Números complejos con el mismo módulo (valor absoluto)

Nos preguntan: ¿Cuál de estos números  complejos tiene un módulo de 13? Y solo como una pequeña pista, cuando  hablamos del módulo de un número complejo,   en realidad estamos hablando de su valor absoluto. O, podemos preguntarnos, ¿cuál es su distancia   desde el origen si los representamos en el  plano complejo, que es lo que tenemos aquí? Entonces, lo que en realidad tenemos  que encontrar es cuál de estos números   complejos tiene una distancia de 13  desde el origen en el plano complejo. Pausa el video e intenta resolverlo por tu cuenta. Muy bien, es momento de trabajar juntos. Si este punto es el origen, entonces, el  primer número complejo que inmediatamente   salta a la vista con una distancia de 13 desde  el origen es este, ya que podemos ver que si   bajamos exactamente 13 unidades llegamos a este  punto justo aquí, menos 13i o 13i negativo. Así que, inmediatamente desde el principio, pensé:   "bien, ese número complejo tiene un  módulo de 13", pero, ¿es el único? Bueno, podemos visualizar todos  los números complejos que tienen   un módulo de 13 dibujando un círculo  de radio 13, centrado en el origen. Así que, hagámoslo. Podemos ver que contiene el primer  número complejo que encontramos,   y además parece que este otro punto  también está incluido en el círculo.   Así que comprobemos que el módulo de  este número complejo de aquí es 13. Para ello podemos usar el teorema de Pitágoras. Veamos, esta distancia de aquí es  12 y esta distancia de aquí es 5. Así que solo necesitamos  encontrar esta hipotenusa. Y sabemos que la hipotenusa será la raíz cuadrada  de 5 cuadrada más 12 cuadrada, lo que es igual a   la raíz cuadrada de 25 más 144, que es igual a la  raíz cuadrada de 169 que en efecto es igual a 13. Por lo tanto, también es una opción correcta. Y de manera visual podemos observar que ninguno  de estos otros puntos se encuentra en ese círculo. Es decir, no tienen módulo de 13. Si quisiéramos encontrar  otros puntos interesantes,   en lugar de tener menos 5 más 12i,  podríamos tener menos 5 menos 12i. Y   llegaríamos a este punto de aquí. El  cuál también tiene un módulo de 13. Y observa, el complejo conjugado  también tiene el mismo módulo. E incluso podemos ir del otro  lado. En lugar de tener menos   5 más 12i podríamos tener 5 más 12i.  Este también tiene un módulo de 13. O   podríamos tener 5 menos 12i que  también tiene un módulo de 13. De hecho, hay un número infinito de puntos,   cualquiera de estos puntos sobre  el círculo tendrá un módulo de 13.