El plano complejo

La unidad imaginaria, o sea $i$‍, es el número que satisface las siguientes propiedades equivalentes:

Un número complejo es cualquier número que puede escribirse como $a+bi$‍, donde $i$‍ es la unidad imaginaria y $a$‍ y $b$‍ son números reales.

$a$‍ se llama la parte $\text{real}$‍ del número, y $b$‍ se llama la parte $\text{imaginaria}$‍ del número.

Tal como utilizamos la recta numérica para visualizar el conjunto de números reales, podemos utilizar el plano complejo para visualizar el conjunto de números complejos.

El plano complejo consiste de dos líneas rectas numéricas que se intersecan en un ángulo recto en el punto $(0,0)$‍.

La recta numérica horizontal (que conocemos como el eje $x$‍ en el plano Cartesiano) es el eje real.

La línea recta numérica vertical (el eje $y$‍ en el plano Cartesiano) es el eje imaginario.

Cada número complejo puede representarse como un punto en el plano complejo.

Por ejemplo, consideremos el número $3-5i$‍. Este número, que también se expresa como $3+(-5)i$‍, tiene una parte real $3$‍ y una parte imaginaria $-5$‍.

La ubicación de este número en el plano complejo es el punto que corresponde a $3$‍ en el eje real y a $-5$‍ en el eje imaginario.

Así que el número $3+(-5)i$‍ se asocia con el punto $(3,-5)$‍. En general, el número complejo $a+bi$‍ corresponde al punto $(a,b)$‍ en el plano complejo.

En la época de Pitágoras, la existencia de números irracionales ¡fue un descubrimiento sorprendente! Se preguntaban cómo podía existir algo como $\sqrt{2}$‍ sin tener una expansión decimal exacta.

Sin embargo, la recta numérica real ayuda a rectificar este dilema. ¿Por qué? Pues porque $\sqrt{2}$‍ tiene una ubicación específica en la recta numérica real. (Si tomas la diagonal del cuadrado unitario y colocas un extremo en $0$‍, el otro extremo coresponde al número $\sqrt{2}$‍).

Similarmente, todo número complejo de hecho existe, pues ¡corresponde a una ubicación exacta en el plano complejo! Quizá al poder visualizar estos números, podamos entender que llamar "imaginarios" a estos números fue una denominación poco apropiada.

Los números complejos existen y son parte de las matemáticas. La recta numérica real es simplemente el eje real en el plano complejo, pero ¡hay mucho más fuera de esa sola línea!