Una partición de Voronoi se hace al tomar un conjunto de sitios dispuestos en la pantalla y dibujar fronteras entre ellos, de tal manera que cada frontera esté exactamente a la mitad entre los sitios a cada lado de ella.

Vamos a empezar con dos sitios, $A$‍ y $B$‍. Cada punto en la recta que los divide está a la misma distancia de $A$‍ y de $B$‍. ¿Qué otras propiedades tiene esta recta?

Lo primero que podemos hacer es dibujar un segmento de recta de $A$‍ a $B$‍. Como todos los puntos en la frontera están a la misma distancia de $A$‍ y de $B$‍, la frontera va a cruzar $\overline{AB}$‍ en el punto medio, $M$‍.

Puedes aprender más sobre puntos medios aquí.

Ahora podemos escoger otro punto en la frontera, $P$‍, y hacer dos triángulos: $\mathrm{△}AMP$‍ y $\mathrm{△}BMP$‍.

El punto $P$‍ está en la frontera, así que sabemos que $\overline{AP}=\overline{BP}$‍.
También sabemos que $\overline{AM}=\overline{BM}$‍ y que ambos triángulos comparten el lado $\overline{MP}$‍.

Como ambos triángulos comparten tres longitudes laterales, son triángulos semejantes. Puedes aprender más sobre triángulos semejantes aquí.

Como $\mathrm{△}AMP$‍ y $\mathrm{△}BMP$‍ son semejantes, sabemos que $\mathrm{\angle }AMP=\mathrm{\angle }BMP$‍. Como ambos ángulos están en una línea recta (la recta $AB$‍), sabemos que $\mathrm{\angle }AMP+\mathrm{\angle }BMP={180}^{\circ }$‍. Entonces ambos ángulos deben ser de ${90}^{\circ }$‍.

Por lo tanto, la frontera entre $A$‍ y $B$‍ es la mediatriz de la recta $AB$‍. Puedes aprender más sobre mediatrices aquí.

Así que sabemos que la frontera entre dos sitios es una mediatriz de la recta que une a esos dos sitios. ¿Cómo podemos usar esta información para encontrar la partición de Voronoi de estos tres sitios? Primero, vamos a empezar por dibujar rectas entre los sitios.

Después vamos a encontrar los puntos medios de las aristas y a dibujar las mediatrices de cada arista.

Observa que las tres mediatrices se encuentran en un punto, $V$‍. Como cada mediatriz está a la misma distancia de dos sitios y $V$‍ está sobre las tres, $V$‍ debe estar a la misma distancia de los tres sitios. Por lo tanto, $V$‍ es un vértice de nuestra partición de Voronoi. Podemos dibujar nuestras fronteras finales al empezar en este vértice y continuar por cada uno de los puntos medios.

Ya que vimos algo de la geometría de una partición de Voronoi sencilla, vamos a usar álgebra para calcular las coordenadas de un vértice en una partición de Voronoi.

Digamos que tenemos tres sitios $A$‍, $B$‍ y $C$‍ con coordenadas:

Primero vamos a calcular la ecuación para la mediatriz de $\overline{AB}$‍. Sabemos que esta recta va a pasar por el punto medio de $\overline{AB}$‍ y tener el inverso negativo de la pendiente de $\overline{AB}$‍.

Aprende cómo calcular la ecuación de una recta perpendicular aquí.

Ya que tenemos la ecuación para la mediatriz de $\overline{AB}$‍, podemos usar el mismo método para calcular la mediatriz de $\overline{BC}$‍.

Ya que tenemos las ecuaciones de dos mediatrices podemos calcular dónde se intersecan. Si usamos $m_1$‍ y $b_1$‍ para representar la pendiente y la intersección con el eje $y$‍ de la primera mediatriz, y $m_2$‍ y $b_2$‍ para representar la pendiente y la intersección con el eje $y$‍ de la segunda mediatriz, tenemos:

Entonces:
$\begin{array}{rl}{m}_{1}x+b_1& =m_{2}x+b_2\\ \\ m_{1}x-m_{2}x& =b_2-b_1\\ \\ (m_1-m_2)x& =b_2-b_1\\ \\ x& ={\displaystyle \frac{b_2-b_1}{m_1-m_2}}\end{array}$‍

Inserta los valores de las pendientes y las intersecciones con el eje $y$‍ en la ecuación para encontrar la coordenada $x$‍ del punto de intersección. Después inserta el valor de $x$‍ en una de las ecuaciones de las mediatrices para encontrar la coordenada $y$‍.

Ahora imagínate calcular esto para cientos de sitios. ¡Por eso usamos las computadoras!