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Curso: Ciencias de la computación > Unidad 2
Lección 5: Aritmética modular- ¿Qué es la aritmética modular?
- Operador módulo
- Desafío de módulo
- Congruencia módulo
- Relación de congruencia
- Relaciones de equivalencia
- El teorema del cociente y del residuo
- Suma y resta modular
- Suma modular
- Desafío de módulo (suma y resta)
- Multiplicación modular
- Multiplicación modular
- Exponenciación modular
- Exponenciación modular rápida
- Exponenciación modular rápida
- Inversos modulares
- El algoritmo de Euclides
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Multiplicación modular
Exploremos la propiedad multiplicativa de la aritmética modular:
(A * B) mod C = (A mod C * B mod C) mod C
Ejemplo de multiplicación:
Sean A=4, B=7, C=6.
Verifiquemos: (A * B) módulo C = (A módulo C * B módulo C) módulo C
LI= lado izquierdo de la ecuación.
LD= lado derecho de la ecuación.
LI = (A * B) mod C
LI = (4 * 7) mod 6
LI = 28 mod 6
LI = 4
LD = (A mod C * B mod C) mod C
LD = (4 mod 6 * 7 mod 6) mod 6
LD = (4 * 1) mod 6
LD = 4 mod 6
LD = 4
LI = LD = 4
Prueba de la multiplicación modular
Probaremos que (A * B) mod C = (A mod C * B mod C) mod C
Debemos mostrar que LI = LD
A partir del teorema del cociente y del residuo podemos escribir A y B como:
A = C * C1 + R1 donde 0 ≤ R1 < C y C1 es un integral. A módulo C = R1
B = C * C2 + R2 donde 0 ≤ R2 < C y C2 es un integral. B módulo C = R2
LI = (A * B) mod C
LI = ((C * C1 + R1 ) * (C * C2 + R2) ) mod C
LI = (C * C * C1 * C2 + C * C1 * R2 + C * C2 * R1 + R1 * R2 ) mod C
LI = (C * (C * C1 * C2 + C1 * R2 + C2 * R1) + R1 * R2 ) mod C
Podemos eliminar los múltiplos de C cuando tomamos el módulo C:
LI = (R1 * R2) mod C
Ahora hagamos el LD
LD = (A mod C * B mod C) mod C
LI = (R1 * R2 ) mod C
Por lo tanto, LD = LI
LI = LD = (R1 * R2 ) mod C
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para ayudar en la siguiente practica les dejo todas las preguntas con respuesta que encontré:
-Amod27=5
(7⋅A)mod27=8
-(77.-569)mod15=
0(2.1)mod15
02mod15
02
-(-277.11)mod9=4
-Amod27=0
Bmod27=?
(A.B)mod27=0
-366mod14=AyC
-(702.398)mod20=16
-Amod17=15
Bmod17=9
(A.B)mod17=16
-252mod47=A,B,C,D
_(-425.717)mod7=6
_Amod7=5
Bmod7=6
(A.B)mod7=2
--270mod19=A,B,D
-(247.17)mod2=1
-Amod5=3
(A.73)mod5=4
-770mod31=ninguna
-(-569.662)mod10=8
-Amod12=5
Bmod12=11
(A.B)mod12=7
-(159.943)mod5=
02
012mod5
0(4.3)mod5
-(907.276)mod15=12
-Amod12=5
(A.39)mod12=3
-(2611.135)mod13=
03
055mod13
0(11.5)mod13
-(429.-27)mod7=2
-168mod23=AyB
-(880.-340)mod11=0
-Amod14=10
(-5.A)mod14=6
-(605.23)mod20=
0(5.3)mod15
015mod15
015
-(238.258)mod6=0
-Amod10=3
(17.A)mod10=1
-(-414.-916)mod12=
0(6.8)mod12
048mod12
00
-(362.35)mod18=16
-(-171.77)mod16=
01
065mod16
0(5.13)mod16
-252mod47=A,B,C,D
(159.943)mod5
0(4.3)mod5
012mod5
02
-(247.17)mod2=1
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tenemos respuesta para:
(𝑎+𝑏) 𝑚𝑜𝑑 𝑐 = (𝑎 𝑚𝑜𝑑 𝑐+ b 𝑚𝑜𝑑 𝑐) 𝑚𝑜𝑑 𝑐
(𝑎∗𝑏) 𝑚𝑜𝑑 𝑐 = (𝑎 𝑚𝑜𝑑 𝑐∗ b 𝑚𝑜𝑑 𝑐) 𝑚𝑜𝑑 𝑐
(𝑎^𝑏) 𝑚𝑜𝑑 𝑐 = (𝑎 𝑚𝑜𝑑 𝑐)^𝑏 𝑚𝑜𝑑 𝑐
pero..
cuas es la respuesta para
𝑎/𝑏 𝑚𝑜𝑑 𝑐 = ?(1 voto)