en la respuesta de cada ejercicio que contiene como CUANDO X TIENDE A INFINITO POSITIVO, G(X) TIENDE A INFINITO POSITIVO, la respuesta tercera y cuarta es la misma en todos los casos, y dificulta la solucion

Así es. Hay un error en los numerales 2 y 4, pues repiten los numerales 1 y 3.

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Curso: Álgebra 2 > Unidad 5

Lección 3: Comportamiento de polinomios en los extremos

Comportamiento de polinomios en los extremos

Aprende qué es el comportamiento de un polinomio en los extremos, y cómo podemos determinarlo a partir de la ecuación del polinomio.

En esta lección aprenderás qué es el "comportamiento en los extremos" de un polinomio, y cómo analizarlo a partir de una gráfica o de una ecuación polinomial.

¿Qué es el "comportamiento en los extremos"?

El comportamiento en los extremos de una función

f

describe el comportamiento de la gráfica de la función en los "extremos" del eje

x

En otras palabra, el comportamiento en los extremos de una función describe la tendencia de la gráfica si observamos el extremo derecho del eje

x

(a medida que

x

+ \infty

) y a la izquierda del eje

x

(a medida que

x

va a

- \infty

Por ejemplo, considera la gráfica de la función

f

. Observa que al moverse hacia la derecha del eje

x

, la gráfica de

f

va hacia arriba. Esto significa que a medida que

x

crece más y más,

f (x)

también crece más y más.

Matemáticamente escribimos esto así: cuando

x \to + \infty

f (x) \to + \infty

. (Se lee como "cuando

x

tiende a infinito positivo,

f (x)

tiende a infinito positivo.")

En el otro extremo de la gráfica, al moverse hacia la izquierda del eje

x

(imagina a

x

acercándose a

- \infty

), la gráfica de

f

va hacia abajo. Esto significa que a medida que

x

decrece más y más,

f (x)

también se hace más y más negativa.

Matemáticamente escribimos esto así: cuando

x \to - \infty

f (x) \to - \infty

. (Se lee como "cuando

x

tiende a infinito negativo,

f (x)

tiende a infinito negativo.")

Comprueba tu comprensión

1) Esta es la gráfica de

y = g (x)

¿Cuál es el comportamiento de $g$ ‍ en los extremos?

(Elección A)
Cuando $x \to + \infty$ ‍, $g (x) \to + \infty$ ‍, y cuando $x \to - \infty$ ‍, $g (x) \to + \infty$ ‍.
(Elección B)
Cuando $x \to + \infty$ ‍, $g (x) \to + \infty$ ‍, y cuando $x \to - \infty$ ‍, $g (x) \to - \infty$ ‍.
(Elección C)
Cuando $x \to + \infty$ ‍, $g (x) \to - \infty$ ‍, y cuando $x \to - \infty$ ‍, $g (x) \to + \infty$ ‍.
(Elección D)
Cuando $x \to + \infty$ ‍, $g (x) \to - \infty$ ‍, y cuando $x \to - \infty$ ‍, $g (x) \to - \infty$ ‍.

Al moverse a la derecha a lo largo del eje

x

, vemos que la gráfica de

g

va hacia abajo. Esto significa que cuando

x

se aproxima a

+ \infty

g (x)

se aproxima a

- \infty

Al moverse a la izquierda a lo largo del eje

x

, vemos que la gráfica de

g

va hacia arriba. Esto significa que cuando

x

se aproxima a

- \infty

g (x)

se aproxima a

+ \infty

Esto corresponde al siguiente comportamiento en los extremos:

Cuando $x \to + \infty$ ‍, $g (x) \to - \infty$ ‍, y cuando $x \to - \infty$ ‍, $g (x) \to + \infty$ ‍.

Determinar algebraicamente el comportamiento en los extremos

Podemos también determinar el comportamiento de una función polinomial en los extremos a partir de su ecuación. Esto es útil al tratar de graficar la función, pues saber el comportamiento en los extremos nos ayuda a visualizar la gráfica en "las orillas".

Para determinar el comportamiento de un polinomio

f

en los extremos a partir de su ecuación, podemos pensar en los valores de la función para valores grandes, positivos y negativos, de

x

Específicamente, respondemos estas dos preguntas:

Cuando $x \to + \infty$ ‍, ¿a qué se aproxima $f (x)$ ‍?
Cuando $x \to - \infty$ ‍, ¿a qué se aproxima $f (x)$ ‍?

Investigación: comportamiento de monomios en los extremos

Las funciones monomiales son polinomios de la forma

y = a x^{n}

, donde

a

es un número real y

n

es un número entero no negativo.

Examinemos algebraicamente el comportamiento en los extremos de varios monomios para ver si podemos sacar algunas conclusiones.

2) Considera el monomio

f (x) = x^{2}

Para valores positivos muy grandes de $x$ ‍, ¿qué describe mejor a $f (x)$ ‍?

Para valores negativos muy grandes de $x$ ‍, ¿qué describe mejor a $f (x)$ ‍?

El cuadrado de un número positivo grande es un número positivo grande, y el cuadrado de un número negativo grande es también un número positivo grande.

Así que para valores positivos grandes de

x

f (x)

es un número positivo grande, y para valores negativos grandes de

x

f (x)

es un número positivo grande.

La gráfica de

y = x^{2}

comprueba esto:

En otras palabras, cuando

x

se aproxima a

+ \infty

f (x)

se aproxima a

+ \infty

, y cuando

x

se aproxima a

- \infty

f (x)

se aproxima a

+ \infty

3) Considera el monomio

g (x) = - 3 x^{2}

Para valores positivos muy grandes de $x$ ‍ values, ¿qué describe mejor a $g (x)$ ‍?

Para valores negativos muy grandes de $x$ ‍, ¿qué describe mejor a $g (x)$ ‍?

El cuadrado de un número positivo grande es un número positivo grande, y el cuadrado de un número negativo grande es también un número positivo grande. Sin embargo, cuando multiplicamos estos resultados por

- 3

, obtenemos numeros negativos grandes

Así que para valores positivos grandes de

x

g (x)

es un número negativo grande, y para valores negativos grandes de

x

g (x)

es un número negativo grande.

La gráfica de

y = - 3 x^{2}

comprueba esto:

Una parábola está representada gráficamente en un plano de coordenadas x y. La gráfica se curva hacia arriba de izquierda a derecha tocando el origen antes de volver a curvarse hacia abajo.

En otras palabras, cuando

x

se aproxima a

+ \infty

g (x)

se aproxima a

+ \infty

, y cuando

x

se aproxima a

- \infty

g (x)

se aproxima a

+ \infty

4) Considera el monomio

h (x) = x^{3}

Para valores positivos muy grandes de $x$ ‍ values, ¿qué describe mejor a $h (x)$ ‍?

Para valores negativos muy grandes de $x$ ‍, ¿qué describe mejor a $h (x)$ ‍?

El cubo de un número positivo grande es un número positivo grande, y el cubo de un número negativo grande es un número negativo grande.

Así que para valores positivos grandes de

x

h (x)

es un número positivo grande, y para valores negativos grandes de

x

h (x)

es un número negativo grande.

La gráfica de

y = x^{3}

comprueba esto:

Una función cúbica está representada gráficamente en un plano de coordenadas x y. La gráfica se curva hacia arriba de izquierda a derecha pasando por el origen antes de volver a curvarse hacia arriba.

En otras palabras, cuando

x

se aproxima a

+ \infty

h (x)

se aproxima a

+ \infty

, y cuando

x

se aproxima a

- \infty

h (x)

se aproxima a

- \infty

5) Considera el monomio

j (x) = - 2 x^{3}

Para valores positivos muy grandes de $x$ ‍ values, ¿qué describe mejor a $j (x)$ ‍?

Para valores negativos muy grandes de $x$ ‍, ¿qué describe mejor a $j (x)$ ‍?

El cubo de un número positivo grande es un número positivo grande, y el cubo de un número negativo grande es un número negativo grande. Al multiplicar estos resultados por

- 2

el signo de estos números se invierte.

Así que para valores positivos grandes de

x

j (x)

es un número negativo grande, y para valores negativos grandes de

x

j (x)

es un número positivo grande.

La gráfica de

y = - 2 x^{3}

comprueba esto:

Una función cúbica está representada gráficamente en un plano de coordenadas x y. La gráfica se curva hacia abajo de izquierda a derecha pasando por el origen antes de volver a curvarse hacia abajo.

En otras palabras, cuando

x

se aproxima a

+ \infty

j (x)

se aproxima a

+ \infty

, y cuando

x

se aproxima a

- \infty

j (x)

se aproxima a

+ \infty

Concluir la investigación

Observa de qué manera el grado del monomio

(n)

y el coeficiente principal

(a)

afectan el comportamiento en los extremos.

Cuando

n

es par, el comportamiento de la función en ambos "extremos" es el mismo. El signo del coeficiente principal determina si ambos se aproximan a

+ \infty

o si ambos se aproximan a

- \infty

Cuando

n

es impar, el comportamiento de la función en ambos "extremos" es opuesto. El signo del coeficiente principal determina cual es

+ \infty

y cual es

- \infty

Esto se resume en la siguiente tabla.

**Comportamiento de monomios en los extremos: $f (x) = a x^{n}$ ‍**
$n$ ‍ es par y $a > 0$ ‍	$n$ ‍ es par y $a < 0$ ‍
Cuando $x \to - \infty$ ‍, $f (x) \to + \infty$ ‍, y cuando $x \to + \infty$ ‍, $f (x) \to + \infty$ ‍. Una parábola está representada gráficamente en un plano de coordenadas x y. La gráfica se curva hacia abajo de izquierda a derecha tocando el origen antes de volver a curvarse hacia arriba. La parte superior de ambos lados de la parábola son sólidas. El centro de la parábola está punteado.	Cuando $x \to - \infty$ ‍, $f (x) \to - \infty$ ‍, y cuando $x \to + \infty$ ‍, $f (x) \to - \infty .$ ‍ Una parábola está representada gráficamente en un plano de coordenadas x y. La gráfica se curva hacia arriba de izquierda a derecha tocando el origen antes de volver a curvarse hacia abajo. La parte inferior de ambos lados de la parábola son sólidas. El centro de la parábola está punteado.

$n$ ‍ es impar y $a > 0$ ‍	$n$ ‍ es impar y $a < 0$ ‍
Cuando $x \to - \infty$ ‍, $f (x) \to - \infty$ ‍, y cuando $x \to + \infty$ ‍, $f (x) \to + \infty$ ‍. Una función cúbica está representada gráficamente en un plano de coordenadas x y. La gráfica se curva hacia arriba de izquierda a derecha pasando por el origen antes de volver a curvarse hacia arriba. La parte inferior y la parte superior de la gráfica son sólidas, mientras que la parte central de la gráfica está punteada.	Cuando $x \to - \infty$ ‍, $f (x) \to + \infty$ ‍, y cuando $x \to + \infty$ ‍, $f (x) \to - \infty .$ ‍ Una función cúbica está representada gráficamente en un plano de coordenadas x y. La gráfica se curva hacia abajo de izquierda a derecha pasando por el origen antes de volver a curvarse hacia abajo. La parte superior y la parte inferior de la gráfica son sólidas, mientras que la parte central de la gráfica está punteada.

n

es impar y

a > 0

n

es impar y

a < 0

Cuando

x \to - \infty

f (x) \to - \infty

, y cuando

x \to + \infty

f (x) \to + \infty

Cuando

x \to - \infty

f (x) \to + \infty

, y cuando

x \to + \infty

f (x) \to - \infty .

Comprueba tu comprensión

6) ¿Cuál es el comportamiento en los extremos de $g (x) = 8 x^{3}$ ‍?

(Elección A)
Cuando $x \to + \infty$ ‍, $g (x) \to + \infty$ ‍, y cuando $x \to - \infty$ ‍, $g (x) \to + \infty$ ‍.
(Elección B)
Cuando $x \to + \infty$ ‍, $g (x) \to + \infty$ ‍, y cuando $x \to - \infty$ ‍, $g (x) \to - \infty$ ‍.
(Elección C)
Cuando $x \to + \infty$ ‍, $g (x) \to - \infty$ ‍, y cuando $x \to - \infty$ ‍, $g (x) \to + \infty$ ‍.
(Elección D)
Cuando $x \to + \infty$ ‍, $g (x) \to - \infty$ ‍, y cuando $x \to - \infty$ ‍, $g (x) \to - \infty$ ‍.

g (x) = 8 x^{3}

. Como el grado del monomio es impar y el coeficiente principal es positivo, el comportamiento en los extremos es como sigue:

Cuando

x \to - \infty

g (x) \to - \infty

, y cuando

x \to + \infty

g (x) \to - \infty

Comportamiento de polinomios en los extremos

Ahora sabemos cómo determinar el comportamiento de monomios en los extremos. Pero ¿qué pasa con polinomios que no son monomios, funciones como

g (x) = - 3 x^{2} + 7 x

In general, el comportamiento de polinomios en los extremos es el mismo que el comportamiento del término principal en los extremos, es decir del término con el mayor exponente.

Así que el comportamiento en los extremos de

g (x) = - 3 x^{2} + 7 x

es el mismo que el comportamiento en los extremos del monomio

- 3 x^{2}

Puesto que el grado de

- 3 x^{2}

es par

(2)

, y el coeficiente principal es negativo

(- 3)

, el comportamiento en los extremos de

g

es: cuando

x \to - \infty

g (x) \to - \infty

, y cuando

x \to + \infty

g (x) \to - \infty

Comprueba tu comprensión

7) ¿Cuál es el comportamiento en los extremos de $f (x) = 8 x^{5} - 7 x^{2} + 10 x - 1$ ‍?

(Elección A)
Cuando $x \to + \infty$ ‍, $f (x) \to + \infty$ ‍, y cuando $x \to - \infty$ ‍, $f (x) \to + \infty$ ‍.
(Elección B)
Cuando $x \to + \infty$ ‍, $f (x) \to + \infty$ ‍, y cuando $x \to - \infty$ ‍, $f (x) \to + \infty$ ‍.
(Elección C)
Cuando $x \to + \infty$ ‍, $f (x) \to - \infty$ ‍, y cuando $x \to - \infty$ ‍, $f (x) \to - \infty$ ‍.
(Elección D)
Cuando $x \to + \infty$ ‍, $f (x) \to - \infty$ ‍, y cuando $x \to - \infty$ ‍, $f (x) \to - \infty$ ‍.

El término principal de

f (x) = 8 x^{5} - 7 x^{2} + 10 x - 1

8 x^{5}

Así que el comportamiento en los extremos de la gráfica de

f

es el mismo que el comportamiento en los extremos del monomio

8 x^{5}

Puesto que el grado de

8 x^{5}

es impar

(5)

, y el coeficiente principal es positivo

(8)

, el comportamiento en los extremos es como sigue:

Cuando $x \to + \infty$ ‍, $f (x) \to + \infty$ ‍, y cuando $x \to - \infty$ ‍, $f (x) \to - \infty$ ‍.

8) ¿Cuál es el comportamiento en los extremos de $g (x) = - 6 x^{4} + 8 x^{3} + 4 x^{2}$ ‍?

(Elección A)
Cuando $x \to + \infty$ ‍, $g (x) \to + \infty$ ‍, y cuando $x \to - \infty$ ‍, $g (x) \to + \infty$ ‍.
(Elección B)
Cuando $x \to + \infty$ ‍, $g (x) \to + \infty$ ‍, y cuando $x \to - \infty$ ‍, $g (x) \to - \infty$ ‍.
(Elección C)
Cuando $x \to + \infty$ ‍, $g (x) \to - \infty$ ‍, y cuando $x \to - \infty$ ‍, $g (x) \to + \infty$ ‍.
(Elección D)
Cuando $x \to + \infty$ ‍, $g (x) \to - \infty$ ‍, y cuando $x \to - \infty$ ‍, $g (x) \to - \infty$ ‍.

El término principal de

g (x) = - 6 x^{4} + 8 x^{3} + 4 x^{2}

- 6 x^{4}

Así que el comportamiento en los extremos de la gráfica de

g

es el mismo que el comportamiento en los extremos del monomio

- 6 x^{4}

Puesto que el grado de

- 6 x^{4}

es par

(4)

, y el coeficiente principal es negativo

(- 6)

, el comportamiento en los extremos es como sigue:

Cuando $x \to + \infty$ ‍, $g (x) \to - \infty$ ‍, y cuando $x \to - \infty$ ‍, $g (x) \to - \infty$ ‍.

¿Por qué el término principal determina el comportamiento en los extremos?

Esto es porque el término principal tiene el máximo efecto en los valores de la función, para valores grandes de

x

Exploremos esto aún más al analizar la función

g (x) = - 3 x^{2} + 7 x

para valores positivos grandes de

x

Cuando

x

se aproxima a

+ \infty

, sabemos que

- 3 x^{2}

se aproxima a

- \infty

7 x

se aproxima a

+ \infty

¿Pero cuál es el comportamiento en los extremos de la suma? Calculemos para algunos valores de

x

y veamos.

$x$ ‍	$- 3 x^{2}$ ‍	$7 x$ ‍	$- 3 x^{2} + 7 x$ ‍
$1$ ‍	$- 3$ ‍	$7$ ‍	$4$ ‍
$10$ ‍	$- 300$ ‍	$70$ ‍	$- 230$ ‍
$100$ ‍	$- 30,000$ ‍	$700$ ‍	$- 29,300$ ‍
$1000$ ‍	$- 3,000,000$ ‍	$7000$ ‍	$- 2,993,000$ ‍

Observa que a medida que

x

se hace más grande, el polinomio se comporta como

- 3 x^{2} .

Pero supongamos que el término

x

tiene un poco más de peso. ¿Qué pasa si en lugar de

7 x

tenemos

999 x

$x$ ‍	$- 3 x^{2}$ ‍	$999 x$ ‍	$- 3 x^{2} + 999 x$ ‍
$10$ ‍	$- 300$ ‍	$9,990$ ‍	$9,690$ ‍
$100$ ‍	$- 30,000$ ‍	$99,900$ ‍	$69,900$ ‍
$1000$ ‍	$- 3,000,000$ ‍	$999,000$ ‍	$- 2,001,000$ ‍
$10,000$ ‍	$- 300,000,000$ ‍	$9,990,000$ ‍	$- 290,010,000$ ‍

Nuevamente vemos que para valores grandes de

x

el polinomio se comporta como

- 3 x^{2}

. Aunque se requiere un valor grande de

x

para ver la tendencia, esta se mantiene.

De hecho, no importa qué tan grande sea el coeficiente de

x

; para valores suficientemente grandes de

x

, ¡el término

- 3 x^{2}

tendrá el maypr peso!

Problemas de desafío

9*) ¿Cuál de las siguientes puede ser la gráfica de $h (x) = - 8 x^{3} + 7 x - 1$ ‍?

Podemos utilizar el comportamiento en los extremos de una función para identificar la gráfica del polinomio.

El término principal es

- 8 x^{3}

, así que la función

h

tiene el mismo comportamiento en los extremos que el monomio

- 8 x^{3}

Puesto que el grado de

- 8 x^{3}

es impar

(3)

, y el coeficiente principal es negativo

(- 8)

, el comportamiento en los extremos de la función

h

es como sigue:

Cuando $x \to - \infty$ ‍, $h (x) \to + \infty$ ‍
Cuando $x \to + \infty$ ‍, $h (x) \to - \infty$ ‍

Esta es la única gráfica con este comportamiento en los extremos:

10*) ¿Cuál es el comportamiento en los extremos de $g (x) = (2 - 3 x) (x + 2)^{2}$ ‍?

(Elección A)
Cuando $x \to + \infty$ ‍, $g (x) \to + \infty$ ‍, y cuando $x \to - \infty$ ‍, $g (x) \to + \infty$ ‍.
(Elección B)
Cuando $x \to + \infty$ ‍, $g (x) \to + \infty$ ‍, y cuando $x \to - \infty$ ‍, $g (x) \to - \infty$ ‍.
(Elección C)
Cuando $x \to + \infty$ ‍, $g (x) \to - \infty$ ‍, y cuando $x \to - \infty$ ‍, $g (x) \to + \infty$ ‍.
(Elección D)
Cuando $x \to + \infty$ ‍, $g (x) \to - \infty$ ‍, y cuando $x \to - \infty$ ‍, $g (x) \to - \infty$ ‍.

El comportamiento en los extremos de la función

g

es el mismo que el comportamiento en los extremos de su término principal.

Podemos escribir

g (x) = (2 - 3 x) (x + 2)^{2}

en forma estándar para encontrar su término principal.

\begin{aligned} g (x) & = (2 - 3 x) (x + 2)^{2} \\ = (2 - 3 x) (x^{2} + 4 x + 4) \\ = 2 x^{2} + 8 x + 8 - 3 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x \\ = - 3 x^{3} - 10 x^{2} - 4 x + 8 \end{aligned}

El término principal de

g

- 3 x^{3}

. Puesto que el grado es impar

(3)

y el coeficiente principal es negativo

(- 3)

, el comportamiento en los extremos es como sigue:

Cuando $x \to + \infty$ ‍, $g (x) \to - \infty$ ‍, y cuando $x \to - \infty$ ‍, $g (x) \to + \infty$ ‍.

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Jose Peñaloza
Publicado hace hace 8 años. Enlace directo a la publicación “en la respuesta de cada e...” de Jose Peñaloza
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- Jucator
  Publicado hace hace 8 años. Enlace directo a la publicación “Así es. Hay un error en ...” de Jucator
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En Agosto del 2023, la unica pregunta con error en las opciones que he encontrado es la 7: Cual es el comportamiento de los extremos en 8x^5 - 7 x^2 + 10 x - 1.
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Claudia Pérez
Publicado hace hace 8 años. Enlace directo a la publicación “¿Existe algún error en la...” de Claudia Pérez
¿Existe algún error en las respuestas?
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- Odo
  Publicado hace hace 7 años. Enlace directo a la publicación “si, y tambien en sus expl...” de Odo
  si, y tambien en sus explicaciones aparentemente
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francisco.gonzalez145huajuapan
Publicado hace hace 4 años. Enlace directo a la publicación “en la pregunta 7 se tiene...” de francisco.gonzalez145huajuapan
en la pregunta 7 se tiene un error, favor de verificarlo
Cuando x \rightarrow +\inftyx→+∞x, right arrow, plus, infinity, f(x) \rightarrow +\inftyf(x)→+∞f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, plus, infinity, y cuando x \rightarrow -\inftyx→−∞x, right arrow, minus, infinity, f(x) \rightarrow +\inftyf(x)→+∞f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, plus, infinity.
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JONATH
Publicado hace hace 6 años. Enlace directo a la publicación “En la pregunta 6 dice que...” de JONATH
En la pregunta 6 dice que cuando x tiende a menos infinito, g(x) también tiende a menos infinito, y cuando x tiende a infinito, g(x) tiende a menos infinito. Si miras las opciones, ninguna es coherente con la respuesta.

El punto 7, 8 y 10 tiene solo dos opciones que se repiten 2 veces cada una.
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Respuesta
SCHEILA PEREZ
Publicado hace hace 5 años. Enlace directo a la publicación “El escoge de la pregunta ...” de SCHEILA PEREZ
El escoge de la pregunta #1 tiene un error
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Publicado hace hace 2 años. Enlace directo a la publicación “esta difícil y lleva much...” de JOSE BENJAMIN ROSALES GALDAMEZ
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Mariana Ospina 2026245
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