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Curso: Álgebra (todo el contenido) > Unidad 7

Lección 20: Encontrar funciones inversas (nivel de álgebra 2)

Determinar funciones inversas

Aprende a obtener la fórmula de la inversa de una función dada. Por ejemplo, determina la inversa de f(x)=3x+2.

Funciones inversas, en el sentido más amplio, son funciones que hacen lo "contrario" de cada una. Por ejemplo, si

f

convierte

a

b

, entonces la inversa debe convertir

b

a

O, en otras palabras,

f (a) = b ⟺ f^{- 1} (b) = a

En este artículo aprenderemos como encontrar la fórmula de la función inversa, cuando tenemos la fórmula de la función original.

Antes de empezar...

En esta lección encontraremos la función inversa de

f (x) = 3 x + 2

Antes de hacer eso, pensemos como encontraríamos

f^{- 1} (8)

Para encontrar

f^{- 1} (8)

, necesitamos el valor de entrada de

f

que corresponde a un valor de salida igual a

8

. Esto porque si

f^{- 1} (8) = x

, entonces por la definición de inversas,

f (x) = 8

\begin{aligned} f (x) & = 3 x + 2 \\ 8 & = 3 x + 2 & Sea f(x)=8 . \\ 6 & = 3 x & Resta 2 de ambos lados. \\ 2 & = x & Divide ambos lados entre 3. \end{aligned}

Así que

f (2) = 8

, lo que significa que

f^{- 1} (8) = 2

Encontrar funciones inversas

Podemos generalizar lo que hicimos antes para encontrar

f^{- 1} (y)

para cualquier

y

Para encontrar

f^{- 1} (y)

, podemos encontrar el valor de entrada de

f

que coresponde a un valor de salida igual a

y

. Esto es porque si

f^{- 1} (y) = x

, entonces por la definición de inversas

f (x) = y

\begin{aligned} f (x) & = 3 x + 2 \\ y & = 3 x + 2 & Hagamos f(x)=y \\ y - 2 & = 3 x & Resta 2 de ambos lados. \\ \frac{y - 2}{3} & = x & Divide ambos lados entre 3. \end{aligned}

Así que

f^{- 1} (y) = \frac{y - 2}{3}

Puesto que la elección de la variable es arbitraria, podemos escribir esto como

f^{- 1} (x) = \frac{x - 2}{3}

Puesto que las funciones inversas intercambian los valores de entrada y de salida, otra manera de encontrar

f^{- 1}

es intercambiando

x

y

inicialmente, y luego resolver para

y

y escribir la inversa en forma de función.

\begin{aligned} f (x) & = 3 x + 2 \\ y & = 3 x + 2 & Reemplaza f(x) por y. \\ x & = 3 y + 2 & Intercambia x y y. \\ x - 2 & = 3 y & Resta 2 de ambos lados. \\ \frac{x - 2}{3} & = y & Divide ambos lados entre 3. \end{aligned}

Así que

f^{- 1} (x) = \frac{x - 2}{3}

Observa las similitudes de ambos métodos. En cada caso, la ecuación se resuelve para la variable que no está aislada. La diferencia principal es cuando las variables están intercambiadas (el primer método hace esto al final, mientras que el primero lo hace al principio).

Comprueba tu comprensión

1) Función lineal

Encuentra la inversa de $g (x) = 2 x - 5$ ‍.

g^{- 1} (x) =

2) Función cúbica

Encuentra la inversa de $h (x) = x^{3} + 2$ ‍.

h^{- 1} (x) =

3) Función con raíz cúbica

Encuentra la inversa de $f (x) = 4 \cdot \sqrt[3]{x}$ ‍.

f^{- 1} (x) =

Para empezar, reemplaza

f (x)

por

y

. Luego encuentra el valor de

x

\begin{aligned} f (x) & = 4 \sqrt[3]{x} \\ y & = 4 \sqrt[3]{x} & Remplaza f(x) por y. \\ \frac{y}{4} & = \sqrt[3]{x} & Divide ambos lados entre 4. \\ {(\frac{y}{4})}^{3} & = x & Eleva al cubo ambos lados. \\ {(\frac{y}{4})}^{3} & = f^{- 1} (y) & Reemplaza x por f^{- 1} (y) . \end{aligned}

Como la elección de la variable es arbitraria, ahora podemos cambiar

y

por

x

para escribir la inversa en términos de

x

Así que

f^{- 1} (x) = {(\frac{x}{4})}^{3}

, o bien

f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{64}

4) Funciones racionales

Encuentra la inversa de $g (x) = \frac{x - 3}{x - 2}$ ‍.

g^{- 1} (x) =

Para empezar, reemplaza

g (x)

por

y

. Luego encuentra el valor de

x

\begin{aligned} g (x) & = \frac{x - 3}{x - 2} \\ y & = \frac{x - 3}{x - 2} & Reemplaza g(x) por y. \\ y (x - 2) & = x - 3 & Multiplica ambos lados por x-2. \\ y x - 2 y & = x - 3 & Distribuye. \\ y x - x & = 2 y - 3 & Agrupa términos con x en un lado. \\ x (y - 1) & = 2 y - 3 & Factoriza x. \\ x & = \frac{2 y - 3}{y - 1} & Divide ambos lados entre y-1. \\ g^{- 1} (y) & = \frac{2 y - 3}{y - 1} & Reemplaza x por g^{- 1} (y) . \end{aligned}

Como la elección de la variable es arbitraria, ahora podemos cambiar

y

por

x

para escribir la inversa en términos de

x

$g^{- 1} (x) = \frac{2 x - 3}{x - 1}$ ‍

5) Problema de desafío

Selecciona el tipo de inversa que corresponde a cada función.

1

Puedes completar este problema sin encontrar las inversas. Solamente piensa en qué tipo de operaciones se requieren para "deshacer" la función. O bien, utiliza lo que hemos hecho antes como una ayuda.

Función	Tipo de inversa
$f (x) = 3 x - 5$ ‍	Lineal
$g (x) = x^{3} - 7$ ‍	Raíz cúbica
$h (x) = \frac{x + 2}{x - 3}$ ‍	Racional
$j (x) = \sqrt{x + 2}$ ‍	Cuadrática

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Julio Ernesto Ruiz
Publicado hace hace 7 años. Enlace directo a la publicación “¿Alguien podría ayudarme ...” de Julio Ernesto Ruiz
¿Alguien podría ayudarme con dos funciones, para sacar su inversa, por favor?
* f(x)=x^2+4x>=0
* f(x)=4/x
Botón que navega a la página de registroComentar en la publicación “¿Alguien podría ayudarme ...” de Julio Ernesto Ruiz
(5 votos)
Respuesta
- Helberth Alejandro Garcia Melo
  Publicado hace hace 3 años. Enlace directo a la publicación “*f(x)=4/x y = 4/x Cambia ...” de Helberth Alejandro Garcia Melo
  *f(x)=4/x
  y = 4/x Cambia f(x) por y
  y*x=4 x pasa a multiplicar
  x=4/y y pasa a dividir
  y=4/y cambia x por y
  Función inversa(x)=4/x
  PD: No estoy seguro, alguien confirme en los comentarios porfa
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  (1 voto)
roberto orellana
Publicado hace hace 7 años. Enlace directo a la publicación “hola serian tan amables d...” de roberto orellana
hola serian tan amables de regalarme la respuesta de la funcion inversa de y=2x-1
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(3 votos)
Respuesta
lujanargiro
Publicado hace hace 7 años. Enlace directo a la publicación “serian tan amables de reg...” de lujanargiro
serian tan amables de regalarme la inversa de x^3 la intente hacer pero la verdad se me ha dificultado
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(2 votos)
Respuesta
- Belen Jimenez
  Publicado hace hace 7 años. Enlace directo a la publicación “Reemplaza f(x) por y ...” de Belen Jimenez
  Reemplaza f(x) por y y=x^3
  debemos despejar a x y como es cúbica queda RAIZ CUBICA(Y)=x
  intercambiando variables x por y RAÍZ CÚBICA(x)=y
  por lo tanto ... la función inversa de x^3 es RAÍZ CÚBICA(x)
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  (1 voto)
Regina Arriola
Publicado hace hace 7 años. Enlace directo a la publicación “cual es la funcion invers...” de Regina Arriola
cual es la funcion inversa, con su operación, de: 5-x / x
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(1 voto)
Respuesta
isabelcgodoycaruso
Publicado hace hace 7 años. Enlace directo a la publicación “funcion inversa de x^3/(x...” de isabelcgodoycaruso
funcion inversa de x^3/(x^2+1)
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Marietta
Publicado hace hace 6 años. Enlace directo a la publicación “que función es si lleva u...” de Marietta
que función es si lleva un cuadrado
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claudia pelayo
Publicado hace hace 6 años. Enlace directo a la publicación “función inversa de y = [ ...” de claudia pelayo
función inversa de y = [ ( 3x + 2 ) / ( 2x – 5 ) ]
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(1 voto)
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claudia pelayo
Publicado hace hace 6 años. Enlace directo a la publicación “función inversa de y = [ ...” de claudia pelayo
función inversa de y = [ ( 3x + 2 ) / ( 2x – 5 ) ]
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xaviermacao
Publicado hace hace 5 años. Enlace directo a la publicación “hola! tengo una duda gran...” de xaviermacao
hola! tengo una duda grandísima!

problema: utilizando la definición de la derivada, demuestre el resultado siguiente:
(f^-1)'(y)=1/f'(x)

de verdad que he intentado y no lo consigo, gracias
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ToledoGomezMiguelAngel
Publicado hace hace 3 años. Enlace directo a la publicación “podrias ayudarme con mi t...” de ToledoGomezMiguelAngel
podrias ayudarme con mi tarea por favor
si f(x)=-3x^2+2/x^2-3/x, determina f(-1),f(1/x)
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