Expresar una proyección en una recta como un producto de matrices y vectores

en un vídeo anterior vimos que si teníamos alguna línea que está definida de la siguiente forma nuestra línea el decide hacerlo con un color mucho más claro que nuestra línea l eran todos los múltiplos de algún vector b y cuando digo todos los múltiplos son todos verdad son todos los múltiplos sobre la línea o sobre la recta real verdad entonces ya que definimos esta línea también definimos una transformación que de hecho le llamamos la proyección sobre nuestra línea l que de hecho era una función que iba de nuestro espacio rn a rn verdad tomamos un vector en rn y lo apachurra vamos o justamente lo proyectamos sobre nuestra línea que vive también en rn de hecho sabemos una fórmula para la proyección del vector x sobre la línea l no es otra cosa más que x punto b sobre de punto b ok por el vector de donde ves este mismo generador de la línea ok entonces lo que quiero hacer en este vídeo es ahondar un poquito más en las ideas que hay detrás de las proyecciones y llegar a demostrar una propiedad muy importante que ya veremos más adelante pero algo que ya quizás te habrás dado cuenta aquí que te estarás que estarás notando es bueno quienes ve punto gay de hecho en general sabemos que si tenemos x x para cualquier vector esto no es otra cosa más que la norma al cuadrado de x verdad entonces de punto b no es otra cosa bueno lo demás lo dejamos igual que esto es x punto b sobre de punto b que es la norma al cuadrado de b ok y todo esto multiplica a nuestro vector de esto es un escalar que multiplica a b ahora bien qué pasaría hay que hay que preguntarnos lo siguiente qué pasaría si si este b en particular que nos tomamos tienen norma igual es decir qué pasaría si la norma debe es igual a 1 es decir estamos pensando que b es un vector unitario es un vector unitario en el mismo sentido que lo vimos en el vídeo correspondiente donde hablamos justamente de los vectores unitarios ok entonces si si la norma debe fuera unitario tendríamos que esta expresión de aquí simplemente como este es uno se reescribe como x punto d por el vector b ok y lo cual es una expresión sumamente sencilla verdad es es muy fácil acordarse cuando uno tiene un generador de una recta que tiene norma 1 ahora el detalle cuando vimos el vídeo de vectores unitarios es que siempre podemos dar 1 y vamos a hacer un ejemplo un dibujo para para ejemplificar esto tenemos aquí digamos nuestros ejes esto lo estoy pintando en enredos aunque por supuesto todo esto lo podemos extender a rn verdad y aquí tenemos nuestra línea y digamos que quien genera esta línea es un vector b este es mi vector be y que además éste no tiene normal norma unitaria es decir la norma de este vector es distinta de 1 sin embargo ya vimos en ese vídeo de vectores unitarios quedado cualquier vector siempre puede uno encontrar otro que le de hecho le poníamos este este gorrito gracioso simplemente por tomar este vector y dividirlo por su norma verdad dividimos por su nombre por su norma al vector y entonces éste si ya tiene norma unitaria y de hecho como como este como como como b es un múltiplo de v entonces la línea generada por b es exactamente la misma generada por u verdad lo que tenemos es que nuestra línea l simplemente es la línea generada por ahora nuestro vector unitario y verdad pues si digo si teníamos todos los múltiplos de b y v son múltiplo de b pues entonces también tendremos todos los múltiplos de v y de esta forma entonces podemos concluir que nuestra proyección la proyección sobre nuestra línea l de cualquier vector x ya tiene una forma sencilla y de hecho es x punto 1 que multiplica al vector y muy bien entonces esto de aquí por ejemplo si lo utilizamos en los vectores que utilizamos en el vídeo anterior en el vídeo anterior teníamos el vector b que era el vector 2 1 el vector x verdad que era el vector 23 es decir podríamos pensar que esta línea es la generada por el vector 21 y que queremos proyectar un vector digamos x que es el 23 digo no no no sé si exactamente así se pintarían estos dos vectores pero lo que quiero que quede claro es la idea de que lo que queremos hacer verdad entonces lo que necesitamos es calcular primero la norma de b y la norma debe es fácil de calcular porque simplemente es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las entradas es decir de 2 al cuadrado de 2 al cuadrado más 1 al cuadrado y esto es la raíz cuadrada de 5 así que nuestro vector un unitario va a ser 1 entre la norma que sería 1 entre la raíz de 5 por el vector 21 ok y entonces este es nuestro vector unitario y por el vídeo que hicimos siempre podemos dar un vector unitario siempre lo podemos garantizar entonces si yo tengo inicialmente una línea que es generada por un vector de la definición de la proyección puede parecer en principio más o menos complicada pero si nuestro generador de la recta es tiene es unitario es decir tiene norma 1 entonces esta expresión se simplifica muchísimo a simplemente a simplemente esto de aquí x punto u por el vector u donde es el vector unitario muy bien entonces ya que tenemos esto tú dirás oye ya me has hablado lo suficiente de las proyecciones ya me dijiste que es una transformación lo que no sabemos hasta este momento es si dicha transformación es lineal aunque entonces lo que no sabemos decir es una transformación formación lineal y eso es lo que vamos a ver justamente ahorita vamos a demostrar que si es una transformación lineal y para eso lo que vamos a hacer es ver que se cumplen las dos propiedades es decir vamos a tomarnos la proyección la proyección sobre l de una suma de vectores y vamos a ver que esto es la proyección de a más la proyección bebé entonces esto por definición si si si tenemos un generador de l que es un vector unitario ya vamos a suponer que es unitario entonces esto simplemente es además ve que es el que juega el papel de x en este en este ejemplo punto y ok y todo esto multiplica a mi vector y ahora bien este producto punto se distribuye verdad por propiedades del producto punto esto es a punto y más b punto y esto multiplica a nuestro vector y nuevamente si tenemos una suma de escalares que multiplica a un vector por las propiedades de los vectores tenemos que esto es apuntó que multiplica a uno más más vamos a ponerlo a punto que multiplica al vector u y esto ya está gritando a leguas que es lo que estamos encontrando porque esto de aquí no es otra cosa más que la proyección sobre l de nuestro vector a verdad esto es por definición aquí está la definición simplemente en vez de x ponemos a y esto de aquí no es otra cosa más que la proyección sobre nuestra línea l del vector b ok entonces ya tenemos la primera condición de que la proyección de una suma en efecto es la suma de las proyecciones entonces eso es apenas la mitad del trabajo necesitamos también demostrar que si tenemos la proyección la proyección sobre l de un múltiplo de un vector déjenme ponerle como estábamos trabajando esto debería ser el la constante que multiplica a la proyección de a pero bueno esto por definición es sea punto que multiplica a nuestro vector u y nuevamente por propiedades del producto punto las constantes pueden salirse del producto punto entonces esto este veces apuntó que multiplica y esto esto de aquí no es otra cosa más que esto es la proyección sobre l de a que está haciendo x c entonces tenemos de veces la proyección sobre l del vector a y como esta es la segunda condición que se debe cumplir para que una transformación sea lineal tenemos esta y tenemos esta entonces si esta transformación en efecto es lineal pero hay algo más importante que sabemos de las transformaciones lineales y que esencialmente es mi punto central de este vídeo y es que por ser lineal tiene forzosamente una representación matricial es decir nosotros sabemos si que la proyección sobre la línea l del vector x se puede calcular como x punto u que multiplica al vector y ok pero pero por ser una transformación lineal tenemos de gratis que existe una matriz a que al multiplicarlo por x está esta transformación y de hecho sabemos que la matriz a es de 2 x 2 verdad es de 2 x 2 porque tenemos que la proyección va de r2 a r2 entonces vamos a ver si nosotros tenemos esto de aquí de hecho aquí lo voy a trabajar dije de dos por dos estoy pensando entonces que la proyección sobre la línea l del vector x es una función que va de r 2 en el rededor sin embargo esta idea que voy a presentar la puede no extender a rn donde la gente puede ser tan grande como quieras de 724.000 lo que sé yo lo que quiero hacer aquí con este ejemplo es fijar las ideas ok quiero fijar las ideas de cómo se comporta la matriz de una proyección y para hacer eso sabemos muy bien que necesitamos ver hacia dónde va a dar la base canónica es decir qué pasa si yo me tomo la identidad la identidad en este caso de 2 x 2 y empiezo a aplicarle la transformación si yo aplico la transformación voy a tener que entonces mi matriz a es aquella que tiene como columnas a la imagen de la de la transformación que en este caso es una proyección de la base canónica es decir d dos vectores que forman la base canónica entonces si aplicamos la transformación al primer vector al 10 estaríamos diciendo que tengo 1010 punto y que digamos que nuestro vector y el vector unitario va a ser un 1 o 2 vamos a pensar que se escribe de esa forma y entonces al aplicar la proyección al vector 10 tenemos 10 puntos que es un 1 o dos y todo esto multiplica al vector que es un 12 esta es mi primera columna vámonos con la segunda la segunda columna es aplicar la transformación al 0 1 ok si dije el 10 anteriormente espero que si él aquí aplicamos la transformación a 10 vamos a aplicarlo a 0 1 ok entonces tengo 0 1 punto 1 1 2 y todo esto multiplica al vector 1 1 2 entonces aquí ya tenemos sin desarrollar mi matriz que me interesa así que vamos a vamos a desarrollarlo solo que tenemos que calcular pero ya está aquí verdad porque lo podemos de hecho lo podemos expresar como como bueno antes de antes de expresar lo vamos a terminar de decir quién es esta matriz aquí este producto punto nos da uno por s con perdón 1.1 por 10 por 1 2 es uno que multiplica a a este vector verdad entonces de hecho y hacerlo más espaciado entonces si nosotros desarrollamos a la matriz a esto es una verdad dijimos que es uno que multiplica el vector 112 ok y el otro la otra columna va a ser cero por uno es cero más uno por dos simplemente nos da dos que multiplica a un 12 ok entonces esta matriz es la que ya tenemos y es fácil de calcular verdad porque uno por uno es uno al cuadrado 1 por 2 es uno o dos y dos por uno es 12 verdad simplemente cambiando el orden y 12 por 12 es u2 al cuadrado muy bien entonces esta es la matriz asociada a la transformación de la proyección verdad es decir si tú me das un vector unitario yo te doy la transformación asociada a la proyección sobre la línea que genera ese vector unitario eso dicho en muchas palabras verdad entonces en este el vector unitario era hui y era uno entre la raíz de 5 por el 21 que lo podemos poner como 2 sobre la raíz de 5 y 1 sobre la raíz de 5 ok entonces en este caso particular en donde el vector y es este entonces lo podemos sustituir y la matriz que me queda es 1 al cuadrado que es 4 sobre 5 que 1 por 12 es 2 por 1 2 y raíz de 5 por raíz de 5 35 verdad es raíz de 5 al cuadrado aquí vamos a tener 1 por 2 que es 2 sobre 5 y 12 al cuadrado es 1 sobre la raíz de 5 al cuadrado es 1 sobre 5 ok entonces ya que tenemos este vector unitario tenemos la matriz asociada al atrae a la ala a la proyección sobre la línea que genera entonces cómo se vería esto más o menos a ponerlo así si éste es nuestro vector b y hacerlo un poco más grande si éste es mi vector de el que inicialmente tenía y estoy considerando la recta generada por este por este vector ok entonces yo necesito achicarlo para hacerlo más pequeño hasta definir mi vector y que es el 1 sobre la raíz de 5 del 21 el 21 verdad este es mi vector unitario y lo que tenemos finalmente es que la proyección la proyección sobre el de cualquier vector x si tenemos una fórmula sencilla de calcularlo pero además tenemos una forma matricial lo cual es bastante bonito verdad que podamos ver esta transformación como una matriz por un vector esta matriz por el vector x verdad es muy bonito este resultado es decir si tú tienes aquí un vector x ok si tú tienes aquí un vector x en realidad con esta fórmula de matricial podemos encontrar el vector que se encuentra sobre la línea que es la sombra o la proyección de nuestro vector x si nosotros tenemos por ejemplo este otro vector de la misma forma podemos calcular quién es su proyección sobre esta línea o si tenemos no sé alguno otro por acá también tendremos quien en su proyección pero bueno de todas formas creo que esto fue bastante bonito