Complemento ortogonal del complemento ortogonal

como en todos los últimos vídeos que hemos estado haciendo vamos a comenzar partiendo de un sub espacio vectorial de rn entonces digamos que aquí tenemos nuestro espacio rn y vamos a empezar con algún sub espacio digamos b ok entonces vamos a tener aquí nuestro sub espacio b y ya hemos visto en vídeos anteriores que podemos construir un espacio llamado el complemento ortogonal de b que de hecho va a coincidir con be únicamente en un punto que es el 0 entonces digamos que aquí tenemos a b ortogonal ok entonces la pregunta es la siguiente bueno vamos a ir escribiendo quienes be ortogonal vamos a repasar que be ortogonal es el conjunto de todos los vectores x de ere en tales que estos vectores son ortogonales a todo el conjunto b eso quiere decir que si hacemos el producto punto de x con b para cualquier ven en el sub espacio esto me debe dar 0 esta es la definición de que sean ortogonales debes debe de ser cierto para todo para todo de que se encuentre en nuestro psuv espacio de mayúscula ok entonces lo que vamos a pensar en este vídeo es qué ocurre cuando uno considera el complemento ortogonal de un complemento ortogonal es decir tenemos el complemento ortogonal del complemento ortogonal y esto por definición pues serán todos aquellos vectores x de nuestro espacio rn que sean ortogonales a los que se encuentran en el espacio ortogonal a b entonces quiere decir que x punto w debe ser igual a 0 para todo para todo wv en el espacio en el complemento ortogonal debe ok entonces algo que hay que notar y que debe ser claro es que el sub espacio b el sub espacio b está contenido en el complemento ortogonal del complemento ortogonal de b porque sí si los vectores que son ortogonales a d pues si tenemos eso es decir si tenemos todos los vectores que son ortogonales sabe pues todos los que son de b también son ortogonales a los que se encuentran en el complemento ortogonal de veces que suena como trabalenguas pero lo que quiero decir es esto que quizás podríamos tener que el complemento ortogonal del complemento ortogonal no sólo contenga vez sino que también pudiera contener algunos otros vectores que no estén en vez digamos que tengamos esta otra región que estoy sombreando lo que lo que ocurre es que aquí no sabemos si b es todo el complemento ortogonal o si tenemos algunos vectores que no estén incluidos en b y que sean parte del complemento ortogonal del complemento ortogonal ok entonces la pregunta es bueno quizás este complemento ortogonal digamos podríamos pensarlo como que es la inversa no quizás podría ser que el complemento ortogonal del complemento ortogonal vuelve a ser el mismo espacio que fuera como la operación transpuesta que selló una una idea de ese estilo entonces lo que vamos a tener es vamos a partir del hecho de que x se encuentre en el complemento ortogonal del complemento ortogonal debe y vamos a demostrar vamos a ver si es cierto que este x pertenece a nuestro espacio b entonces lo que ya habíamos visto en otros vídeos es que si yo tengo cualquier vector en rn en particular este x yo lo puedo escribir como una descomposición única de dos vectores es decir lo puede escribir como la suma de dos vectores donde el primero de ellos se encuentra en b donde éste está en nuestro sub espacio de mayúscula y el otro se encuentra en el complemento ortogonal muy bien entonces este x que en particular me tome que se encuentra en el en el ortogonal del complemento ortogonal de b lo puede escribir de esta forma en ésta en esta descomposición ahora bien qué ocurre si yo hago el producto punto de este x con w entonces x punto w por un lado si nos damos cuenta w está en el complemento ortogonal y x se encuentra en el complemento ortogonal del complemento ortogonal de b es decir xy w son ortogonales y por lo tanto el producto punto es 0 pero por otro lado es x como se puede descomponer de esta forma entonces tendremos b b más w y hacemos el producto punto con w y esto pues como se distribuye tendremos de punto w esto más w punto w muy bien ahora bien ves se encuentra en el sub espacio b&w se encuentra en él en el complemento ortogonal de s por lo tanto esta parte 0 y sólo nos queda w punto w que no es otra cosa más que la norma el tamaño de w al cuadrado su magnitud son sinónimos en este caso entonces la magnitud o la norma de w al cuadrado es cero tenemos entonces que la norma de w al cuadrado es igual a 0 y esto que nos dice inmediatamente el único vector cuya norma o cuya magnitud de 0 sólo puede ser el vector 0 entonces obtenemos que w es el vector 0 y eso nos dice mucho porque si la descomposición había sido hecha de esta forma quiere decir que x es b porque w es 0 verdad entonces tenemos podemos concluir que x es igual a b muy bien pero si x es igual a b y dijimos que b estaba en nuestro sub espacio eso quiere decir eso quiere decir inmediatamente que nuestro vector x pertenece al espacio b entonces qué es lo que hemos hecho nos tomamos cualquier elemento en el complemento ortogonal del complemento ortogonal de b y llegamos a que no importa cuál nos tomemos porque fue arbitrario y pertenece a nuestro espacio ve esto quiere decir que el complemento ortogonal del complemento ortogonal de b está contenido en el en el espacio b aquí ya habíamos mencionado que b estaba contenido en este conjunto pero vamos a hacer lo dijimos digamos muy al aire vamos a hacer un poquito más formales en ese sentido digamos digamos que tenemos por ejemplo vamos a tomarnos un ahora uno ve en nuestro espacio vectorial ve en nuestro sub espacio y vamos a ver que este forzosamente está en el complemento ortogonal del complemento ortogonal ok entonces vamos a ver vamos a hacer un dibujo incluso de esto digamos que otra vez tenemos aquí nuestro espacio rn ok y ahora vamos a partir no de no del sub espacio ve vamos a partir del sub espacio de ortogonal ok y pues sabemos nuevamente que el ortogonal del ortogonal coincide con él en solo un punto que es el 0 aquí tenemos a de ortogonal ortogonal muy bien lo que nos gustaría demostrar es que éste que nos tomamos arbitrariamente en b se encuentra en este conjunto amarillo en el complemento ortogonal del complemento ortogonal ok entonces nuevamente podemos utilizar este truco en donde ve yo lo podemos expresar como una suma de dos vectores y esta suma es única entonces esto será w más un vector vamos a llamarle x donde pues w en principio dónde podemos pensar que w se encuentre en el espacio wv ok este es nuestro psuv espacio y por lo tanto podemos hacer esta descomposición y vamos a pensar que nuestro vector x pues está en el ortogonal de este ortogonal se encuentra en el complemento ortogonal del complemento ortogonal debe ok y hacemos vamos a usar el mismo el mismo truco el mismo argumento qué pasa si hacemos el producto punto debe con w bueno b se encuentra en en el sub espacio b&w se encuentra en el complemento ortogonal debe entonces estos dos son ortogonales y por lo tanto esto vale cero pero por otro lado me lo puedo expresar de esta forma es decir bs w x y voy a hacer el producto punto con w y nuevamente esto como se puede distribuir el producto punto tenemos w punto w x punto w dije doble 1x ahí está y notemos que x está es ortogonal o más bien x está en el complemento ortogonal del complemento ortogonal the b&w está en el complemento ortogonal de b por lo tanto estos dos son ortogonales y este producto punto vale 0 ok por lo tanto llegamos a que doble w un punto w que es la norma de w al cuadrado tiene que ser cero y exactamente igual que en el caso anterior te podemos concluir que w es el vector cero no le queda de otra más que ser el vector cero ahora bien si w es el vector cero esto de aquí no aparece y entonces b es igual a equis esto quiere decir que ve es igual a equis y como b es igual a equis que tenemos x en qué conjunto vivían en el complemento ortogonal del complemento ortogonal de b eso nos dice que si partimos de cualquier b arbitrario en nuestro psuv espacio b mayúscula entonces llegamos a quien sin importar cual me eligiera de forzosamente tenía que estar también en él en el complemento ortogonal del complemento ortogonal debe ok entonces esto si le sumamos además que el resultado anterior esto que sí estaba en el complemento ortogonal del complemento ortogonal es decir si x si x se encuentra en el complemento ortogonal del complemento ortogonal de b habíamos dicho que entonces que entonces x forzosamente tenía que estar en b entonces aquí me está diciendo en el primer enunciado que si yo tengo un vector en b forzosamente todos ellos deben estar en el ortogonal del ortogonal debe y por otro lado me dice que todos los elementos del ortogonal del ortogonal de b tienen que estar en b por lo tanto estas dos afirmaciones me están indicando inmediatamente que el conjunto que los dos conjuntos son equivalentes que son iguales es decir el espacio vectorial ve está contenido en el octogonal del ortogonal debe y por otro lado el ortogonal del ortogonal debe está contenido en nuestro espacio b y por lo tanto ambos conjuntos son iguales