La opuesta de una matriz no es cero. Cero es la matriz sumada a su opuesta.

La opuesta de una matriz A es la matriz -A, en la cual cada elemento es el opuesto del elemento correspondiente en la matriz. Esta es la propiedad aditiva inversa. Cero es un número escalar que al sumarlo a una matriz, el resultado es la misma matriz. Esta es la propiedad de Identidad aditiva en números reales. Un número real en un sistema de matrices se llama número escalar. Una matriz llena de ceros es llamada Matriz O (letra O mayúscula) y sumada o restada de cualquier matriz, dará por resultado la misma matriz. Esta es la propiedad de identidad aditiva para matrices. Si se multiplica una matriz O (llena de ceros) por otra matriz, el resultado será otra matriz O (llena de ceros)

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Curso: Álgebra (todo el contenido) > Unidad 20

Lección 7: Propiedades de la suma de matrices y de la multiplicación por escalares

Propiedades de la suma de matrices

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Aprende las propiedades de la suma de matrices (como la propiedad distributiva) y cómo se relacionan con la suma de números reales.

En la tabla siguiente,

A

B

C

son matrices de dimensiones iguales.

Propiedad	Ejemplo
Propiedad conmutativa de la suma	$A + B = B + A$ ‍
Propiedad asociativa de la suma	$A + (B + C) = (A + B) + C$ ‍
Propiedad de la identidad aditiva	Para cualquier matriz $A$ ‍, hay una única matriz $O$ ‍ tal que $A + O = A$ ‍.
Propiedad del inverso aditivo	Para cada $A$ ‍, hay una única matriz $- A$ ‍ tal que $A + (- A) = O$ ‍.
Propiedad de cerradura de la suma	$A + B$ ‍ es una matriz de las mismas dimensiones que $A$ ‍ y $B$ ‍.

Este artículo explora estas propiedades de suma de matrices.

Matrices y suma de matrices

Una matriz es un arreglo rectangular de números en renglones y columnas. Las dimensiones de una matriz indican el número de renglones y columnas de la matriz en ese orden. Como la matriz

A

tiene

2

renglones y

3

columnas, se llama una matriz de

2 \times 3

Para sumar dos matrices de las mismas dimensiones, simplemente suma las entradas en las posiciones correspondientes.

$\begin{aligned} [\begin{array}{rr} 3 & 7 \\ 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{rr} 5 & 2 \\ 8 & 1 \end{array}] & = [\begin{array}{rr} 3 + 5 & 7 + 2 \\ 2 + 8 & 4 + 1 \end{array}] \\ = [\begin{array}{rr} 8 & 9 \\ 10 & 5 \end{array}] \end{aligned}$ ‍

Si algo de esto es nuevo para ti, deberías revisar los siguientes artículos antes de continuar:

Consideraciones de las dimensiones

Observa que la suma de dos matrices de

2 \times 2

es otra matriz de

2 \times 2

matrix. En general, la suma de dos matrices de

m \times n

es otra matriz de

m \times n

. Esto describe la propiedad de cerradura de la suma de matrices.

Si las dimensiones de dos matrices no son las mismas, la suma no está definida. Esto es porque si

A

es una matriz de

2 \times 3

B

es una matriz de

2 \times 2

, ¡entonces algunas entradas en la matriz

A

no tienen entradas correspondientes en la matriz

B

$\begin{aligned} [\begin{array}{rr} 2 & 7 & 8 \\ 2 & 4 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{rr} 5 & 2 \\ 8 & 1 \end{array}] & = indefinida \end{aligned}$ ‍

Suma de matrices y suma de números reales

Como la suma de matrices depende fuertemente en la suma de números reales, muchas de las propiedades de la suma que sabemos que son verdaderas para números reales también son verdaderas para matrices.

Veamos cada propiedad individualmente.

Propiedad conmutativa de la suma: $A + B = B + A$ ‍

Esta propiedad indica que puedes sumar dos matrices en cualquier orden y obtener el mismo resultado.

Esto es similar a la propiedad conmutativa de los números reales. Por ejemplo,

3 + 5 = 5 + 3

El siguiente ejemplo ilustra esta propiedad de las matrices.

\begin{aligned} [\begin{array}{rr} 3 & 7 \\ 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{rr} 5 & 2 \\ 8 & 1 \end{array}] & = [\begin{array}{rr} 3 + 5 & 7 + 2 \\ 2 + 8 & 4 + 1 \end{array}] \\ = [\begin{array}{rr} 5 + 3 & 2 + 7 \\ 8 + 2 & 1 + 4 \end{array}] & La suma de números reales es conmutativa.) \\ = [\begin{array}{rr} 5 & 2 \\ 8 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{rr} 3 & 7 \\ 2 & 4 \end{array}] \end{aligned}

¡Observa que la propiedad conmutativa de la suma para matrices se mantiene gracias a la propiedad conmutativa de la suma para números reales!

Propiedad asociativa de la suma: $(A + B) + C = A + (B + C)$ ‍

Esta propiedad indica que puedes cambiar la agrupación en la suma de matrices y obtener el mismo resultado. Por ejemplo, puedes sumar la matriz

A

B

primero, y luego sumar la matriz

C

, o bien puedes sumar la matriz

B

C

, y luego este resultado sumarlo a

A

Esta propiedad es similar a la propiedad asociativa de la suma para números reales. Por ejemplo,

(2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5)

Justifiquemos esta propiedad de matrices con un ejemplo.

En cada columna simplificamos un lado de la identidad en una sola matriz. Las dos matrices resultantes son equivalentes gracias a la propiedad asociativa de la suma. Por ejemplo,

(5 + 3) + 1 = 5 + (3 + 1)

Por esta propiedad, podemos escribir una expresión como

A + B + C

y tenerla completamente definida. No necesitamos parétesis que indiquen qué suma hacer primero, ¡pues no importa!

Propiedad de la identidad aditiva: $A + O = A$ ‍

Una matriz cero, se denota como

O

, es una matriz en la que todas las entradas son

0

Observa que cuando se suma una matriz cero a cualquier matriz

A

, el resultado es siempre

A

$[\begin{array}{rr} 3 & - 1 \\ 7 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{rr} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}] = [\begin{array}{rr} 3 & - 1 \\ 7 & 9 \end{array}]$ ‍
$[\begin{array}{rr} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{rr} 2 & 8 & 3 \\ - 1 & 5 & 7 \end{array}] = [\begin{array}{rr} 2 & 8 & 3 \\ - 1 & 5 & 7 \end{array}]$ ‍

Estos ejemplos ilustran el significado de la propiedad de la identidad aditiva: que la suma de cualquier matriz

A

y la matriz cero apropiada es la matriz

A

Una matriz cero se puede comparar con el número cero en el sistema de número reales. Para todos los números reales

a

, sabemos que

a + 0 = a

. El número

0

es la identidad aditiva en el sistema de números reales, tal como

O

es la identidad aditiva para matrices.

Propiedad del inverso aditivo: $A + (- A) = O$ ‍

La opuesta de una matriz

A

es la matriz

- A

, en la cual cada elemento es el opuesto del elemento correspondiente en la matriz

A

Por ejemplo, si

A = [\begin{array}{rr} - 2 & 8 \\ - 3 & 1 \end{array}]

, entonces

- A = [\begin{array}{rr} 2 & - 8 \\ 3 & - 1 \end{array}]

Si sumamos

A

con

- A

obtenemos la matriz cero, lo cual ilustra la propiedad del inverso aditivo.

$\begin{aligned} A + (- A) & = [\begin{array}{rr} - 2 & 8 \\ - 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{rr} 2 & - 8 \\ 3 & - 1 \end{array}] \\ = [\begin{array}{rr} - 2 + 2 & 8 + (- 8) \\ - 3 + 3 & 1 + (- 1) \end{array}] \\ = [\begin{array}{rr} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}] \end{aligned}$ ‍

La suma de números reales y su opuesto es siempre

0

, y por lo tanto la suma de cualquier matriz y su opuesta es la matriz cero. Por esto, nos referimos a matrices opuestas como inversas aditivas.

Comprueba tu comprensión

Para los problemas siguientes, sean

A

B

C

matrices de

2 \times 2

1) ¿Cuáles de las siguientes expresiones matriciales son equivalentes a $(A + B) + C ?$ ‍

Como la suma de matrices es asociativa, sabemos que

(A + B) + C = A + (B + C)

Como la agrupación en un problema de adición no importa, las expresiones anteriores también son iguales a

A + B + C

Usando las propiedades asociativa y conmutativa, también podemos mostrar que

(A + B) + C = (C + A) + B

$\begin{aligned} (A + B) + C & = A + (B + C) & Propiedad asociativa de la suma de matrices \\ = A + (C + B) & Propiedad conmutativa de la suma de matrices \\ = (A + C) + B & Propiedad asociativa de la suma de matrices \\ = (C + A) + B & Propiedad conmutativa de la suma de matrices \end{aligned}$ ‍

(A + C) + (B + C)

no es equivalente a los otros, pues hay una

C

adicional en la expresión.

Las siguientes expresiones son equivalentes a

(A + B) + C

$A + (B + C)$ ‍
$(C + A) + B$ ‍
$A + B + C$ ‍

2) ¿Cuáles de las siguientes expresiones matriciales son equivalentes a $(A + (- A)) + B$ ‍?
Recuerda que $A$ ‍ y $B$ ‍ son matrices de $2 \times 2$ ‍.

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carolina
Publicado hace hace 7 años. Enlace directo a la publicación “Las propiedades para la r...” de carolina
Las propiedades para la resta son las mismas?
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1.A=A seria la matriz fila por la matriz A igual a la matriz A, pero tengo la duda de como se llama esta propiedad
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Publicado hace hace 9 meses. Enlace directo a la publicación “La apuesta de una matriz ...” de Henriquezcatalina4
La apuesta de una matriz es igual a 0 como por ejemplo A + -A = O
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Grijalva Pineda , María José
Publicado hace hace un año. Enlace directo a la publicación “como se que esta bien...” de Grijalva Pineda , María José
como se que esta bien
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JARED JEREMY VARGAS TELLO
Publicado hace hace 3 años. Enlace directo a la publicación “Es confuso en ciertas par...” de JARED JEREMY VARGAS TELLO
Es confuso en ciertas partes.
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😊
Publicado hace hace 7 años. Enlace directo a la publicación “como puedo sumar dos matr...” de 😊
como puedo sumar dos matrices una de tres por tres y otra de dos por tres
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😊
Publicado hace hace 7 años. Enlace directo a la publicación “Necesito resolver este pr...” de 😊
Necesito resolver este problema que ya nose como hacerlo
|A+B|=0 siendo A= -a 2
2a 5
B= -1 a
0 -2
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Marco Antonio Parra Rivera
Publicado hace hace 8 años. Enlace directo a la publicación “La opuesta de una matriz ...” de Marco Antonio Parra Rivera
La opuesta de una matriz no es cero. Cero es la matriz sumada a su opuesta.
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- Vernon Albayeros
  Publicado hace hace 7 años. Enlace directo a la publicación “La opuesta de una matriz ...” de Vernon Albayeros
  La opuesta de una matriz A es la matriz -A, en la cual cada elemento es el opuesto del elemento correspondiente en la matriz. Esta es la propiedad aditiva inversa.
  Cero es un número escalar que al sumarlo a una matriz, el resultado es la misma matriz. Esta es la propiedad de Identidad aditiva en números reales. Un número real en un sistema de matrices se llama número escalar.
  Una matriz llena de ceros es llamada Matriz O (letra O mayúscula) y sumada o restada de cualquier matriz, dará por resultado la misma matriz. Esta es la propiedad de identidad aditiva para matrices.
  Si se multiplica una matriz O (llena de ceros) por otra matriz, el resultado será otra matriz O (llena de ceros)
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