Introducción a la fórmula de Black-Scholes

bien pues en este vídeo hablar de la fórmula que probablemente es la más famosa en las finanzas y es la de black angels y es nombrada así por estos tres caballeros de acá el primero de ellos es fisher black éste es marshall y ellos realmente sentaron las bases para lo que llevó al modelo de black and soul o la fórmula de black eyed shows y por eso el nombre y este de aquí es bot verón quien realmente tomó lo que es black and soul y lo llevó a otro nivel para realmente obtener el modelo e interpretaciones y dicha fórmula y estos tres hombres quienes ganaron el premio nobel en economía excepto por el desafortunado hecho de que fisher black falleció antes de que recibiera el premio pero a mayor soul y voz verón obtuvieron el premio nobel por su trabajo y la razón por la cual es una gran idea por la cual es digna de un premio nobel de hecho hay bastantes razones que hasta podría ser todo una serie de vídeos de esto pero en sí es porque la gente ha estado negociando con opciones de acciones o negociando opciones desde hace mucho mucho tiempo las ha estado comprando y lo cual fue la mayor parte de los mercados financieros hasta ahora pero no son una buena forma o una manera fácil de poner nuestra mente en matemáticas en torno a de cómo evaluar una opción la gente simplemente tenía noción de las cosas que le importaban y asumiré que en especial los negociadores de opciones tienen la noción de las cosas que a ellos les importaban y esto en cuanto se trataba de negociar opciones pero nosotros realmente no teníamos un marco analítico para esto y esto es lo que hace la fórmula de black and soul pero antes de que nos sumerjamos en esta aparentemente espeluznante fórmula pues es de lo que más vamos a hablar con suerte empezará a lucir mucho más amigable de lo que luce ahora entonces empecemos con un poco de intuición pues las cosas que nos importan de esto es que si estuviéramos pensando acerca del precio de las opciones sobre acciones entonces te va a interesar el precio de la opción te importará el precio de ejercicio y especialmente te importará qué tan alto o bajo sea el precio que alcancen las acciones y sea relativo al precio de ejercicio a importar también una tasa de interés libre de riesgo la tasa de interés libre de riesgo que se mantiene cuando pensamos en el valor presente de algo si quieres descontar o traer al valor presente o al día de hoy algo tendrás que por supuesto pensar en dicho en dicha tasa cuánto tiempo entonces tengo para ejercer esta opción realmente es una pregunta clave también pero bueno ahora también vamos a enfocar en que es de importancia la volatilidad de la acción que está representada por la desviación estándar suena algo fantástico pero voy a dar un ejemplo para imaginarlo digamos que tenemos aquí dos acciones esta es la primera su comportamiento va a ser nuestro subyacente número 1 nuestra acción número 1 y luego este va a ser el camino que va a recorrer nuestra acción número 2 en cuanto a sus precios de altas y bajas que en si eso es lo que representa la volatilidad que como ves esta acción número 2 tiene muchísima más volatilidad pues también puedes fijarte en qué tan dispersa está de la media o qué tanto tiene como de dispersión respecto a su valor medio entonces esta segunda tiene muchísima más volatilidad o una alta desviación estándar que también tienes que cuidar los logaritmos de regreso de lo cual hablaré en el próximo vídeo y para la acción número uno tendremos entonces una baja volatilidad una baja volatilidad y puedes imaginar opciones o más variables con las cuales estés tomando acciones de altísimas volatilidad eso un alto sigma como ese que tenemos por aquí y esto se va a llevar el valor de nuestra opción hacia arriba entonces by le va el precio de nuestra opción cuando tienes algo así pues observa la media del valor de la acción entonces va siguiendo este camino y en este caso la opción podría explorar la media y ejercerla cuando a uno le convenga ya sea si estás en una opción de compra o venta entonces tú decides si es el momento correcto para ejercerla y así es como se siente negociar opciones llama las más variables es que las opciones vayan cambiando su precio constantemente y pues podría ser como algo y si ahora vamos a hablar de esto observa la fórmula de black angels y bueno la fórmula que tengo por aquí es para una opción de compra europea una opción europea la cual es un tanto similar a la opción de venta europea pero en este caso es una opción de compra y recuerda que una opción de compra europea es matemáticamente tan simple como una opción de compra americana pero la cual cambia en que se ejerce únicamente al final del ejercicio y la opción americana se ejerce en todo momento o en cualquier momento y ahora digamos lo que intuitivamente está por aquí donde este primer término de aquí es el precio inicial de la acción no subyacente luego está multiplicada por n de 1 donde de 1 es esta parte de aquí abajo luego es el precio de ejercicio atraído a valor presente que este es el valor de descuento multiplicado por n 2 donde de 2 toma esto de acá y de 1 y de 2 son valores muy importantes los cuales definen casi todo el valor de la opción y vamos a ver qué significa ndx esta es una función de distribución de probabilidad a la cual se distribuye en normal normal estándar y entonces y lo voy a explicar exactamente en este espacio para no abarcar más y entonces hacer una función de distribución de probabilidad que nos dice que esta función va a estar acotada entre dos valores pues al ser una probabilidad nos va a arrojar un valor que va a estar entre 0 y 1 pues es una probabilidad y no puede ser negativa y tiene que ser siempre menor que 1 y entonces esta es la probabilidad la cual nos va a afectar nuestro precio de la opción que va a ser entonces qué tan alto o bajo base y esto es pensado matemáticamente entonces este precio de subyacentes como ponderado por esta probabilidad que está aquí la cual es menor que 1 y ahora de esta manera pensemos lo que cada pieza de la fórmula nos está diciendo primeramente esto de aquí está tratando con el precio inicial de la acción el precio inicial de la acción la cual está siendo multiplicada por este por esta función que es una probabilidad y entonces esencialmente aquí es lo que estamos obteniendo luego esta segunda parte que está el precio del ejercicio multiplicado por esta probabilidad de de 2 y el precio de ejercicio es traído a valor presente es esencialmente lo que estamos pagando y ahora como vamos a hacer esto como es que sabemos que hay que ejercer nuestra opción todo esto de aquí tiene bastante sentido pues el precio de subyacente - el precio del ejercicio donde definitivamente lo que tenemos que hacer es que este de 1 y de 2 que inicialmente son términos muy grandes al hacerlos probabilidad nos ayudan a calcular nuestro precio de la opción y ahora esta parte de aquí porque traemos nuestro precio de ejercicio a valor presente con esta tasa de descuento por así nombrar la que nos ayuda a traer a valor presente las cosas y si tienes dudas o te sientes confundido en esto puede revisar vídeos anteriores donde hablo de esto y es importante traer la valor presente puesto que nuestro precio de las acciones están al día de hoy al igual que nuestro precio de la opción queremos calcularlo al día de hoy entonces por eso nuestro precio de ejercicio lo traemos a valor presente y luego por aquí abajo en d1 y d2 y te das cuenta estamos haciendo un cociente del precio de las acciones entre el precio de ejercicio lo cual es tomado para el logaritmo natural el cual está definiendo casi el valor de d1 y d2 el cual también es el tamaño del numerador tomado para nuestra función de distribución que significa que tan alta será la probabilidad y ayuda a definir el precio que esta opción tendrá lo cual no nos hace demasiado sentido y luego todo esto va a tener algunos valores por eso hay mucha relación entre el precio de las acciones y el precio de ejercicio y ahora otra cosa en la que me voy a enfocar bastante tiempo es algo que la gente concentra demasiado para poder operar las opciones y es la volatilidad pues con nuestra intuición con alta volatilidad sube el precio de la opción y veamos cómo se refleja en dicha fórmula por pura intuición entonces inicialmente si te das cuenta no aparece nuestra fórmula pero para de uno aparece aquí en el numerador en el denominador donde aquí arriba está siendo sumada a la tasa y está elevada al cuadrado entonces para una sigma alta de uno va a crecer si sigma es alta de uno crece y en nuestra parte de dedos va a ser diferente también tenemos en el numerador y en el denominador pero aquí está restando esta parte de aquí entonces si es muy alta nuestra sigma de 2 va a bajar porque el numerador está restando esta tasa la sigma cuadrada entonces para una sigma alta nuestro de 2 va a ser menor y para una sigma alta de 1 va a ser mayor y entonces se va a reflejar en esta parte de aquí que de 1 va a ser mayor para nuestra función de n que está enfocada a de 1 y multiplica al precio del subyacente entonces lo que obtenemos va a ser mayor y para de 2 si es una alta volatilidad de 2 va a ser menor que es la función de n evaluada en de 2 x el precio de ejercicio y entonces lo que pagamos se hace menor así que para alta volatilidad el precio de nuestra acción nuestra opción perdón es alta la opción de compra el valor de nuestra opción de compra europea entonces va a crecer así como al mismo tiempo si la volatilidad de nuestra opción es más baja el valor de la opción de compra bajará y lo dejaré hasta aquí creo que en este vídeo pues me voy a enfocar en futuros vídeos en poner esta parte de aquí con un ejemplo para poder llevarlo a cabo de una mejor forma nos vemos al próximo