicen que ambas son distribuciones normales aquí nos preguntan sobre el total de gasolina que él utiliza para ir al trabajo y regresar a casa así que necesitamos encontrar una distribución total que llamaremos trabajo más casa si tenemos dos variables aleatorias que pueden describirse con una distribución normal y definimos una nueva variable aleatoria como la suma de esas dos variables la distribución de la nueva variable aleatoria seguirá siendo una distribución normal y su media será igual a la suma de las medias de las dos variables aleatorias así que la media de trabajo más casa es igual a 20 litros él utilizará una media de 20 litros para ir al trabajo y regresar a casa ahora para la desviación estándar de trabajo más casa no podemos sumar las desviaciones estándar de las dos variables pero debido a que la cantidad de gasolina que se utiliza para ir al trabajo y para regresar a casa son variables aleatorias independientes aquí nos dicen que son independientes entre sí únicamente por esta razón es que podemos sumar las varias así que podemos decir que la varianza del viaje combinado es igual a las varianzas de ir al trabajo y de regresar a casa cuál es la varianza de ir al trabajo 1.5 al cuadrado más la varianza de regresar a casa que es 2 al cuadrado 2.25 4 nos da 6.25 esta es la varianza del viaje completo si calculamos la raíz cuadrada de esto vamos a tener la desviación estándar del viaje completo que es 2.5 ahora podemos describir la distribución normal del viaje completo y usarla para responder la pregunta tenemos una distribución estándar que luce más o menos así y sabemos que la media es igual a 20 litros y queremos saber cuál es la probabilidad de que sergio se quede sin gasolina para que se quede sin gasolina necesita gastar más de 25 litros 25 litros de gasolina están aquí el escenario en el que sergio se queda sin gasolina es este a quien necesita más de 25 litros de gasolina para el trayecto completo calculamos esta área de acá podemos usar una tabla zeta para encontrar en cuántas desviaciones estándar por encima de la media se encuentran los 25 litros bueno tenemos 5 litros por encima de la media vamos a escribirlo la zeta es igual a 25 menos la media 20 entre la desviación estándar de esta distribución normal combinada 2.5 lo que es igual a 2 estos estados desviaciones estándar por encima de la media o puntaje z de más 2 si en una tabla zeta buscamos exactamente dos desviaciones estándar por encima de la media nos dará esta área que estoy señalando el área acumulada por debajo de dos desviaciones estándar por arriba de la media si a uno le restamos esta cantidad tendremos el área que nos interesa veamos la tabla zeta y busquemos el puntaje z de 2 exacto aquí tenemos 2.00 y el valor es punto 9 772 lo que nos dice que esta área que señale es 0.9 7 72 por lo que el área que nos interesa es 1.9 772 que es igual a punto 0 228 la probabilidad de que sergio se quede sin gasolina es de 2.28 por ciento