Ecuaciones paramétricas con la misma gráfica

en el vídeo pasado estuvimos analizando las ecuaciones x igual a 3 veces el coste no dt y igual a dos veces el seno de t y decíamos que eran un par de ecuaciones paramétricas en este tipo de ecuaciones utilizando la identidad de hoy leer llegamos a una una elipse a la forma de una elipse si x cuadrada entre 9 + 10 cuadrada entre 4 es igual a 1 espero que ustedes acuerden si no se acuerdan sería muy bueno que revisaran el vídeo anterior ahora bien ya que teníamos eso nosotros gráfica mos la elipse y nos dábamos cuenta que si queríamos dar muchas vueltas en la elipse entonces el tiempo estaba entre menos infinito e infinito y solamente queríamos dar una vuelta del elipse pues el tiempo estaba entre 0 y 2 pi también fue en el vídeo pasado en el cual hicimos una eliminación de parámetros y llegamos así a la ecuación de la elipse bien se cuenta que la ecuación de elipse ya no aparece el parámetro t y sin embargo aunque nos quedaba la ecuación de una elipse el tiempo nos decía como recordamos la elipse y en qué sentido recordamos la elipse dicho de otra manera el parámetro tiempo nos ayuda a dar una sensación de espacio tiempo como yo lo decía en unos vídeos pasados para cada punto en mi elipse va a existir un tiempo en el cual yo voy a estar en ese punto de la elipse elimina el parámetro tiempo nos ayuda a dibujarlo sin embargo el tiempo nos da una sensación de como recorremos nuestra gráfica pero la pregunta de este vídeo va a ser estas son las únicas ecuaciones que me dan de una gráfica a una elipse es decir solamente con estas ecuaciones paramétricas yo puedo dibujar una elipse pues imagínense que yo tengo x igualdad tres veces el coseno y voy a modificar un poco el ángulo va a ser 2 t y que va a ser igual a dos veces el seno y también de dos t ok y en el vídeo pasado lo que nosotros hicimos era despejar al coseno de t aquí vamos a hacer lo mismo para el cosiendo de 2t entonces pues aquí me estorba el 3 y por lo tanto lo voy a pasar del otro lado dividiendo x entre 3 es igual al coseno de 2 t y de aquí pues voy a hacer lo mismo con el seno de 2 te voy a pasar el 2 dividiendo y me va a quedar que entre 2 es igual al seno de 2 t y espero que también ustedes acuerden que en el vídeo pasado utilizamos la famosísima identidad trigonométricas de oier que dice que el seno cuadrado de t más el coste no cuadrado de t es igual a 1 siempre es igual a 1 y de aquí sustituimos entonces aquí pues también lo voy a ocupar esta identidad de econométrica se cumple para todos pues también se va a cumplir para el seno de 2 t seno cuadrado de dos temas coseno cuadrado de dos t es igual a 1 ojo esto es porque la identidad de trigonométricas de oilers se cumple para cualquier ángulo para todos los ángulos muy bien entonces utilizando esta identidad trigonométricas de hoy les voy a sustituir alcocer no es de 2 t al 100 donde 2 t para ver que obtengo entonces el cocino de 2 trx entre 3 y si sustituyó me va a quedar pues que els coseno al cuadrado pues es x entre 3 al cuadrado que es éste y entonces el seno cuadrado es de entre 2 al cuadrado que es este bien pongámoslo y entre 2 elevado al cuadrado coseno cuadrado de los teques x entre 3 elevado al cuadrado muy bien y esto lo voy a igualar a 1 y de aquí voy a hacer los cuadrados y de una vez despejar entonces va a quedar que x cuadrada entre 9 porque es el cuadrado del coseno cuadrado más ye cuadrada entre 4 que es el cuadrado del seno cuadrado es igual a 1 y que creen tenemos la misma elipse la misma elipse es esta y está dicho de otra manera las dos pares de cuestiones paramétricas me dan el mismo camino de mi elipse pero entonces se pregunta será cuál es la diferencia entre mis primeras ecuaciones paramétricas y mis segundas ecuaciones paramétricas bien como hicimos en el vídeo pasado agarramos las ecuaciones paramétricas que están en azul e hicimos una tabla con ellas para ver cómo se gráfica van los puntos y además como recordamos es elipse pues voy a hacer lo mismo está en esta ocasión pero ahora con mis otras ecuaciones paramétricas las voy a apuntar aquí y era x igualdad tres veces el coche no de dos t y que igual da dos veces el seno de dos t y de nuevo voy a hacer una tabla bien en este caso voy a hacer otra vez tres columnas y en una de ellas pondré ate en otra de ellas pondré a x y en otra de ellas pondré allí y para ver qué es lo que pasa voy a tomar los mismos valores de te voy a tomarte igual a 0 de igualdad y medios y te iguala pi bien ahora voy a sustituir las los valores de t azules en las ecuaciones azules oscuros bien entonces si te vale 0 pues el coche no de 231 por 33 y a ver qué pasa si spri medios pues pri medios por 2 espn y el coche no de pi es igual a menos 1 y por 3 es menos 3 y ahora sí pongo pi pues es cocinar dos piques uno y tres por uno estrés si x vale 3 entonces te va a valer para maxim al revés si te vale pide entonces x valdrá 3 bien que va a pasar ahora con gem si tengo cero pues me queda que el seno de 00 y por lo que sea pues es cero ahora pi medios dos por medios speed seno de pie cero otra vez y dos por cero cero y si pongo pues me queda 2 dos dedos pies cero y pues otra vez cero dándome así a una colección de ceros en bien bien ahora voy a comparar lo que me salió en mis puntos en mis primeras ecuaciones paramétricas con los puntos que me salieron en mis segundas ecuaciones paramétricas pero si se acuerdan en mis primeras de cuestiones paramétricas lo que yo hacía al evaluar mis puntos era darme la idea de cómo recorría yo mi elipse phillips y la recorría en contra de las manecillas del reloj le daba vueltas de izquierda de derecha a izquierda bien a ver entonces yo tenía que estaba en el primer nivel donde te valía cero y en mis primeras ecuaciones paramétricas me salía este punto después si yo sustituya a t igual a pi medios entonces obtenía el punto de acá y por último si yo sustituya a p igualdad pi entonces en las primeras ecuaciones paramétricas me daba este punto lo que me daba la sensación de recorrer mi elipses de derecha a izquierda entonces yo podría decir que mi elipse le iba a recorrer siempre de derecha a izquierda dando una infinidad de vueltas ahora qué pasará si yo comparo los puntos que no salieron en mis segundas ecuaciones paramétricas con mis primeras ecuaciones paramétricas pues en el primer punto me da el mismo punto entre igual a cero estoy empezando en el mismo punto digo no forzosamente tenemos que empezar en cero podemos empezar en cualquier número menos dos y menos 5 p - infinito lo importante de este ejercicio es que estamos comparando los dos puntos que nos sale de mis primeras ecuaciones paramétricas y mis segundas ecuaciones paramétricas bien ahora que va a ser comprime dios en prime dios teníamos este de aquí en nuestras segundas ecuaciones paramétricas no sería el punto menos 30 o sea éste lo voy a poner aquí changos es del mismo color verde mejor que voy a cambiar a morado para que se vea la diferencia bien aquí morado entonces cuando nosotros íbamos en el primer en las primeras ecuaciones paramétricas de cero api medios y vamos de aquí hasta acá y vamos del 30 al 0.2 ahora qué pasa si nosotros nos vemos de 0 a pri medios en las segundas ecuaciones paramétricas pues vamos a recorrer desde aquí desde este punto hasta el punto de acá estamos recorriendo todo esto todo esto en mis segundas ecuaciones paramétricas del punto 30 al punto menos 30 vamos en la misma dirección pero ahora estamos recorriendo la elipse un poco más rápido bien qué pasaba si nosotros recordamos de imprime dios hapy pues bueno teníamos el punto 0 2 al menos 30 hacíamos este recorrido y ahora si nosotros recorremos depp y medios up y en mis segundas ecuaciones paramétricas recorremos toda la otra mitad de la elipse se dan cuenta con esto estoy enseñándoles que yo recorro mucho más rápido con mis segundas ecuaciones paramétricas que consumidas ecuaciones paramétricas de hecho no más rápido dos veces más rápido si es que darse cuenta en mi primera cambio de tiempo de cero a pi medios en mis primeras ecuaciones paramétricas recorría un cuarto de la elipse mientras que en mis segundas ecuaciones paramétricas yo recorría la mitad de la elipse wow esto quiere decir que tengo dos pares de ecuaciones paramétricas las cuales me dan el mismo camino pero recorren de maneras distintas mi elipse mi camino también aquí está otra prueba muy importante de por qué el parámetro nos da mucha información acerca de mis ecuaciones paramétricas si yo veo cómo se recorría una ecuación paramétrica y la otra ecuación paramétrica no era lo mismo de hecho si yo le pongo un menos aquí al late y otro menos aquí en late aquí uno menos y aquí otro menos lo que haría es recorrer mi gráfica de la manera contraria es decir en lugar de en contra de las manecillas del reloj la recogería a favor de las manecillas del reloj pero ahora la pregunta es supongamos que me dicen sal yo tengo esta ecuación de la elipse yo me podría regresar a mis ecuaciones paramétricas y la respuesta es no no me puedo regresar a mis ecuaciones paramétricas si a mí me dan la ecuación de la elipse yo ya perdí información y no sabría si podría regresar a estas ecuaciones paramétricas a las primeras oa estas ecuaciones paramétricas a las segundas o de hecho a cualquiera ecuación paramétrica que tenga una forma similar es decir yo si tengo esta ecuación de mi elipse no sabría si me voy a tres coseno de t 3 coseno de 2 tx3 coseno de lo que sea de lo que sea te voy a ponerle aquí rayo no es lo que sea te y jay igual a tres veces el seno de lo que sea t pero si lo que sea y lo que sea son iguales es muy importante yo no podría saber si regreso a esta ecuación paramétrica oa las otras ecuaciones paramétricas oa cualquier ecuación paramétrica de esta forma entonces si a mí me dan la ecuación de la elipse yo estoy perdiendo información es por eso que las ecuaciones paramétricas nos dan mucha información acerca de cómo recorremos una gráfica pero bueno habrá forma de que si yo les doy una función de x una función de x cualquiera no sé se me ocurre la función ye igual a x cuadrada más x la que sea realmente ante la importancia y yo les doy una ecuación paramétrica no sé supongamos que les doy la ecuación a ver una difícil se me ocurre la idea de x de t una función que depende de solamente una ecuación paramétrica no 2 una ecuación paramétrica a la ecuación x dt que sea igual a pues algo que tengan que ver con t algo como el coseno de aguas y difícil coseno de t y a esto le voy a restar el logaritmo natural de t bien ya tengo mis dos ecuaciones paramétricas no una ecuación de que depende de xy una ecuación paramétrica a pues yo puedo encontrar ahora me entra ecuación paramétrica pues la respuesta es que sí sin sustituyó a x pues ya cabe lo podrías decir que es igual al coseno de tm en su lugar y no natural de todo esto elevado al cuadrado más equis pero x es el coseno dt menos el logaritmo natural de t esto se ve un poco difícil pero me ayuda a solamente decirles lo que les quiero contar supongamos que ahora yo pongo otra parametrización supongamos que ahora yo digo que x es igual a t pues entonces tendríamos que ya es igualdad de cuadrada más te una y otras no tienen nada que ver en un principio no tienen nada que ver pero lo que sí tienen que ver es que como es la misma de x vamos a recorrer la misma gráfica solamente que de maneras distintas si yo graficar a esto que graficar esto es una parábola no siguió gráfica esta función de x y ocupó una parametrización y otra parametrización realmente lo que estoy haciendo son gráficas iguales pero recorriendo las de maneras distintas por ejemplo voy a hacer una gráfica aquí nueva no va a ser ni esta ni la otra o sea no va a ser una parábola va a ser una gráfica nueva la que se me ocurra voy a tomar estos dos ejes coordenadas este es xy este game y ahora voy a hacer un círculo por aquí este círculo ojo este círculo no tiene nada que ver con estas ecuaciones que estoy dibujando del lado izquierdo lo que sí quiero contarles ejercicio hay una parametrización antes después de recorrer el círculo de derecha a izquierda mientras que si yo doy otra parametrización yo pueda recorrer el círculo de izquierda a derecha y también podríamos encontrar otra parametrización que recorriera de derecha a izquierda el círculo y de izquierda a derecha a su vez de hecho la única diferencia entre esta ecuación paramétrica azul y esta amarilla es que va a recorrer mi gráfica de una manera distinta tal vez una de derecha a izquierda la otra de izquierda a derecha la otra de una manera distinta pero son formas de recuerda es la distinta espero les haya servido este vídeo