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Curso: 8.° grado (Eureka Math/EngageNY) > Unidad 4

Lección 4: Tema D: Sistemas de ecuaciones lineales y sus soluciones
Matemáticas
8.° grado (Eureka Math/EngageNY)
Módulo 4: Ecuaciones lineales
Tema D: Sistemas de ecuaciones lineales y sus soluciones
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Resolver sistemas de ecuaciones por el método de eliminación

Google Classroom
Avanza por ejemplos de resolución de sistemas de ecuaciones por el método de eliminación.
En este artículo, resolveremos sistemas de ecuaciones lineales con el método de eliminación. Primero, necesitamos entender que es correcto sumar ecuaciones una con otra.
Idea clave: siempre que tenemos dos ecuaciones verdaderas, podemos sumarlas y restarlas para construir otra ecuación verdadera.
Por ejemplo, aquí hay dos ecuaciones verdaderas muy básicas:
2=2
5=5
Podemos sumarlas para construir otra ecuación verdadera:
2=2+    5=57=7
O podemos restarlas para construir otra ecuación verdadera:
2=2−    5=5−3=−3
Aquí hay otro ejemplo con ecuaciones más complicadas:
2x+3=7+    4x+1=96x+4=16
Muy bien. Ahora que hemos visto que es correcto sumar o restar ecuaciones, podemos resolver sistemas de ecuaciones por medio del método de eliminación.

Resolver un sistema de ecuaciones por medio del método de eliminación

Como ejemplo, resolveremos el siguiente sistema de ecuaciones:
x+3y=8        Ecuación 1.
4x−3y=17        Ecuación 2.
Lo difícil es que hay dos variables, x y y. Si tan solo nos pudiéramos deshacer de una de ellas...
¡Aquí hay una idea! Sumemos las ecuaciones para cancelar la variable y:
x+3y=8+    4x−3y=175x+0=25
¡Es brillante! Ahora tenemos una ecuación que solo tiene la variable x, y que sabemos cómo resolver:
5x+0=255x=25 x=5Divide cada lado entre 5.
¡Muy bien! Ahora usemos la primera ecuación para encontrar y cuando x es igual a 5:
x+3y=8Ecuación 1.5+3y=8Sustituye 5 en vez de x.3y=3Resta 5 a cada lado.y=1Divide cada lado entre 3.
¡De lujo! Entonces la solución del sistema de ecuaciones es (5,1).
Utiliza el método de eliminación para resolver el siguiente sistema de ecuaciones.
4y−2x=4
5y+2x=23
x=
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3/5
  • una fracción impropia simplificada, como 7/4
  • un número mixto, como 1 3/4
  • un decimal exacto, como 0.75
  • un múltiplo de pi, como 12 pi o 2/3 pi
y=
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3/5
  • una fracción impropia simplificada, como 7/4
  • un número mixto, como 1 3/4
  • un decimal exacto, como 0.75
  • un múltiplo de pi, como 12 pi o 2/3 pi

Multiplicar una de las ecuaciones por una constante y luego utilizar el método de eliminación

El último ejemplo funcionó muy bien porque eliminamos la variable y cuando sumamos las ecuaciones. A veces, no es tan fácil.
Considera este sistema de ecuaciones como ejemplo:
6x+5y=28        Ecuación 1.
3x−4y=1        Ecuación 2.
Si sumamos las ecuaciones, ni la variable x ni la variable y se eliminarán. Estos son los pasos que debemos realizar para problemas como este:
Paso 1: multiplica cada una de las ecuaciones por una constante, de tal forma que, cuando las sumes, una de las variables sea eliminada.
−2(3x−4y)=−2(1)Multiplica la segunda ecuación por−2−6x+8y=−2Simplifica para obtener una nueva ecuación.
Paso 2: suma la nueva ecuación a la ecuación que no usaste en el paso 1, de tal forma que elimines una de las variables.
6x+5y=28Ecuación 1.+ −6x+8y=−2La nueva ecuación.13y=26
Paso 3: Despeja y.
13y=26y=2Divide cada lado entre 13.
Paso 4: Sustituye y=2 en alguna de las ecuaciones originales y despeja x.
3x−4y=1Ecuación 23x−4(2)=1Sustituye 2 en vez de y.3x−8=13x=9Suma 8 a cada lado.x=3Divide cada lado entre 3.
Entonces la solución es (3,2).
Utiliza el método de eliminación para resolver el siguiente sistema de ecuaciones.
8x+14y=12
−6x−7y=−16
x=
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3/5
  • una fracción impropia simplificada, como 7/4
  • un número mixto, como 1 3/4
  • un decimal exacto, como 0.75
  • un múltiplo de pi, como 12 pi o 2/3 pi
y=
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3/5
  • una fracción impropia simplificada, como 7/4
  • un número mixto, como 1 3/4
  • un decimal exacto, como 0.75
  • un múltiplo de pi, como 12 pi o 2/3 pi

Multiplicar ambas ecuaciones por constantes y luego usar el método de eliminación

Algunas veces, necesitaremos multiplicar ambas ecuaciones por constantes para utilizar el método de eliminación.
Por ejemplo, considera el sistema de ecuaciones:
5x+3y=14        Ecuación 1.
3x+2y=8        Ecuación 2.
Estos son los pasos para resolver un sistema de ecuaciones como este:
Paso 1: multiplica cada ecuación por una constante, de tal forma que podamos eliminar una variable.
5x+3y=14⇒Multiplica por 2.⇒10x+6y=28
3x+2y=8⇒Multiplica por 3.⇒9x+6y=24
Paso 2: combina las nuevas ecuaciones para eliminar una variable.
10x+6y=289x+6y=24x+0=4Resta las ecuaciones.
Paso 3: Sustituye x=4 en alguna de las ecuaciones originales y despeja y.
3x+2y=8Ecuación 2.3(4)+2y=8Sustituye 4 en vez de x.12+2y=82y=−4Resta 12 a cada lado.y=−2Divide cada lado entre 2.
Entonces la solución es (4,−2).
Utiliza el método de eliminación para resolver el siguiente sistema de ecuaciones.
5x+4y=−14
3x+6y=6
x=
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3/5
  • una fracción impropia simplificada, como 7/4
  • un número mixto, como 1 3/4
  • un decimal exacto, como 0.75
  • un múltiplo de pi, como 12 pi o 2/3 pi
y=
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3/5
  • una fracción impropia simplificada, como 7/4
  • un número mixto, como 1 3/4
  • un decimal exacto, como 0.75
  • un múltiplo de pi, como 12 pi o 2/3 pi

¡Practiquemos!

1) Utiliza el método de eliminación para resolver el siguiente sistema de ecuaciones.
3y+x=7
2y−x=−2
x=
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3/5
  • una fracción impropia simplificada, como 7/4
  • un número mixto, como 1 3/4
  • un decimal exacto, como 0.75
  • un múltiplo de pi, como 12 pi o 2/3 pi
y=
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3/5
  • una fracción impropia simplificada, como 7/4
  • un número mixto, como 1 3/4
  • un decimal exacto, como 0.75
  • un múltiplo de pi, como 12 pi o 2/3 pi

2) Utiliza el método de eliminación para resolver el siguiente sistema de ecuaciones.
−7y−4x=1
7y−2x=53
x=
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3/5
  • una fracción impropia simplificada, como 7/4
  • un número mixto, como 1 3/4
  • un decimal exacto, como 0.75
  • un múltiplo de pi, como 12 pi o 2/3 pi
y=
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3/5
  • una fracción impropia simplificada, como 7/4
  • un número mixto, como 1 3/4
  • un decimal exacto, como 0.75
  • un múltiplo de pi, como 12 pi o 2/3 pi

3) Utiliza el método de eliminación para resolver el siguiente sistema de ecuaciones.
−9y+4x−20=0
−7y+16x−80=0
x=
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3/5
  • una fracción impropia simplificada, como 7/4
  • un número mixto, como 1 3/4
  • un decimal exacto, como 0.75
  • un múltiplo de pi, como 12 pi o 2/3 pi
y=
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3/5
  • una fracción impropia simplificada, como 7/4
  • un número mixto, como 1 3/4
  • un decimal exacto, como 0.75
  • un múltiplo de pi, como 12 pi o 2/3 pi

4) Utiliza el método de eliminación para resolver el siguiente sistema de ecuaciones.
3x−11y=−1
2x−5y=−3
x=
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3/5
  • una fracción impropia simplificada, como 7/4
  • un número mixto, como 1 3/4
  • un decimal exacto, como 0.75
  • un múltiplo de pi, como 12 pi o 2/3 pi
y=
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3/5
  • una fracción impropia simplificada, como 7/4
  • un número mixto, como 1 3/4
  • un decimal exacto, como 0.75
  • un múltiplo de pi, como 12 pi o 2/3 pi

Problema de desafío

Una escuela está vendiendo boletos para una obra. En el primer día de venta, la escuela vendió 6 boletos de adulto y 10 de estudiante, con una ganancia de $140. En el segundo día de venta, la escuela vendió 7 boletos de adulto y 3 de estudiante, con una ganancia de $94.
Plantea un sistema de ecuaciones y resuélvelo, y determina el costo del boleto de adulto y el costo del boleto de estudiante.
El costo del boleto de adulto es $
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3/5
  • una fracción impropia simplificada, como 7/4
  • un número mixto, como 1 3/4
  • un decimal exacto, como 0.75
  • un múltiplo de pi, como 12 pi o 2/3 pi
.
El costo del boleto de estudiante es $
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3/5
  • una fracción impropia simplificada, como 7/4
  • un número mixto, como 1 3/4
  • un decimal exacto, como 0.75
  • un múltiplo de pi, como 12 pi o 2/3 pi
.

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