Por qué funciona la división sintética

en este vídeo quiero simplificar la misma expresión que hicimos hace un par de vídeos con división sintética pero ahora con división larga con división tradicional espero mostrarte en el camino porque la división sintética y la división larga nos dan el mismo resultado va entonces voy a empezar haciendo la división larga y poco a poco vamos viendo las las conexiones entonces lo primero que tenemos que hacer en división larga es observar los términos de mayor grado este x y este 3x al cubo y nos tenemos que preguntar cuántas veces cabe x en 3x al cubo pues justo cabe 3x cuadrada a veces verdad 3 x al cubo entre x es igual a 3 x al cuadrado ya desde aquí se empiezan a ver conexiones con la división sintética este 3x al cuadrado corresponde a este 3 de acá si entonces éste corresponde a este de acá y porque corresponde a eso porque siempre nos va a dar lo mismo o sea de este lado como que bajamos el 3 así sin pensarlo y aquí si tuvimos que pensarlo bueno pues nos da lo mismo por lo que le pedimos al denominador en la división que tenía que ver con que solo era una equis no podíamos tener x al cuadrado 17 x 23 x cúbica tenía que ser una x así sencillita y por lo tanto cuando nos preguntamos cuántas veces cabeza x en este término vamos a tener el mismo coeficiente y aquí vamos a tener un grado menor que este 3x cúbica entonces aparece este 3x cuadrada que corresponde con este 3 que también corresponde a x cuadrada vale bueno vamos a seguir entonces ahora en división sintética tenemos que multiplicar 3x cuadrada por esto de acá 3 x cuadrada x x es igual a 3 x cúbica déjame ponerlo en color blanco 3 x cúbica y luego 3 x cuadrada x 4 es igual a 12 x cuadrada entonces aquí le pongo 12 x cuadrada déjame poner esta línea y lo que tenemos que hacer es restar entonces aquí le pongo menos aquí le pongo menos estos dos se cancelan y aquí restamos 4 x cuadrada menos 12 x cuadrada y aquí nos quedaría en color verde nos quedaría menos 8 x cuadrado entonces vamos teniendo cada vez más analogías observan este menos 8 x cuadrada tiene un poco que ver con este menos 8 todavía no totalmente porque este menos 8 corresponde a un término lineal pero aquí su término cuadrática sin embargo de donde salió pues b salió de restar 4 con menos 12 y este menos 12 salió de multiplicar 3 con 4 hicimos 3 por 4 12 y luego restamos es exactamente lo mismo que estamos haciendo acá este 3 lo multiplicamos por cuatro que nos da 12 y luego lo restamos por eso cambiamos el signo al inicio para no tener que hacer pues las restas a cada rato sino acordarse bueno ya incluir en el numerito que estamos restando entonces ok este 8 tiene que ver con este 8 cómo le hacemos para que de adeveras corresponda a un 8 lineal pues bajamos el menos 2 x 2 x y ahora nos preguntamos cuántas veces cabe x en menos 8 x cuadrada ah pues ahora si cabe menos 8 x veces menos 8 x veces y una vez más osea obtuvimos el mismo coeficiente aquí menos 8 y menos 8 porque estamos pidiendo que aquí sea una equis solita va entonces aquí tenemos menos 8x que corresponde corresponde justamente a este término de acá a esta x vamos a seguir entonces ahora lo que tenemos que hacer es multiplicar menos 8x por esta expresión no voy a poner en color blanco menos 8 x x x es menos 8 x cuadrado menos 8 x cuadrada menos 8 x x 4 es igual a voy a poner en color rosa 32 x bueno menos 32 x restamos y al restar esto se cancela menos 2 x menos 32 x bueno menos menos 32 x verdad porque aquí hay que sumar nos da igual a 30 30 x lo pongo aquí 30 x y ve acá hicimos lo mismo o sea multiplicamos menos 8 por 4 y ahora lo restamos pero aquí estamos multiplicando menos 8 x menos 4 y sumamos es exactamente lo mismo y de ahí sale ese 30 ahora este 30 es el término constante el que corresponde a x a la 0 y para que salga de este lado tenemos que preguntarnos ahora déjame poner este menos 1 para preguntarnos cuántas veces cabe x en 30 x y cabe 30 veces entonces lo voy a poner por aquí arriba lo voy a poner más 30 ahora sí este 30 es este 30 aquí ya aparece el término constante multiplicamos 30 por equis es 30 x 30 por 4 es 120 más de 120 kva y restamos aquí restamos se cancela y aquí menos 1 menos aquí tengo que ser menos porque estamos restando que hace menos 121 entonces se le pongo aquí menos 121 y ahora si esté menos 121 es el mismo que esté menos 121 porque es el residuo de lo que queda entonces de ahí se ven todas las ideas de por qué es exactamente lo mismo hacer la división larga que la división sintética y básicamente en resumen lo que está sucediendo es que suponer que está x está solita nos permite ir copiando los coeficientes y simplemente como ir restando lo que tenemos que restar y todo sale igualito vale entonces en el fondo la división larga y la división sintética están haciendo exactamente lo mismo solo que la división sintética pues es un poco más corta más sencilla y también ocupa menos espacio