Simplificar expresiones racionales: agrupación

simplifica la expresión racional y enuncia el dominio muy bien aquí tenemos un trinomio dividido entre otro trinomio de modo que para simplificar tenemos que factorizar el numerador y el denominador y factorizar también nos va a ayudar a encontrar el dominio es decir a encontrar aquellos valores de x para los cuales esta expresión no queda indefinida bueno déjame empezar factor izando el numerador lo voy a reescribir déjame marcarlo así en color rojo para indicar qué es lo que estoy poniendo aquí abajo entonces lo voy a poner aquí es 2 x al cuadrado más 13 x más 20 y queremos factorizar lo como aquí el término principal no es uno sino es dos lo que más nos conviene es factorizar lo por agrupamiento y para factorizar esta expresión por agrupamiento debemos encontrar dos números a ive de modo que el producto a por b sea igual a 2 por 20 o sea 40 y que la suma a más bien jamás sea igual al término del medio o más bien al coeficiente del medio o sea 13 13 y aquí los números brincan inmediatamente verdad son 5 y 8 5 x 8 es igual a 45 más 8 es igual a 13 bueno entonces déjame reescribir esta expresión utilizando la técnica de agrupamiento el 2x al cuadrado queda igual 2 x al cuadrado y ahora vamos a dividir este 13 lo vamos a separar en 5 x más 8 x justo este es el chiste de la técnica de agrupamiento verdad entonces este 13 x lo voy a poner así primero voy a poner el 8x y luego voy a sumar 5x y después voy a sumar este 20 que falta entonces sería más 20 y puse primero el 8 porque 8 comparte factor con 2 y luego el 5 porque 5 comparte factor con 20 entonces pues al parecer esto debería funcionar bueno el siguiente paso es ahora factorizar aquí cosas que tengan en común y acá también cosas que tengan en común y me parece que lo mejor que podemos factory en estos primeros dos suman 2 es 2 x tanto el primer sumando como el segundo son múltiplos de 2x entonces quedaría 2x x 2 x cuadrada entre 2 x x + 8x / 2 x que es 4 x 4 muy bien ahora vamos a pasar al segundo término este de acá 5x + 20 estos dos lo que tienen en común es el 5 entonces factor hizo el 5 y me queda aquí x + 4 y notemos que ahora tanto este sumando como éste tienen al x más cuatro en común así que ahora voy a factorizar este x más 4 de aquí y de acá lo voy a poner así x + 4 y tendría que multiplicarlo por 2 x 2 x + + 5 muy bien entonces con esto ya queda factor izado nuestro numerador va ahora vamos a pasar al denominador déjame tomar otro color digamos color rosa y este color rosa está bien entonces voy a tomar este color rosa para tomar el denominador y lo voy a pasar acá voy a hacerle exactamente lo mismo sería 2x al cuadrado más 17 x más 30 muy bien entonces vamos a factorizar lo utilizando agrupamiento una vez más ahora necesitamos dos números a ive que multiplicados sean igualados por 30 o sea 60 y que sumados nos den el coeficiente del medio o sea 17 y estos no están tan fáciles pero pero igual tampoco están tan complicados son 5 y 12 5 12 17 5 x 12 es igual a 60 entonces este 17 lo debo separar en 12 x + 5x y el 12 conviene que quede con el 2 y el 5 con el 30 para que los factores pues correspondan entonces voy a poner 2 x al cuadrado 2 x al cuadrado más el 17 x lo voy a partir como como que dije 5 y 2 entonces como 12 x + 5 x más 30 este 30 de acá 30 misma idea ahora vamos con estos dos que tienen de factor en común pues ahora tienen un 2 x verdad sería 2 2 x x 2 x cuadrado / 2 x es x + 12 x / 2x que es 6 ya eso le tengo que sumar y ahora vamos a factorizar estos de acá lo voy a marcar en color rosa y lo que comparten es el 5 entonces sería 5 x x + + 6 y ahora aparece el x 6 en ambos términos lo voy a indicar en color naranja y lo voy a factorizar me quedaría x + 6 x 2 x + 5 2 x + 5 y con esto ya tengo factor izados el numerador y el denominador déjame escribirlos aquí arriba entonces esa expresión es igual a como el color rojo x + 4 x 2 x 5 4 x 2 x 5 2 x 5 y eso lo tenemos que dividir entre x 4 voy a tomar este color 1 x 6 verdad x 6 x 2 x 5 2 x + 5 muy bien y aquí podemos ver que el 2 x 5 del numerador y del denominador se simplifican pero antes de eso vamos a hacer las cosas con cuidado y pasemos primero a la segunda parte de la pregunta vamos a enunciar el dominio queremos encontrar aquellos valores para los cuales esta expresión queda bien definida es decir lo que queremos evitar es prácticamente que hagamos una división entre 0 y que pasaría o que valores de x nos darían una división entre 0 bueno si tuviéramos que x más 60 lo voy a poner por acá si x más 60 entonces ahí se define la expresión o sea cuando x es igual a menos 6 o bien cuando 2 x + 5 es igual a 0 2 x 5 es igual a 0 restando 5 de ambos lados 2x es igual a menos 5 y dividiendo entre 2 x es igual a menos 5 medios entonces debemos evitar los valores menos 6 y menos cinco medios lo voy a poner aquí abajo el dominio dominio el dominio para x son todos los números reales todos los números los números números reales reales excepto excepto excepto menos seis y menos cinco menos seis y menos cinco medios y debemos evitar estos dos números porque si x es menos seis o menos cinco medios entonces el denominador se hace cero y esto quedaría indefinido bueno ya que tenemos el dominio ahora sí podemos simplificar como 2 x + 5 nunca es cero ya que x nunca es menos 5 medios este término se puede cancelar con este término y de esta forma la expresión racional simplificada es x + 4 x 4 / x + 6