Fórmula para el interés compuesto continuo

imaginemos el siguiente escenario imaginemos que queremos obtener un préstamo con un principal un principal p de 50 pesos y que lo vamos a pagar en un tiempo de tres años también imaginemos que vamos a durante esos tres años tener cuatro periodo de imposición del interés que cuatro periodos en un año perdón cuatro periodos en un año de imposición del interés y finalmente vamos a imaginar que la tasa de interés a la que vamos a prestar este dinero vamos a ponerle r porque yo se la t r es del 10% el 10% anual o lo que es lo mismo el 0.10 bien entonces como podría escribir una fórmula para calcular cuánto voy a tener que pagar al final de todo este periodo pues de ambos de hecho aquí ya tengo una fórmula bastante similar lo que voy a hacer es tener un principal de 50 pesos 50 pesos que voy a multiplicar por 1 uno más mi tasa de interés que es 0.10 0.10 dividido entre el número de periodos de imposición por año entre 4 elevado a la potencia 4 porque si voy a tener cuatro periodos de imposición en cada año pero voy a hacerlo a lo largo de tres años así que también tengo que multiplicar este exponente por tres en total voy a tener 12 periodos ley de imposición voy a compilar o componer mi interés 12 veces incluso si quisieran lo podríamos escribir en términos más exactos como una fórmula para mi principal x 1 siempre voy a tener este 1 + la tasa de interés anual la tasa de interés anual dividida entre el número de periodos de imposición m y todo esto elevado a la potencia n por donde t es el número de años en los que pienso pagar el crédito ahora lo interesante aquí es pensar qué sucede cuando el número de periodos de imposición crece exorbitantemente vamos a pensar que esto es el límite comenzar en tratar de encontrar el límite cuando emitiendo infinito de esta expresión de aquí y bien como sería eso pues veamos vamos a tratar de reescribir esto para empezar tengo esta constante para que pueda sacar del límite y escribir esto como p veces de veces el límite cuando m tiende infinito mi mente cuando entiende infinito por perdón uno más la taza r dividida entre el número de periodos de imposición y toda esta expresión elevado a la potencia n ok ahora necesito transformar esto en una cosa que yo conozca y yo conozco este límite yo sé que todo este límite de aquí que tengo del vídeo pasado vale así que lo que voy a hacer es definir una nueva variable x no se definieron la variable x que va a estar definida como x va a ser el inverso de este número así que va a ser n / r n / r o lo que es lo mismo vamos a escribirlo como n va a ser igual x x por ver ahora si en sí en ese b infinito como r es una constante r está fija si en ese infinito porque estoy calculando límite cuando entiende infinito entonces x también debe irse infinito por lo tanto puede escribir esto como por el límite quizás debería usar otro color vamos a usar rojo límite cuando x tiende a infinito te quiero pues usando mi sustitución usando mi sustitución x es igual a entre r voy a escribir esto como uno más r / n es simplemente un mantra x así que voy a escribir esto como uno / x elevado a la potencia en el porte pero n es x por r así que x r por qué ahora bien esto ya se está apareciendo mucho a la expresión que tenía en el límite de la distribución de e pero necesito sacar este exponente esta parte del exponente de hecho déjenme copio esto confío en este caso de aquí copio y vamos a escribir de nuevo x ahora voy a poner unos paréntesis aquí el límite y lo tengo copiado espera p por este límite acá cierro mis paréntesis y si tengo un exponente que es el producto de varios números es lo mismo que este caso aquí elevado a la potencia r x y esto obviamente no está siendo muy riguroso pero lo que me interesa es darles la idea intuitiva de por qué está sucediendo esto y ahora lo que estoy haciendo aquí es realmente utilizando el hecho de que si tengo el límite cuando x tiende a infinito de una función f de x a la potencia de clips con el reporte donde esté son constantes esto va a ser lo mismo que límite cuando x tiende a infinito efe de x a la equis y todo eso elevado a la potencia que reporte eso es lo que está detrás de esta fórmula de aquí pero bueno ahora si esto de aquí cuánto es pues yo sé cuánto vale yo sé que este límite vale este límite vale así que en realidad lo que tengo es por e por la constante e elevada a la potencia r por ti y esto es una fórmula para la cantidad que tendría que pagar si tengo un préstamo con un principal pe y el interés se está componiendo constantemente de manera continua a lo largo de t años a una tasa de r anual vamos a hacer un ejemplo concreto creo que eso tratará las cosas vamos a imaginar que tenemos un préstamo por 150 pesos con un principal de 50 pesos que vamos a apoyar a lo largo de tres años con una tasa de interés anual del 10 por ciento y vamos a tener 14 periodos de imposición al año sino una cantidad infinita de periodos de imposición el interés se va a estar componiendo continuamente entonces cuánto tendríamos que pagar al final de todo esto pues tendríamos que pagar nuestro principal que son 50 pesos por nuestra fórmula de acá nos dice que por la exponencial que alá nuestra tasa de interés que es de 0.10 0.10 por el tiempo el tiempo está en años son tres años y nos dan 67 punto 49 vamos a decir 67 49 pesos es el total que tendríamos que pagar después de esos tres años con esa tasa de interés